1. 2. Сызықты емес толқындар теориясының математикалық модельдері 2. 1. Сипаттамалар әдісі Шексіз түзудегі тербеліс теңдеуін қарастырайық
шешімі келесідей:
және шешімдері (3) және (4) түріндегі екі бірінші ретті дербес дифференциалдық теңдеулерді қарастырыңыз:
(3) және (4) теңдеулер сызықтық терендік теңдеулер деп аталады. Олардың шешімдері (функциялары және ) бастапқы профильдерді және ось бойымен оң және теріс бағытта тұрақты жылдамдықпен тасымалдайды.
Егер тасымалдау теңдеулерінің шешімі оның аргументінің екі есе үздіксіз дифференциалданатын функциясы болса, онда ол (1) тербеліс теңдеуін де қанағаттандырады.
Толқын тараған кезде оның уақыттық профилі бұзылады, яғни толқындық дисперсиялық эффект болмайды. Бұл орта параметрлерінің тұрақтылығымен анықталатын толқынның таралу жылдамдығының тұрақтылығына байланысты.
Бірақ көптеген физикалық есептерде ортада таралатын толқындардың әсерінен оның қасиеттерінің өзгеруін ескеру қажет, бұл толқынның таралу жылдамдығының шешімге тәуелділігіне әкеледі. Бұл жағдайда квахисызықты тасымалдау теңдеуін қарастыру қажет:
Коши есебін шексіз түзуде қарастырайық
Содан кейін
және алу
мұндағы кез келген дифференциалданатын функция.
(6), (7) есептердің шешімі жасырын теңдеуден анықталады
және қисықтағы тұрақты шама, демек , еңісі бар жазықтықтағы түзу
бастапқы функциясымен анықталады . Бұл сызықтың теңдеуі:
(6) теңдеудің шешімі тұрақты болып шығатын параметрге байланысты сызықтардың бір параметрлі тобын алдық . Бұл бастапқы функциядан кез келген уақытта функцияны анықтауға мүмкіндік береді . Біз мұны іс жүзінде қалай жасауға болатынын көрсетеміз.
Нүкте таңдаңыз
және оған сәйкес сипаттаманы құрастырыңыз :
көлбеу бұрышымен
Сипаттамада барлық жерде
Нүкте – сызықтың сипаттамамен қиылысу нүктесі
бойынша бастапқы мәннің берілу жылдамдығы шешімге байланысты, профиль бұрмаланған - қозғалатын толқынның дисперсиясы. Сипаттамалар қиылысатын кезде профиль екі жақты сыну толқындары болып табылады.
4. Толқынның үзілу құбылысының себебі (8) формула бойынша
нүктенің амплитудасы неғұрлым жоғары болса, толқын соғұрлым тезірек таралады. Сондықтан толқынның төбесіндегі нүктелер өз қозғалысында оның түбінің нүктелерін басып озады. Пікір. Көбінесе түсініксіз шешім профилінің пайда болуы (6) теңдеуімен сипатталған физикалық модельдің мәніне қайшы келеді.
5. соған сәйкес функция бір мәнді функция болып табылады. Мысалы, бір нүктедегі үздіксіз ортадағы толқындарды қарастырғанда физикалық параметрлердің әртүрлі мәндері болуы мүмкін емес. Үшін. түсініксіз шешімдерді болдырмау үшін
(6) теңдеуді шешу туралы түсінікті кеңейту қажет.
(6)
және үздіксіз дифференциалданатын шешімдердің орнына
үзілістерді қарастырыңыз.
Бұл жағдайда өрнекке жаңа мағына беру қажет
"функциясы
Аннотация Жалпыланған шешімдерді жалпыланған функциялар теориясына қалай енгізсе, дәл солай енгізу заңды.
6.2.Жалпыланған шешім. Үзіліс шарты Анықтама. Функция (6) теңдеуді жалпылама мағынада, егер кез келген тіктөртбұрыш үшін қанағаттандырады
және кез келген шексіз дифференциалданған және ақырлы функция интегралдық сәйкестікті сақтайды:
Пікір. Егер жалпылама шешім (10) кәдімгі мағынада (6) теңдеуді қанағаттандырса: (10) бөліктерін біріктіреміз.
және еркіндігінің арқасында (11) -ден (6) аламыз.
7. Ескерту. (10) формуланы алу үшін (6) теңдеуді келесі түрде жазамыз:
8. Осы теңдеуді функцияға көбейтіп , тіктөртбұрыштың үстіндегі функцияның ақырлылығын ескере отырып, бөліктері бойынша интегралдаңыз :
Бірегейі бар үзіліссіз шешім болсын
қисық үзіліс :
рұқсат етіңіз
9. Домендегі бөліктер бойынша (10) біріктіреміз :
және ауданда :
қисықтағы шекті мәндер қайда
10. Ескерту. (12) және (13) формулаларды алған кезде бөліктер бойынша интеграция формуласы қолданылды:
мұндағы - O осі мен бетке сыртқы нормаль арасындағы тегіс (немесе кем дегенде бөліктік тегіс шекарасы) бұрышы бар аймақ . Формула функциялар үшін жарамды .
11. (12) және (13) толықтырылсын:
