Сборник задач для учащихся 5-6 классов

В задаче рассматривается два множества: грибы Саши, обозначим его 
{а
1, 
а
2
}, грибы Тани – {b
1, 
b
2
, b
3
}. Все грибы в корзине представляют собой 
объединение этих двух множеств: {a
1, a
2, b
1, 
b
2, 
b
3
}. В полученном множестве 
5 (5 = 2+3) элементов. И, значит, взять из корзины либо белый гриб, либо 
подосиновик можно пятью способами.
В обобщенном виде этот способ подсчета элементов в объединении 
пересекающихся конечных множеств называется 
правилом суммы 
и 
формируется следующим образом: 
если множество А содержит n 
элементов
, а множество
В – m элементов и множество А и В не 
пересекаются, то объединение множеств А и В содержит n + m элементов.
В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, правило 
суммы формулируют иначе: 
если элемент a можно выбрать n способами, а 
элемент b – m способами, причем не один из способов выбора элемента а не 
совпадает со способом b, то выбор либо а, либо b можно осуществить n+m 
способами. 
Задача 6:
«Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в 
записи числа каждую из них не более одного раза?». 
При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных 
вариантов. 
Перва
я 
цифра 
1 
3 
5 
7 
Вторая 
цифра 
3 
5 
7 
1 
5 
7 
1 
3 
7 
1 
3 
5 
Третья 
цифра 
5 
7 
3 
7 
3 
5 
5 
7 
1 
7 
1 
5 
3 
7 
1 
7 
1 
3 
3 
5 
1 
5 
1 
3 
Ответ на поставленный вопрос в задаче можно получить, не выписывая сами 
числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. 
Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так 
после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать 
из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно 
выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число 

искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24. Формулируем 
еще одно правило: «Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за 
другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n
1
способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n
2
способами, затем третий элемент – n
3
способами и т.д., то число способов, 
которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению 
n
1
·n
2
·n
3
·…·n
k
». 
Ответ:
24 
В обобщенном виде этот способ подсчета элементов в декартовом 
произведении конечных множеств называется 
правилом произведения 
и 
формулируется следующим образом: 
если множество А содержит n, а 
множество В - m элементов, то декартово произведение этих множеств 
содержит n×m элементов. 
Применение правила умножения рассмотрено на следующем примере: 
Задача 7:
«Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, 
из города С до пристани – две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из 
города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут 
выбрать маршрут? 
Решение.
Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в 
каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, 
имеется 2·3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань 
можно попасть двумя способами, то всего существует 2·3·2, т.е. 12 способов 
выбора туристами маршрута из города А к пристани. 

жүктеу/скачать 3,64 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: