Скалярлық көбейтінді арқылы векторлардың ұзындығын есептеу
Векторлардың скалярлық көбейтіндісі негізгі геометриялық қасиетке ие. Осы пунктте векторлардың өз-өзіне скалярлық көбейтіндісі туралы қасиетті қарастырамыз.
болсын, мұндағы , . Онда векторының координаталары және анықтама бойынша
векторының ұзындығының анықтамасын еске түсірейік, кесіндісінің ұзындығы келесі формула арқылы есептелінеді:
Сондықтан
скалярлық көбейтіндісі – векторының ұзындығының квадратына тең сан.
скалярлық көбейтіндісі қысқаша түрде түрінде жазылады. Мысалы, келесі теңдікті жазуға болады:
Мысал 4. векторының ұзындығын табыңыз, мұндағы , .
Шешуі. . Сонымен, . Сондықтан , онда .
Сұрақ. көбейтіндісі қандай геометриялық мағына береді?
Векторлардың скалярлық көбейтіндінің геометриялық мағынасы
, , кеңістікте бір түзу бойында жатпайтын нүктелер болсын. Онда үшбұрышы ретінде қарастыруға болады және косинустар теоремасы бойынша келесі теңдікті жазуға болады:
Қабырғаларын келесі векторлар арқылы жазуға болады: , және . Онда , , . Сондықтан
Осыдан келесі теңдік орындалады:
, векторлары коллинеар емес векторлар болса, онда және векторларының скалярлық көбейтіндісі осы векторлардың ұзындықтарын олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең екенін дәлелдедік.
Нөлдік емес екі вектордың скалярлық көбейтіндісі олардың модульдерін осы векторлардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенде шығатын санды айтады.
Мысал 5. , және нүктелері берілсін. Онда , , , , , .
Сұрақ. үшбұрышының ауданын есептеу үшін келесі формуланы қалай дәлелдейміз
Достарыңызбен бөлісу: |
