СӨЖ тапсырмалары №1 Оқиғалар. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары

СӨЖ тапсырмалары №1 

 

Оқиғалар. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары. 

Ықтималдықтың классикалық және геометриялық анықтамасы. 

 

1.   Жәшікте   

     шар  бар  оның   -і  боялған.  Жәшіктен     шар  алынған. 

Алынған 

  шардың   шары боялған шар болу ықтималдығы неге тең? 

2.   Ойын 

сүйегі 

  

рет 

лақтырылған. 

Келесі 

оқиғалардың 

ықтималдықтарын  табыңыз.    а)  тускен  ұпайлардың  қосындысы 

   -ге 

тең;      ә)  түскен  ұпайлардың көбейтіндісі 

   -ке  тең; б) бірінші сүйекте 

бестік ұпай түсті,  в) барлық сүйектерде  бірдей ұпайлар түсті.    

3.  а) 

   егіздер  жұбын  бір  қатарға  орналастырылған.  Белгілі  бір  жұптың 

қатар  тұру  ықтималдығы  неге  тең?  ә) Егер 

   егіздер жұбын дөңгелек 

стол басына орналастырсақ, онда ізделініп отырған ықтималдық қалай 

өзгереді. 

4.  Ұзындығы бірге тең кесіндіге бір нүкте қойылған. Нүктеден кесіндінің 

соңғы  нүктесіне  дейінгі  ара  қашықтық 

   -ға  тең  болу  ықтималдығы 

неге тең? 

5.  Екі студент келісілген жерде r мен s-тің арасында кездесуге уәделескен. 

Бірінші  келгені  t  минут  күтіп,  екіншісі  келмесе  кете  береді.  Егер 

олардың  әрқайсысы  келісілген  жерге  кездейсоқ  (r  мен  s  арасында) 

келеді десек, онда екеуінің кездесу ықтималдығы неге тең? 

Кесте 1 

1 

              2 

         3 

   4 

   5 

r 

   t 

1.1 

30  10  9 

6  2.1 

2  5 

1 

3.1 

3 

4.1 

 

5.1 

8  8.30  15 

1.2 

29  8 

10  4  2.2 

3  5 

1 

3.2 

4 

4.2 

 

5.2 

8  8.35  15 

1.3 

28  7 

8 

3  2.3 

4  5 

1 

3.3 

5 

4.3 

 

5.3 

8  8.40  15 

1.4 

27  6 

7 

5  2.4 

5  5 

1 

3.4 

6 

4.4 

 

5.4 

8  8.45  15 

1.5 

25  5 

14  5  2.5 

2  6 

2 

3.5 

7 

4.5 

 

5.5 

8  8.50  15 

1.6 

20  4 

12  3  2.6 

3  6 

2 

3.6 

8 

4.6 

 

5.6 

8  8.55  15 

1.7 

21  9 

9 

2  2.7 

4  6 

2 

3.7 

9 

4.7 

 

5.7 

8  9 

15 

1.8 

22  10  10  6  2.8 

5  6 

2 

3.8 

10  4.8 

 

5.8 

8  8.30  20 

1.9 

23  8 

8 

7  2.9 

2  7 

3 

3.9 

11  4.9 

 

5.9 

8  8.35  20 

1.10  24  7 

7 

5  2.10  3  7 

3 

3.10  12  4.10   

5.10  8  8.40  20 

1.11  19  6 

14  3  2.11  4  7 

3 

3.11  13  4.11   

5.11  8  8.45  20 

1.12  18  5 

12  4  2.12  5  7 

3 

3.12  14  4.12   

5.12  8  8.50  20 

1.13  17  4 

9 

3  2.13  2  8 

4 

3.13  16  4.13   

5.13  8  8.55  20 

1.14  16  9 

10  8  2.14  3  8 

4 

3.14  16  4.14   

5.14  8  9 

20 

1.15  15  10  8 

7  2.15  4  8 

4 

3.15  17  4.15   

5.15  8  8.30  25 

1.16  14  8 

7 

6  2.16  5  8 

4 

3.16  18  4.16   

5.16  8  8.35  25 

1.17  13  7 

8 

5  2.17  2  9 

5 

3.17  19  4.17   

5.17  8  8.40  25 

1.18  12  6 

6 

3  2.18  3  9 

5 

3.18  20  4.18   

5.18  8  8.45  25 

1.19  11  5 

5 

2  2.19  4  9 

5 

3.19  21  4.19   

5.19  8  8.50  25 

1.20  10  4 

4 

3  2.20  5  9 

5 

3.20  22  4.20   

5.20  8  8.55  25 

1.21  25  9 

12  8  2.21  2  10  6 

3.21  23  4.21   

5.21  8  9 

25 

1.22  15  9 

7 

7  2.22  3  10  6 

3.22  24  4.22   

5.22  8  8.30  10 

1.23  20  6 

13  4  2.23  4  10  6 

3.23  25  4.23   

5.23  8  8.35  10 

1.24  10  8 

6 

5  2.24  5  10  6 

3.24  26  4.24   

5.24  8  8.40  10 

1.25  16  7 

8 

6  2.25  6  6 

6 

3.25  27  4.25   

5.25  8  8.45  10 

 

 

 

Комбинаторика элементтері. Шарларды жәшіктере үлестіру. 

Максвел-Больцман, Бозе-Эйнштейн, және Ферма-Дирак 

статистикалары. 

 

1.  Неше тәсілмен  

  кілттен     кілт алуға болады 

2.  Неше  тәсілмен 

  кітаптың ішіндегі белгілі екі кітапты катар тұратындай   

  орынға орналастыруға болады 

3. 

r

    шарды 

n

  жәшікке  кездейсоқ  үлестіру  схемасы  Ферми-Дирак 

статистикасына 

сәйкес 

жүзеге  асырылса,  онда  әр 

кездейсоқ 

орналастырудың ықтималдығы неге тең  

4. 

r

  шарды 

n

  жәшікке  кездейсоқ  үлестіру  схемасы  Максвелл-Больцман 

статистикасына 

сәйкес 

жүзеге  асырылса,  онда  әр 

кездейсоқ 

орналастырудың ықтималдығы неге тең 

5. 

r

  шарды 

n

  жәшікке  кездейсоқ  үлестіру  схемасы  Бозе-Эйнштейн 

статистикасына 

сәйкес 

жүзеге  асырылса,  онда  әр 

кездейсоқ 

орналастырудың ықтималдығы неге тең 

 

 

 

 

Кесте 2 

1 

        2 

   3 

r

 

n

  4 

r

 

n

  5 

r

 

n

 

1.1 

8 

3 

2.1 

25  3.1 

2 

7 

4.1 

1 

10  5.1 

1 

10 

1.2 

8 

4 

2.2 

24  3.2 

3 

7 

4.2 

2 

9 

5.2 

2 

9 

1.3 

8 

6 

2.3 

23  3.3 

4 

7 

4.3 

3 

8 

5.3 

3 

8 

1.4 

8 

5 

2.4 

20  3.4 

5 

7 

4.4 

4 

7 

5.4 

4 

7 

1.5 

8 

2 

2.5 

21  3.5 

6 

7 

4.5 

5 

6 

5.5 

5 

6 

1.6 

8 

7 

2.6 

19  3.6 

3 

9 

4.6 

6 

5 

5.6 

6 

5 

1.7 

9 

2 

2.7 

18  3.7 

4 

9 

4.7 

7 

4 

5.7 

7 

4 

1.8 

9 

3 

2.8 

17  3.8 

5 

9 

4.8 

8 

3 

5.8 

8 

3 

1.9 

9 

4 

2.9 

16  3.9 

6 

9 

4.9 

9 

2 

5.9 

9 

2 

1.10 

9 

5 

2.10  15  3.10  7 

9 

4.10  10  1 

5.10  10  1 

1.11 

9 

6 

2.11  14  3.11  2 

9 

4.11  10  2 

5.11  10  2 

1.12 

9 

7 

2.12  13  3.12  11  12  4.12  10  3 

5.12  10  3 

1.13 

9 

8 

2.13  12  3.13  10  12  4.13  10  4 

5.13  10  4 

1.14 

12  5 

2.14  11  3.14  9 

12  4.14  10  5 

5.14  10  5 

1.15 

12  7 

2.15  10  3.15  8 

12  4.15  10  6 

5.15  10  6 

1.16 

12  9 

2.16  9 

3.16  7 

12  4.16  10  7 

5.16  10  7 

1.17 

12  11  2.17  8 

3.17  6 

12  4.17  10  8 

5.17  10  8 

1.18 

13  8 

2.18  7 

3.18  5 

12  4.18  3 

7 

5.18  3 

7 

1.19 

13  10  2.19  6 

3.19  4 

12  4.19  3 

6 

5.19  3 

6 

1.20 

13  12  2.20  5 

3.20  3 

12  4.20  3 

5 

5.20  3 

5 

1.21 

7 

2 

2.21  26  3.21  5 

14  4.21  3 

4 

5.21  3 

4 

1.22 

7 

3 

2.22  27  3.22  6 

14  4.22  3 

3 

5.22  3 

3 

1.23 

7 

4 

2.23  28  3.23  7 

14  4.23  3 

2 

5.23  3 

2 

1.24 

15  12  2.24  29  3.24  8 

14  4.24  5 

3 

5.24  5 

3 

1.25 

15  13  2.25  30  3.25  9 

14  4.25  5 

4 

5.25  5 

4 

 

Шартты ықтималдық. Ықтималдықтың көбейту және қосу  

теоремалары. Толық ықтималдықтар формуласы және Байес 

формуласы. 

 

1.  00,01,02,.....,98,99  сандар  жиынынан  кездейсоқ  бір  сан  алынған. 

X

-

таңдалған  санның  цифрларының    қосындысы,   

Y

-таңдалған  санның 

көбейтіндісі болсын.   





j

Y

i

X

P

P

j

i







/

/

 ықтималдығын табыңыз. 

2.  Қорапта   

   көк  ,     қызыл  жалау  бар.  Екі  ойыншы  кезекпен  бір-бір 

жалаудан алады. Ең бірінші көк жалауды кім алса, сол ойыншы жеңеді. 

Егер  жалаулар  қорапқа  әр  жолы  а)  кері  қайтарылса,  ә)  кері 

қайтарылмаса,  онда  бірінші  және  екінші  ойыншылардың  сәйкес  ұту 

ықтимлдықтары неге тең? 

3.  Бірінші қорапта  

 

 

 ақ ,  

 

 

  қара,  ал екінші қорапта  

 

 ақ ,  

 

 

  қара 

шар.  Екінші  қораптан  кездейсоқ  екі  шар  алынып,  бірінші  қорапқа 

салынған.  Одан  кейін  толықтырылған  бірінші  қораптан  бір  шар 

алынған. Осы шардың ақ шар болу ықтималдығы неге тең? 

4.  Топта 

   шаңғышы,     велосипедші  және     жүгіргіш  бар.  Норманы 

орындау  ықтималдығы  шаңғышы  үшін  - 

 

 

,  велосипедші  үшін  - 

 

 

, 

жүгіргіш  үшін  - 

 

 

.  а)  Топтан  кездейсоқ  таңдалған  спортшының 

норманы  орындау  ықтималдығын  табыңыз  және  осы  спортшының  ә) 

шаңғышы,  б)  велосипедші,  в) жүгіргіш  болуының   ықтималдығы неге 

тең? 

5.  Жеті  жәшік  берілген.  Бірінші,  екінші  жәшіктерде   

 

 

  ақ,   

 

 

  қара 

шардан,  ал  үшінші,  төртінші  жәшіктерде 

 

 

  ақ,   

 

 

  қара  шардан, 

бесінші,  алтыншы  және  жетінші  жәшіктерде 

 

 

  ақ,   

 

 

  қара  шардан 

бар.  Кездейсоқ  таңдалған  жәшіктен  ақ  шар  алынды.  Алынған  ақ 

шардың  үшінші  немесе  төртінші  жәшіктен  алынған  болуының 

ықтималдығы неге тең?  

Кесте 3 

1 

        2 

      3 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

  4 

          

 

 

 

 

 

 

 

  5 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1 

0 

0  2.1 

2  3 

3.1 

1 

6 

1 

3 

4.1 

4 

3 

3 

0.6  0.5  0.7  5.1 

2 

1 

3 

4 

2 

5 

1.2 

1 

0  2.2 

2  4 

3.2 

2 

5 

1 

3 

4.2 

3 

4 

3 

0.6  0.7  0.7  5.2 

2 

5 

2 

1 

3 

4 

1.3 

2 

0  2.3 

2  5 

3.3 

3 

4 

1 

3 

4.3 

2 

4 

4 

0.6  0.8  0.8  5.3 

3 

4 

2 

5 

2 

1 

1.4 

3 

0  2.4 

2  6 

3.4 

4 

3 

1 

3 

4.4 

4 

2 

4 

0.6  0.9  0.9  5.4 

2 

1 

2 

5 

2 

5 

1.5 

4 

0  2.5 

2  7 

3.5 

5 

2 

1 

3 

4.5 

4 

4 

2 

0.6  0.6  0.9  5.5 

2 

5 

3 

4 

5 

3 

1.6 

5 

0  2.6 

2  8 

3.6 

6 

1 

1 

3 

4.6 

3 

3 

4 

0.6  0.7  0.8  5.6 

4 

2 

5 

1 

6 

3 

1.7 

6 

0  2.7 

3  3 

3.7 

3 

7 

2 

4 

4.7 

12  4 

4 

0.6  0.8  0.4  5.7 

1 

7 

6 

2 

4 

1 

1.8 

7 

0  2.8 

3  4 

3.8 

2 

8 

2 

4 

4.8 

4 

4 

12  0.6  0.9  0.5  5.8 

3 

3 

4 

2 

5 

7 

1.9 

8 

0  2.9 

3  5 

3.9 

1 

9 

2 

4 

4.9 

10  8 

2 

0.7  0.5  0.7  5.9 

2 

5 

2 

1 

3 

4 

1.10  9 

0  2.10  3  6 

3.10  8 

3 

2 

4 

4.10  7 

3 

10  0.7  0.4  0.4  5.10  3 

4 

2 

5 

2 

1 

1.11  10  0  2.11  3  7 

3.11  7 

3 

2 

4 

4.11  6 

4 

10  0.7  0.5  0.7  5.11  2 

1 

3 

4 

2 

5 

1.12  11  0  2.12  4  4 

3.12  9 

1 

2 

4 

4.12  8 

5 

7 

0.7  0.7  0.7  5.12  2 

5 

2 

1 

2 

5 

1.13  12  0  2.13  4  5 

3.13  1 

3 

1 

6 

4.13  7 

9 

4 

0.7  0.8  0.8  5.13  5 

3 

2 

5 

3 

4 

1.14  13  0  2.14  4  6 

3.14  1 

3 

2 

5 

4.14  6 

5 

9 

0.7  0.9  0.9  5.14  6 

3 

4 

2 

5 

1 

1.15  14  0  2.15  4  7 

3.15  1 

3 

3 

4 

4.15  6 

7 

7 

0.7  0.6  0.9  5.15  4 

1 

1 

7 

6 

2 

1.16  15  0  2.16  5  3 

3.16  1 

3 

4 

3 

4.16  3 

8 

9 

0.7  0.7  0.8  5.16  5 

7 

3 

3 

4 

2 

1.17  16  0  2.17  5  4 

3.17  1 

3 

5 

2 

4.17  9 

6 

5 

0.6  0.8  0.4  5.17  2 

1 

2 

5 

2 

1 

1.18  17  0  2.18  5  6 

3.18  1 

3 

6 

1 

4.18  7 

2 

11  0.6  0.9  0.5  5.18  2 

5 

3 

4 

2 

5 

1.19  18  0  2.19  5  7 

3.19  2 

4 

3 

7 

4.19  15  2 

3 

0.6  0.5  0.7  5.19  5 

3 

2 

1 

3 

4 

1.20  2 

4  2.20  5  2 

3.20  2 

4 

2 

8 

4.20  8 

6 

6 

0.6  0.4  0.4  5.20  6 

3 

2 

5 

2 

1 

1.21  4 

4  2.21  5  3 

3.21  2 

4 

1 

9 

4.21  7 

6 

7 

0.7  0.8  0.8  5.21  4 

1 

4 

2 

2 

5 

1.22  5 

4  2.22  5  4 

3.22  2 

4 

8 

3 

4.22  9 

2 

9 

0.7  0.4  0.9  5.22  5 

7 

1 

7 

4 

2 

1.23  5 

6  2.23  6  2 

3.23  2 

4 

7 

3 

4.23  8 

8 

4 

0.6  0.5  0.6  5.23  3 

4 

3 

3 

1 

7 

1.24  7 

6  2.24  6  3 

3.24  2 

4 

9 

1 

4.24  7 

6 

7 

0.6  0.7  0.7  5.24  2 

1 

2 

5 

3 

3 

1.25  6 

6  2.25  6  4 

3.25  4 

2 

3 

7 

4.25  9 

7 

4 

0.6  0.4  0.8  5.25  2 

5 

3 

4 

4 

2 

Бернулли схемасы. Бернуллидің шектік теоремалары 

 

1.  Сынақ  бір  уакытта 

   тиынды  лақтырудан  тұрады.  Сынақты     рет 

қайталағанда  ең  болмағанда  бір  сынақта 

   рет  елтаңба  түсу 

ықтималдығы неге тең? 

2.  100  рет  тәуелсіз  сынақ  жүргізгенде  әрбір  сынақта  кандай  да  бір 

  

оқиғасының пайда болу ықтималдығы 

   ға тең.   оқиғасының а) дәл 

   рет;  ә)     

 

    ден  кем  емес   

 

 

  артық  емес  болу  ықтималдығын 

табыңыз.  б) 

  оқиғасының пайда болуының ең ықтимал табыс санын 

табыңыз. 

3.  Бір  рет  атқанда  мергенннің  нысанаға  дәл  тигізу  ықтималдығы  0,08-ге 

тең. Атылған 100 оқтың  а) дәл 

  рет; ә)   -дан кем емес рет; б)   -дан 

артық емес рет нысанаға тию ықтималдықтары неге тең? 

4.  Жолаушылардың  пойызға  кешігу  ықтималдығы  0,01-ге  тең. 

    

жолаушының ішіндегі ең ықтимал кешігушілер санын және ең ықтимал 

кешігушілер санының ықтималдығын табыңыз. 

5.  Бір  адамның  кезекшілігінде  станоктың    бұзылу  ықтималдығы  0,05-ке 

тең.  Онда 

   кезекшілікте  ешқандай  станоктың  бұзылмау 

ықтималдығын табыңыз.  Ең ықтимал табыс саны неге тең? 

 

1 

        2 

  

 

 

 

 

 

  3 

   4 

  

5 

  

1.1 

3  10  2.1 

0,8  60 

66  3.1 

10  4.1 

100 

5.1 

6 

1.2 

3  12  2.2 

0,5  61 

67  3.2 

11  4.2 

200 

5.2 

7 

1.3 

3  14  2.3 

0,9  62 

68  3.3 

12  4.3 

300 

5.3 

9 

1.4 

3  16  2.4 

0,8  63 

69  3.4 

14  4.4 

400 

5.4 

8 

1.5 

3  18  2.5 

0,5  64 

70  3.5 

16  4.5 

500 

5.5 

19 

1.6 

3  20  2.6 

0,9  65 

71  3.6 

18  4.6 

600 

5.6 

17 

1.7 

3  22  2.7 

0,8  66 

72  3.7 

20  4.7 

700 

5.7 

15 

1.8 

3  24  2.8 

0,5  67 

73  3.8 

22  4.8 

800 

5.8 

13 

1.9 

3  26  2.9 

0,9  68 

74  3.9 

24  4.9 

900 

5.9 

11 

1.10 

3  28  2.10  0,8  69 

75  3.10  26  4.10  1000  5.10  29 

1.11 

5  20  2.11  0,5  70 

76  3.11  28  4.11  1100  5.11  27 

1.12 

5  21  2.12  0,9  71 

77  3.12  30  4.12  1200  5.12  25 

1.13 

5  22  2.13  0,8  72 

78  3.13  32  4.13  1300  5.13  23 

1.14 

5  23  2.14  0,5  73 

79  3.14  34  4.14  1400  5.14  21 

1.15 

5  24  2.15  0,9  74 

80  3.15  36  4.15  1500  5.15  10 

1.16 

5  25  2.16  0,8  75 

81  3.16  38  4.16  1600  5.16  12 

1.17 

5  26  2.17  0,5  76 

82  3.17  40  4.17  1800  5.17  14 

1.18 

5  27  2.18  0,9  78 

83  3.18  42  4.18  2000  5.18  16 

1.19 

5  28  2.19  0,8  77 

84  3.19  44  4.19  2100  5.19  18 

1.20 

5  29  2.20  0,5  79 

85  3.20  46  4.20  2200  5.20  20 

1.21 

6  30  2.21  0,9  80 

86  3.21  48  4.21  2300  5.21  22 

1.22 

6  12  2.22  0,8  81 

87  3.22  50  4.22  2400  5.22  24 

1.23 

6  11  2.23  0,5  82 

88  3.23  52  4.23  2500  5.23  26 

1.24 

6  14  2.24  0,9  83 

89  3.24  54  4.24  2600  5.24  28 

1.25 

6  17  2.25  0,8  84 

90  3.25  56  4.25  2700  5.25  30