Республикасының



жүктеу/скачать 326,84 Kb.
бет9/21
Дата29.01.2022
өлшемі326,84 Kb.
#115787
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   21
Байланысты:
is 4

Ньютон әдісі

(3.1) теңдеулер жүйесінің әрбір ( ) функциясын маңайына Тейлор қатарына орналастырамыз, сонда



( ) ( )

(

) ( )



(

)

(

)



( ) ( )

(

)

(

)

( )



(

)

Егер ға жақын болса, онда екінші және одан жоғары реттегі мүшелерді ескермеуге болады, ал егер дәл шешім болса, онда былай жазуға болады:
( ) ( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

Немесе матрицалық түрде:


( )

мұндағы


( )

( )








( )



















- Якоби (якобиан) матрицасы.


[








]


Сонда
( )( ) ( )


Осыдан
( ) ( ) ( )

Бұл теңдеу жанамалар әдісінің n-өлшемді аналогы болып табылады және әдебиеттерде көбінесе Ньютон – Рафсонның әдісі деп аталады. n- өлшемді Ньютон-Рафсон әдісі үшін де бірөлшемді жағдайдағыдай үйлесімділік мәселесі болады. Бірақта, егер берілген (бастапқы) вектор -

ге жуық болса, онда Ньютон-Рафсонның n-өлшемді әдісі әрқашан үйлесетінін дәлелдеуге болады және үйлесу жылдамдығы квадратты болады.
Мысал 3.1. Жүйені шешу керек:



{

Шешуі. Бастапқы жуықтауды суреттен таңдап аламыз:




Түбірді есептеуді ( ) нүктесінен бастаймыз, яғни

Якоби матрицасын қалыптастыру үшін дербес туындыны есептейміз:





Сондықтан





 (( ) | |

Екінші ретті кері матрицаны есептеу үшін формуланы пайдаланамыз:


(

Біздің жағдайда:



)

( )





( ) ( )
(3.2) формуласына қойып, алатынымыз:

(


)
Мысалды шешудегі итерацияны аяқтау үшін соңғы формуланы жаза-

мыз:


( ) ( ) ( ) ( )

Егер болса, онда



( ) ( )

( ) (



) ( )




есептеп, екінші итерацияны жазамыз:



( ) ( ) ( ) (


( )




)

(| | | |) . болғанда, үдерісті тоқтатамыз.

    1. Жәй итерация әдісі

Бұл әдісті баламалы түрлендірулердің көмегімен сызықты емес алгебралық және трансценденттік теңдеулер жүйесіне (СЕАжТТ) қолдану үшін алдымен мына түрге келтіріп алу керек:



( )

{



( )
Содан кейін ( ) ( ) бастапқы жуықтауды беріп мына формулалар

бойынша итерациюны орындау керек:



( ) ( ( ) ( ))

{

( ) ( ( ) ( ))



Егер | ( ) ( )| , онда үдеріс аяқталады, өйтпесе алынған

вектор ( ) екінші итерацияға берілген болып пайдаланылады және т.б.

Жалпы жағдайда итерациялар мына формулалар бойынша орындалады:

( ) ( ( ) ( ))

Ньютон әдісімен салыстырғанда бұл әдістің артықшылығы, мұнда дербес туындыларды есептеу және САТЖ шешу талап етілмейді. Бірақ жәй итерация әдісінің үйлесу (сызықты) жылдамдығының төмендігі оның бірден бір кемшілігі болғандықтан, әдетте Ньютон әдісі таңдалынады.




Мысал 3.2. Дәл алдыңғы параграфтағы мысалды қарастырайық:

{



Шешуі. Жүйені мына түрге келтіреміз:





{ √

√

( )

Бастапқы жуықтау деп тура сол нүктелерді алайық. Сонда (3.3) жүйесінің оң жағына мен қойған соң бірінші итерацияның нәтижесі болып , нүкте табылады. Енді оң жаққа мен –ді қоямыз да мен –ні аламыз және т.б.

    1. Зейдел әдісі

Зейдель әдісінің жәй итерация әдісінен айырмашылығы



( )компонентінің есептелген жаңа мәні келесі ( ) компоненттің жаңа

мәнін есептеу үшін қолданылады. Бұл әдісте итерациялар мына формулалармен орындалады:

( ) ( ( ) ( ) ( ))

( ) ( ( ) ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ) ( ))

Ньютон әдісіндегідей, мұнда да шешу сәттілігі белгісіздердің бастапқы мәндерін таңдап алуға байланысты: олар нақты шешімге жақын болу керек. Керісінше болғанда, итерациялық үдеріс үйлеспеуі мүмкін. n–өлшемді кеңістіктің көп нүктелері үйлеседі, себебі оларды итерациялық үдеріс бастапқы ретінде пайдаланады да, оны әдістің үйлесімдік аймағы деп атайды. Жүйенің теңдеулер саны өскен сайын, әдетте, үйлесімдік аймағы кемиді, сондықтан үлкен жүйені шешу кезінде инженердің бастапқы нүктені таңдау тәжірибесі маңызды болып саналады.

Мұнда да (‖ ‖ ) үйлесу шарты мен итерацияны тоқтату шарты жәй итерациялар әдісіндегідей болады.
Мысал 3.3. Алдыңғы параграфтағы мысалды қарастырайық.

Шешуі. Итерациялар мына формулалар бойынша орындалады:





{ √

√ ( )

Бұл есепте Зейдель әдісі жәй итерация әдісінен тезірек, Ньютон әдісінен жайырақ үйлеседі.



  1. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу

Көбінесе механиканың, электротехниканың, автоматтандырылған басқарудың және басқалардың көптеген практикалық есептері сызықты алгебралық теңдеулер жүйесіне алып келеді және оның шешуін ғылым мен техниканың түрлі мәселелерінің шешілуінде маңызды қолданылмалы мән ретінде қарастырады. Мұндай жүйенің жалпы түрі мына түрде болуы мүмкін:






{


(4.1)

мұндағы берілген коэффициенттер және теңдеулер жүйесінің бос мүшелері, мәндері анықталу керек белгісіз шамалар,

Қазіргі кезде ЭЕМ-да сызықты алгебралық теңдеулер шешудің сандық

әдістерінің арсеналы жақсы дайындалған. Сызықты алгебралық жүйені шешудің сандық әдістерінің алуантүрлігін тура (нақты) және итерациялық деп бөлуге болады.

Тура (немесе нақты) х жүйесін шешу әдістерінде (4.1) арифметикалық амалдардың соңғы санынан соң болады. Тура әдіс мысалына Гаусс әдісі, квадрат түбір әдісі және т.б. жатады. Атап өту керек, ЭЕМ-да есеп шығару кезінде қателіктерді дөңгелектеу салдарынан тура әдістер (4.1) жүйесін нақты шеше алмайды, сондықтан да оларды дөңгелектеу қателігіне назар аудармағанда ғана тура деп атауға болады.

Итерациялық әдістер (оларды тізбекті жуықтау әдісі деп те атауға болады) тұрады: n болғанда х жүйесінің шешуі ( ) тізбекті жуықтаудың шегі болады, мұндағы n — итерация номері. Ереже бойынша, итерацияның ақырғы мәніне бұл шек жетпейді. Әдетте қандай да бір аз сан >0 (нақтылық) беріледі және есептеулер мына төмендегі баға орындалғанша жүргізіле береді:

|| ||< .

Итерациялық әдістерге мына әдістер жатады: жәй итерация әдісі, Зейдель әдісі, релаксация әдісі, градиентті әдістер және олардың талдаулары.

    1. Гаусс әдісінің алгоритмі

Жалғыз бөлік сызбасы деп аталатын (4.1) жүйені келесі өзгеріске келтірейік.

Түзу жүріс n-1 ескермеу қадамынан тұрады.

1-қадам. Бұл қадамның мақсаты нөмірлі теңдеуден белгісізді шығарып тастау болып табылады. Коэффициент деп алайық. шартының орындалуына әрқашанда жүйе теңдеулерінің орнын ауыстыру жолымен жетуге болады. Оны 1-қадамның бас элементі деп атаймыз.


  1. қадамның көбейткіші деп аталатын шамаларды табамыз:



Тізбектей сәйкесінше көбейтілген екіншіден, үшіншіден,…, n- ді теңдеуден 1-теңдеуді шегереміз Бұл бірінші теңдеуден басқа барлық теңдеулердегі болғанда коэффициенттерді нөлге айналдыруға көмектеседі. Нәтижесінде парапар жүйе аламыз:


{
мұндағы және мына формулалармен табылады:






  1.

    қадам. . Бұл қадамның мақсаты нөмірлі теңдеуден белгісізді шығарып тастау болып табылады. Коэффициент болсын, мұндағы коэффициентін 2-қадамның бас (жетекші) элементі деп алайық.

  1. қадамның көбейткіші деп аталатын шамаларды табамыз:








Тізбектей сәйкесінше көбейтілген үшіншіден, төртіншіден,…,

n-ді теңдеуден 2-теңдеуді шегереміз Нәтижесінде мынадай жүйе аламыз:

{

мұндағы және коэффициенттері мына формулалармен табылады:


Басқа қадамдар да осылайша іске асырылады. Келесі k қадамын сипаттайық.





k-қадамы. k-сыншы қадамның бас (жетекші) элементі нөлден үлкен деп алып, k-сыншы қадамның көбейткішін есептейміз:














(4.2)

-ден,…, n-ші теңдеуден сәйкесінше -ға көбейтілген алдыңғы қадамдағы k-сыншы теңдеу жүйесінен алынған теңдеулерді шегереміз

(n - 1)-ші ескермеу қадамынан кейін теңдеулер жүйесін аламыз:





{
Жоғары үшбұрышты матрица A(n-1). Мұнда және коэффициенттері

мына формулалар бойынша анықталады:

(4.3)

Тура жолмен есептеу осымен анықталады.



Кері жол. Жүйенің соңғы теңдеуінен -ді табамыз. Табылған -нің мәнін соңғы теңдеудің алдындағы теңдеуге қоя отырып, -ді аламыз. Кері орнына қоюларды жасай отырып, тізбектей ді табамыз.

Мұнда белгісіздерді есептеу мына формулалармен жүргізіледі:





( )



(

) ( )



Байқаймыз, көбейткіштерді есептеу, сондай-ақ кері орнына қоюлар бас



элементтерге бөлуді талап етеді. Сол себепті, бас элементтердің бірі нөлге тең болады да жалғыз бөлу сызбасы жүзеге аспайды.

Бас элементтердің барлығы нөлден үлкен болса және олардың ішінде нөлге жуығы болған жағдайда қателіктің бақыланбай өсу мүмкіндігін көріп отырамыз.



Гаустың шағын сызбасы. Гаустың шағын сызбасы жазбаның үнемді тәсілін ұсынады. Рассмотрим порядок составления схемы для системы (4.1) жүйесі үшін сызба құрудың тәртібін қарастырайық. Есептеулердің барлық нәтижелерін бір кестеге жазамыз (4.1-кестесін қараңыз).

    1. кесте






i







Бос

мүшелер


Σ

I


1









∑

2









∑

3









∑




1









II


2




















3


























1












III


4


















IV











1












1












1











Кестені толтыру тәртібі.



Тура жүріс.

      1. Берілген жүйенің коэффициенттерін үш жолға және I-бөлімнің төрт бағандарына жазамыз (4.1-кестені қараңыз).

      2. Жол бойымен барлық коэффициенттерді қосып, ∑ (бақылау бағаны)



бағанына қосындының мәнін жазамыз, мысалы, ∑ .

      1. Бірінші жолда тұрған барлық сандарды -ге бөліп,

нәтижесін I-бөлімнің төртінші бағанына жазамыз.


4) ∑


есептейміз де тексереміз. Егер есептеулер үтірден кейінгі





таңбаның тұрақты санымен жүргізілсе, онда пен ∑

сандары соңғы



разрядтан біреуге ғана ерекшеленуі керек. Керісінше болған жағдайда 3- бөлімнің амалдарын тексеру керек.

5) формулалар бойынша (i=2,3; j=2,3,4)

коэффициенттерді есептейміз.





  1. Тексереміз. Әр жолдың элементтер қосындыларының мәні ∑



-ден соңғы разрядтан біреуге ғана ерекшеленуі керек. II-бөлімнің алғашқы үш жолына нәтижелерді жазамыз.



  1. II-бөлімнің бірінші жолының барлық элементтерін -ге бөлеміз

және нәтижесін II-бөлімнің үшінші жолына жазамыз.

  1. 5-7 бөлімдерді қайталаймыз.


Кері жүріс.

  1. есептейміз.

  2. мәндерін есептеу үшін соңғысынан бастағанда бірліктерден (белгіленген жолдар) тұратын I, II-бөлімдердің жолдары ғана пайдаланылады.



  1. І-бөлімнің белгіленген жолдарының элементтерін пайдаланып -ді есептейміз.



Мысал 4.1. Жүйені Гаусс әдісімен шешу.

{




Шешуі. Гаустың шағын сызбасын және кестені толтыру тәртібін (4.2- кестені қараңыз) пайдаланып, берілген жүйені шешеміз.


    1. кесте







I







Бос

мүшелер


Σ

I


1

2,34

-4,21

-11,61

14,41

0,93

2

8,04

5,22

0,27

-6,44

7,09

3

3,92

-7,99

8,37

55,56

59,86




1

-1,7991

-4,9615

6,1581

0,3974

II


1




19,6848

40,1605

-55,9511

3,8949

2




-0,9375

27,8191

31,4202

58,3022







1

2,0402

-2,8424

0,1979

III

1







29,7318

28,7555

58,4877

IV











1

0,9672

1,9672







1




-4,8157

-3,8256




1







2,2930

3,2931

III-бөліммен тура жүріс аяқталады. IV-бөлімнің бірінші жолындағы бос мүшелер бағанында мәні алынды. мен мәндерін есептеу үшін мына есептеулер жүргізіледі:







    1. жүктеу/скачать 326,84 Kb.

      Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   21



©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет