Сабақтың тақырыбы Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы

Карл Фридрих Гаусспен байланысты болмақ.

Тарихи деректерге үңілсек, XVIII ғасырдың соңында Германияда бір сабақта мұғалім оқушыларына «1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың (1+2+3+ ...+98+99+100) қосындысын» табуды тапсырыпты. Оқушылардың біреуі: «ізделінді қосынды 5050-ге тең», – деп бірден жауап береді. Бұл 10 жасар Карл Гаусс болатын.

Біздер енді сол кездегі 10 жасар бала Гаусстың тәсілі мен танысайық.

Ол үшін 1-ден 100-ге дейінгі сандарды қосынды түрінде жазайық.(1-ден 100-ге дейінгі сандар арифметикалық прогрессия құрайтыны түсінікті)

1+2+3+...+50+51+...98+99+100

Қосылғыштарды осы тұрысынан (1+100)+(2+99)+(3+98)+...(50+51) түрінде қоссақ, әрбір жақшаның іші 101-ге тең болатын 50 қосылғыш шығады. Демек, 1+2+3+...+98+99+100=101*50=5050 шығады.

Математикада қосындыны «summa» сөзінің бірінші әріпі S арқылы белгілейді. Олай болса, 1-ден 100-ге дейінгі сандарды арифметикалық прогрессияның алғашқы 100 мүшесі деп түсінсек, қосындыны мыны түрде есептеуге болады.

Бұл өрнекке қарап мынадай формуланы қорытып шығару қиын емес, яғни,

Бұл –арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын есептейтін формула.

Енді арифметикалық поргрессияның n-ші мүшесінің формуласын қолдансақ, қосындының формуласын мана түрге келтіруге болады:

Сонымен, (2)

(1)-формуланы прогрессияның 1-ші және соңғы мүшелері белгілі болған жағдайда, ал, (2)-формуланы 1-ші мүшесі мен айырымы белгілі болған жағдайда қолданған тиімді. Мысалдар қарастырайық.