Вопросыдля самоконтроля
жүктеу/скачать 24 Kb.
|
механика
|
Вопросыдля самоконтроля 1. Дискретный вырожденный спектр. Спектр колебаний или частот, в котором частоты гармонических составляющих колебаний образуют дискретное множество. Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике. Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается {\displaystyle \sigma (A)}\sigma (A)) называется множество его собственных значений. Квадратную матрицу порядка {\displaystyle n}n можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы. Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb {C} . Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор {\displaystyle R(\lambda )=(A-\lambda I)^{-1}}R(\lambda )=(A-\lambda I)^{{-1}}, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора {\displaystyle \sigma (A)}\sigma (A). Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb {C} или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст. Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая: дискретным (точечным) спектром {\displaystyle \sigma _{p}(A)}\sigma _{p}(A) называется множество таких {\displaystyle \lambda }\lambda , при которых оператор {\displaystyle A-\lambda I}A-\lambda I не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр; непрерывным спектром {\displaystyle \sigma _{c}(A)}\sigma _{c}(A) называется множество значений {\displaystyle \lambda }\lambda , при которых резольвента {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}(A-\lambda I)^{{-1}} определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор {\displaystyle A-\lambda I}A-\lambda I инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен); остаточным спектром {\displaystyle \sigma _{r}(A)}\sigma _{r}(A) называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор {\displaystyle A-\lambda I}A-\lambda I инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным). Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через {\displaystyle r(A)}r(A). При этом выполняется равенство {\displaystyle r(A)=\lim _{n\to \infty }\|A^{n}\|^{1/n}}r(A)=\lim _{{n\to \infty }}\|A^{n}\|^{{1/n}}. В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при {\displaystyle \lambda >r(A)}\lambda >r(A) она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке {\displaystyle z=0}z=0. Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью (англ. spectral gap). 2.Ангармонический осциллятор. В модели гармонического осциллятора константа упругости к принимается постоянной. Однако в реальности упругость химической связи (как и обычной пружины) сохраняется постоянной только при небольших деформациях. При значительных деформациях, например, больших 10 % от длины связи законы движения должны быть много сложнее: коэффициент упругости к ангармонического осциллятора уменьшается при растяжении и возрастает при сжатии. На рисунке представлена кривая потенциальной энергии ангармонического осциллятора (сплошная линия), более точно описывающей ангармонические колебания двухатомной молекулы, чем кривая для гармонического осциллятора (пунктир). Одно из эмпирических выражений, которое хорошо описывает кривую такого типа, называется функцией Морзе. где а - постоянная, характерная для данной молекулы, a De - энергия диссоциации. Зависимость энергии молекулы от расстояния между ядрами в гармоническом (слева) и ангармоническом (справа) приближении Рис. 2.3. Зависимость энергии молекулы от расстояния между ядрами в гармоническом (слева) и ангармоническом (справа) приближении. 3. Системы тождественных частиц. Тождественные (иначе неразличимые) частицы — это частицы, которые принципиально не могут быть распознаны и отличены одна от другой, то есть подчиняются принципу тождественности одинаковых частиц. К таким частицам относятся: элементарные частицы (электроны, нейтроны и т. д.) а также составные микрочастицы, такие как атомы и молекулы. Существует два больших класса тождественных частиц: бозоны и фермионы. жүктеу/скачать 24 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|