Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта



Pdf көрінісі
бет3/9
Дата14.11.2019
өлшемі441,89 Kb.
#51783
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Байланысты:
tfkp-operations


4.Таблица свойств  изображений 

 

В данном пункте приведена таблица свойств изображений, каждый раздел которой будет 



объяснён в следующем пункте. 

Пусть  F(p):



®f(t) , G(p):®g(t) 

 

№ 



Оригинал 

Изображение 

Комментарии 

1. 


const

β

α

t

g

β

t

f

α

=

,



,

)

(



+

)

(



 

αF(p)+βG(p

Свойство 

линейности  

п. 5.1 


2. 

0

,



)

(

>



=

×

const



t

f

a

a

 

( )



a

a

p

F

1

 



Теорема подобия 

п. 5.2. 


3. 

0

,



)

-

(



>

>

t



t t

t

f

 

)



(

e

p



F

p

×

-



t

 

Теорема 



запаздывания 

п. 5.3. 


4. 

0

,



)

(

e



>

×

-



l

l

t

f

t

 

F(p+λ) 

Теорема 

смещения 

п. 5.4. 

5. 


0

>

,



)

+

(



a

a

t

f

 

÷



÷

ø

ö



ç

ç

è



æ

×

-



ò

-

a



pt

ap

dt

t

f

p

F

0

)



(

e

)



(

e

 



Теорема 

упреждения 

п. 5.5. 

6. 


ò

ò

-



=

-

t



t

d

g

t

f

d

t

g

f

0

0



)

(

)



(

)

(



)

(

t



t

t

t

t

t

 

F(p)G(p) 

Теорема об 

умножении 

изображений  


№ 

Оригинал 

Изображение 

Комментарии 

п. 5.6. 

7. 


ò

-

-



×

t

d

g

t

f

g

t

f

0

)



(

"

)



(

)

0



(

)

(



t

t

t

 

pF(p)G(p) 

Интеграл 

Дюамеля 


п. 5.7. 

8. 


f(t)g(t) 

ò

¥



+

¥

-



-

×

i



a

i

a

dq

q

p

G

q

F

i

)

(



)

(

2



1

p

 

Умножение 



оригиналов 

п. 5.8. 


9. 

f(t)=f(t+T) , T - период  

ò

-



-

×

-



T

pt

pt

dt

t

f

0

e



)

(

e



1

1

 



Изображение 

периодического 

оригинала  

п. 5.9.  

10. 

)

(



)

(

t



f

n

 

÷



ø

ö

ç



è

æ

-



-

-

-



n

n

p

f

p

f

n

p

F

p

)

0



(

)

0



(

)

1



(

)

(



L

 

Дифференцирован



ие оригинала  

п. 5.10.  

11. 

)

(



)

1

(



t

f

t

n

n

-

 



)

(

)



(

p

F

n

 

Дифференцирован



ие изображения  

п. 5.11.  

12. 

ò

t



d

f

0

)



(

t

t

 

)



(

1

p



F

p

 

Интегрирование 



оригинала  

п. 5.12.  

13. 

)

(



1

t

f

t

 

ò



¥

p

dp

p

F

)

(



 

Интегрирование 

изображения  

п. 5.13  

 

5. Основные теоремы операционного исчисления 

 

Пусть  F(p):



®f(t) , G(p):®g(t) 

5.1. Свойство линейности. 

Для любых комплексных постоянных 

a

 и 



b

)



(

+

)



(

p

G

β

p

F

α

  :


®   

)

(



+

)

(



t

g

β

t

f

α

 

(12) 



5.2. Теорема подобия. 

Для любого постоянного 

a

 > 0: 


 

)

t



α

f

  

¬:   



÷

ø

ö



ç

è

æ



a

a

p



F

1

 



(13) 

Умножение  аргумента  оригинала  на  положительное  число 

a

  приводит  к  делению 



изображения и его аргумента на это число 

a



5.3. Теорема запаздывания.  

)

(



:

t

t

-

®



-

t

f

e

p

 для    t > τ > 0 

(14) 

 

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину 



t

  приводит 

к умножению изображения оригинала без запаздывания  F(p) на  

t

p

-

e



 

Пример 58. Найти изображение оригинала 



pt

t

f

-

= e



)

(



Решение: Имеем по таблице пункта 2: 

2

 ¬: 

3

2

p



, здесь запаздывание 

t

=1. Тогда  



(

)

2



1

-

t

¬: 

p

p

-

× e



2

3

 . 



