§ 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
Г р а д и е н т
3439. 1) ф(л:, у) = Х“ — 2ху -)- З у — 1. Найти проекции градиента
в точке ( 1, 2).
2) и = 5х~у— 3ху*-\~ у*. Найти проекции градиента в произвольной
точке.
3440. 1) z= x*-\- у 2. Найти grad z в точке (3, 2).
2) z = ]/4 -j- х ‘ -}- У'- Найти grad z в точке (2, 1).
3) z = arctg ~ . Найти grad z в точке (х0, Уо).
3441. 1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z =
= In (jr -j- 4jr) в точке (6, 4, In 100).
2) Найти
наибольшую
крутизну
подъема
поверхности z = xy
в точке (2, 2, 4).
3442.
Каково
направление
наибольшего
изменения функции
ср (х, у, z) = х sin z — у cos z в начале координат?
3443. 1) z = arcsin —~r~r— • Найти угол между
градиентами этой
X у
функции в точках (1, 1) и (3, 4).
2)
Даны функции z — '\ f хг -|- у
1
и z = x — Зу -j- V Зху. Найти угол
между градиентами этих функций в точке (3, 4).
3444. 1) Найти точку, в которой градиент функции z = ln Lv- {- yj
16
.
равен I — -у- j.
§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ
215
2) Найти точки, п которых модуль градиента функции г = (х*
уг) 2
равен 2.
3445.
Доказать следующие соотношения (ср и ф — дифференцируемые
функции, с — постоянная):
grad (ср -|~ 6) = grad о -{- Srac^
gra(l (с ~\~ ?) = grad ср;
grad (сер) = с grad ср;
grad (ерб) = ср grad ф -{- ф grad ср;
grad (срп) = пу
п~1
grad ср;
grad [ср (6)] = ср' (6) grad О.
3440. z = о (и, v), г/ = ф (_хт, у), v = (s(x, у). Показать, что
grad z = ^ grad и -{- ^ grad v.
3447. 1) и (х, у, z) = xy-z. Найти проекции grad и в точке (аг0, у п, za)
2) и (х, у, z) =Ух~-\-у--\-г-. Найти grad и.
3448. Показать, что функция н = 1п (лг2-|-.У2 -j-z2) удовлетворяет
соотношению // = 2 1п 2 — In (grad и)~.
3449. Доказать, что если лг, у, z суть функции от t, то
± / (х , у,
z) = grad/-g,
где r — xi-\-yj
zk.
3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соотношение
для нахождения градиента функции:
1
) f = r - \ 2) / = | г |; 3 ) f = F ( r * b 4) f = {a r )(b r )\ 5) f= [a b r )\
где а и о — постоянные векторы.
П р о и з в о д н а я по н а п р а в л е н и го
3451. 1) Найти производную функции z = x ]' — Зл~у
3.vy2 -j- 1
в точке М (3, 1) в направлении, идущем от этой
точки к точке (б, 5).
2) Найти производную функции z = arctg ху в точке ( 1, 1) в направ
лении
биссектрисы перного координатного угла.
3) Найти производную функции z==xy- — ху3— 3у — 1 в точке (2, 1)
в направлении, идущем от этой точки к началу координат.
4) Найти производную функции z = \п (ех -\-су) в начале координат
в направлении луча, образующего угол а с осыо абсцисс.
3452. Найти производную функции z = In (лг-[->') в точке ( 1, 2),
принадлежащей параболе у- = 4х, по направлению этой параболы.
3453. Найти производную функции z = arctg
в точке
»
принадлежащей окружности л"-(-у2— 2л-= 0, по направлению этой
окружности.
3554. Доказать, что производная функции z = ^ в любой точке
эллипса 2л;2 -J-у ‘ = 1 по направлению нормали к эллипсу равна пулю.
3455. 1) Найти производную функции и = ху* -}- z3— xyz в точке
Л І ( 1, 1, 2) в направлении, образующем с осями координат углы соот
ветственно в 60°, 45°, 60°.
2)
Найти производную функции w = xyz в точке А (5, 1, 2) в направ
лении, идущем от этой точки к точке В (9, 4, 14).
3456. Найти производную функции u = x-y-z~ в точке А ( 1,— 1, 3)
в направлении, идущем от этой точки к точке /5(0, 1, 1).
V**
у *
2*^
3457. Доказать, что производная функции и = -j
-J-
в любой
точке А1 (лг, у, z) в направлении, идущем от этой точки к началу коор
динат, равна
— —
, где
г =
У
х 1 -j- у~
z~.
3458. Доказать, что производная функции и = / (х , у, z) в направ
лении ее градиента равна модулю градиента.
3459. Найти производную функции
и =
где г = X ' И-у ' -J- -г2
в направлении ее градиента.
216
ГЛ. XT. П РИ М ЕН ЕН И Я ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Г Л А В А XII
Достарыңызбен бөлісу: |