Тобы: 127-28a Орындаған:Қырықбаева н сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер»

Сызықтық емес теңдеулер жүйесін жуықтап шешу. ньютон және жай итерация әдістері

Тобы:127-28a

Орындаған:Қырықбаева Н

Сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер»

болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен

сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық

формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада

сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең

алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін,

түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау

керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға

келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады. Сонымен, сызықты емес

теңдеулерді шешудің екі кезеңі бар, ол:

1. Түбір жатқан аралықты анықтау.

2. Түбірін берілген дәлділікпен анықтау.

Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден тұрады.

1 Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою

арқылы тікелей шығару;

2 Итерациялық тәсіл – есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды

беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару;

Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық

тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді. Мұның ішінде

итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.

Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.

1 Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады;

2 Хорда әдісі;

3 Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі;

4 Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т.б.

Теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды,сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.

Ньютон әдісі

Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып

алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре

кетейік:Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (xn;f(xn)) ,

болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу

нүктесі теңдеудің түбіріне хn+1 – кезекті жуықтау болып табылады.

Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің

орындалуын қадағалау керек: болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса,

әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба

саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е

дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті орындалғанша жалғастырамыз.

Бұл біртіндеп жуықтау әдісі деп аталады. Әдістің жинақталу

жылдамдығы х0 бастапқы нүктені дұрыс таңдауға байланысты. Егер итерация процесінде функцияның туындысы нөлге тең болса, қисыққа жүргізілген.

Осіне параллель болса, онда бұл әдісті қолдану қиындайды. Сол

сияқты функцияның екінші ретті туындысының мәні шексіз үлкен болса

және функцияның өзі бірінші ретті туындысы нөлге тең болса, онда шыққан

түбірлер еселі болып, жинақталмауы мүмкін.

Хорда әдісі

Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады.

х * нүктесіндегі функция мәнін F(x * )-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x* ) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1 және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (2.4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен f(x* ) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xn және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (2.4) формуламен есептелінеді. 4 x * нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса x x e k k    1 , онда x * нүктесі (2.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады.