Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі сайдикаримов Умиджан Абдирашидович
жүктеу/скачать 67,16 Kb.
|
Умиджан баяндама
| Мысал: Айталық және функция осы теңдеудің шешімі болады. Себебі,
функция , тең. Берілген теңдеуге орналастырсақ, , 0=0 , , тең. Берілген теңдеуге орналастырсақ, , 0=0 Сонымен дифференциалдық теңдеудің бір шешімі ғана емес, көп шешімі болатынына көзімізді жеткіздік. Бұл факт, тіпті интегралдық есептеу кезінен белгілі болған. Шынында да, (4) қарапайым теңдеуін алсақ, бұл теңдеудің шешімі f(x) функциясының анықталмаған интегралы екені белгілі. (y . (4) теңдеудің шешімдерінің жалпы түрін былай жазуға болады. у=(x)+C мұнда (х) (4) теңдеудің қандайда бір шешімі. С-ға мәндер беру арқылы (4) теңдеудің дербес шешімін табуға болады. (3) дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің жалпы түрін у=(x,C) формуласы арқылы жазуға болады. Жалпы жағдайда дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің жалпы түрі (х,у,C)=0 формуласы арқылы жазылады. Бұл қатысты (3) теңдеудің жалпы интегралы деп атайды. (3) теңдеудің шешімінің графигін осы теңдеудің интегралдық қисығы деп атайды. (3) теңдеудің (х0)=у0 ( y|) шартын қанағаттандыратын у=(х) шешімін табуды теңдеуі үшін тұжырымдалған Коши есебі (немесе бастапқы есеп) дейді. y| шартын бастапқы шарт деп атайды. х0,, у0 шамаларын бастапқы берілімдер дейді. функциясы белгілі шарттарды қанағаттандырғанда теңдеуі үшін тұжырымдалған Коши есебінің жалғыз ғана шешімінің бар және жалғыз болатынын дәлелдеуге болады. (5) теңдеуін әрқашан M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 (6) түріне келтіруге болады және керісінше. Мысалға (5) теңдеуді (1.12) теңдеуге келтіру үшін оның екі жағын N(x,y)dx көбейтсек болғаны. Сонда (6) түрге келтіреміз. Бұл жағдайда M(x,y)=-f(x,y)N(x,y). Анықтама: Мына түрдегі және M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0 (7) теңдеулерді айнымалысы ажыратылатын теңдеу деп атаймыз. (7) теңдеуіне тән қасиет dx пен dy шамаларының коэффицеттері екі функцияның көбейтіндісінен тұрады. Олардың әрқайсысы бір ғана айнымалыға тәуелді болады. Егер болса, онда (7) теңдеуді түріне келтіреміз. Соңғы теңдеуді мына түрде жазуға болады: Осыдан Мұнда C еркін тұрақты. Алынған теңдеудің сол жағын F(x,y) белгілесек F(x,y)=C теңдігін аламыз. Ол берілген теңдеудің жалпы интегралы болып табылатыны белгілі. Ал егер , онда y=y0 функциясы (7) теңдеуінің шешімі болады. Өйткені (7) теңдеуінің dy=dy0=0 болғандықтан екінші қосылғышы да нольге айналады. Сондай-ақ N1,(x0)=0, онда x=x0 де (7) теңдеуінің шешімі болады. Бұл шешімдер дербес немесе ерекше шешімде бола алады. Егер көрсетілген шешімдер параметр C–ның белгілі бір мәндерінде жалпы шешімінен алынса, онда олар дербес шешімдер болады, ал қарама-қарсы жағдайда ерекше шешімге жатады. Мысал: . дифференциал теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Берілген теңдеу айнымалысы ажыратылатын теңдеу. Онда теңдеуді интегралдасақ - Потенциалдағаннан кейін дифференциал теңдеудің жалпы шешім табылды. Егер теңдеудің оң жағындағы өрнек белгісіз функция мен оның туындыларына қарай сызықтық және олардың көбейтінділерін қамтымаса, онда мұндай теңдеулерді сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп атайды. Егер (1) теңдеу туындының жоғарғы ретіне қарай шешілсе:
онда дифференциалдық теңдеу нормалды түрде берілген деп айтады. Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигін теңдеудің интегралдық қисығы деп атайды. Берілген дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процесін теңдеуді интегралдау деп атайды. n-ретті дифференциалдық (1.1) теңдеудің жалпы шешімі деп тәуелсіз айнымалы х тен және кез келген п тұрақты саннан тәуелді (1.3) функциясын айтады. (1.3) жалпы шешім қайсыбір жағдайларда айқындалмаған , =0 (1.3ˈ) түрде алынады, бұл шешімді жалпы интеграл деп атайды. Дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп жалпы шешімнен тұрақтылардың белгілі бір мәндерінде алынған шешімді айтады. (1.2) дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін табу үшін бастапқы шарттар беріледі: ),…., Дифференциалдық теңдеулердің сызықты жүйелері мынадай: мұндағы ( k, l ) және ( k ) мәні -тан берілген функциялар, онда ол дифференциалдық теңдеулердің сызықты жүйесі немесе, қысқаша, сызықты жүйе деп аталады. (k). (1.4) Егер барлық функциялар (a,b) аралығында 0 болса, онда (1.1) жүйе біртекті деп аталады. Бұл жағдайда (1.1) жүйе мына түрде жазылады: (k) (1.5) 1.(1.1) сызықты жүйе тәуелсіз айнымалының кез-келген өзгертулерінде сызықты болып қалады , мұндағы – t-дан кез-келген функция, (α,β) интервалында анықталған және үзіліссіз дифференциалданған, сонымен бірге барлық (α,β) интервалында , . Шыныменде, Сондықтан (1)жүйе мына түрге келеді (k), мұндағы
коэфициенттері және функциялары (α,β) интервалында үзіліссіз. Бұдан басқа, біртекті жүйе біртектіге айналатыны белгілі. Тәуелсіз айнымалыны алмастырып, n-ші ретті сызықты теңдеу сияқты, осы сызықты жүйені ыңғайлы түрге алып келуге болады . 2.(1.1) сызықты жүйе сызықты болып қалады егер, қандай да болсын белгісіз функциялар (1.6) түрлендірулер коэфициенттері, мазмұны (α,β) интервалында x-тан үзіліссіз дифференциалданған функциялар. Шыныменде, (1.3) түрлендіру ерекше болмағандықтан, онда жалғыз кері түрлендіру бар болады (i), (1.7) мұндағы - (a,b) аралығында үзіліссіз дифференциалданған. (1.7) түрлендіру де ерекше болып табылмайды, ал оның коэфициенттерін танымал Крамер ережесін пайдаланып табуға болады. Сонымен бірге коэфициенттері коэфициенттері арқылы мына формуламен айқындалады: (k). Мұндағы -анықтайтын элементінің алгебралық толықтауышы. Енді жүйенің түрлендірілген түрін табайық. Бізде бары немесе
(i), (1.8) мұндағы
(m), (i). (1.8) жүйенің түрлендірілген коэфициенттері (a,b) аралығында үзіліссіз және де біртекті жүйе біртекті болып өзгереді. жүктеу/скачать 67,16 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|