5.4. Теорема смещения. 

 

 



 

 

 



 

 

 



Для a >0 имеет место соотношение : 

 

)



(t

f

e

at

×

-



¬: F(p+a) 

(15) 


 

Пример 59. Найти изображение затухающих колебаний: 

t

t

v

a

sin


e

-

 и 



t

t

v

a

cos


e

-

,



a

 >0. 


 

Решение: 

t

v

cos


 

¬: 


t

p

p

v

v

sin


,

2

2



+

¬: 


.

2

2



v

v

+

p

 

Тогда 


t

t

v

a

sin


e

-

¬: 



(

)

t



e

p

t

v

v

a

v

a

cos


,

2

2



-

+

+



¬: 

(

)



.

2

2



v

a

a

+

+



+

p

p

 

Смотри формулы 10 и 11 в таблице пункта 2. 



 

Пример 60. Найти изображение оригинала f(t)=

t

sin

ch

×





Решение: Так как 

(

)



t

t

t

-

+



=

e

e



2

1

ch



 , то 

(

)



t

t

t

t

f

t

t

t

t

sin


e

2

1



sin

e

2



1

sin


e

e

2



1

)

(



-

-

+



=

+

=



  

¬:    


¬: 

4

2



1

)

1



(

1

2



1

1

)



1

(

1



2

1

4



2

2

2



+

+

=



+

+

×



+

+

-



×

p

p

p

p

 



Заметим, что формула (15) позволяет найти оригиналы по заданному изображению. 

 

Пример 61. Найти оригинал по его изображению 

.

2

1



)

(

2



p

p

p

F

+

=



  

Решение: 

.

1



)

1

(



1

2

1



)

(

2



2

-

+



=

+

=



p

p

p

p

F

По формуле 7 таблицы пункта 2 известно, что 

2

2

1



v

-

p

:

®

.



sh t

Тогда 

1

)



1

(

1



2

-

+



p

:

® 



.

sh

e



t

t

-

 



Пример 62. Найти оригинал по его изображению 

.

7



4

1

3



)

(

2



+

-

-



=

p

p

p

p

F

 

Решение: ”Организуем” смещение аргумента p так, чтобы слагаемые превратились в 

известные выражения: 

( )


( )

2

2



2

2

2



2

3

)



2

(

3



3

5

3



)

2

(



2

3

3



)

2

(



5

)

2



(

3

7



4

1

3



+

-

×



+

+

-



-

×

=



+

-

+



-

=

+



-

-

p



p

p

p

p

p

p

p

 :

®  


:

®

( )



( )

.

3



sin

e

3



5

3

cos



e

3

2



2

t

t

t

t

+

 



5.5. Теорема упреждения. 

 


При  а > 0  имеет место соотношение: 

f(t+a) 

¬: 


÷

÷

ø



ö

ç

ç



è

æ

×



-

ò

-



a

pt

ap

dt

t

f

p

F

0

)



(

e

)



(

e

 



(16) 

5.6.Теорема умножения изображений. 

 

ò

ò



-

=

-



t

t

d

g

t

f

d

t

g

f

0

0



)

(

)



(

)

(



)

(

q



q

q

q

q

q

 

¬; 



)

(

)



(

p

G

p

F

×

 



(17) 

 

Оригинал,  соответствующий    произведению  двух  изображений,  равен  свёртке  (левая  часть 



(17) ) оригиналов сомножителей. 

 

Пример 63. Найти оригинал по его изображению 



(

)

2



2

2

1



)

(

v

+

=

p



p

F

  . 


Решение:

(

)



.

1

1



1

)

(



2

2

2



2

2

2



2

v

v

v

+

×



+

=

+



=

p

p

p

p

F

Известно, что

2

2

1



v

+

p

:

® 

:



®

.

sin



1

t

v

v

×

По формуле (17) 



(

)

2



2

2

1



v

+

p

:

®

(



)

ò

=



-

×

t



d

t

0

1



1

sin


sin

q

q

v

vq

w

w

 

(



)

(

)



(

)

ò



×

-

×



=

-

-



×

=

t



t

t

t

d

t

t

0

3



2

.

cos



sin

2

1



cos

2

cos



2

1

v



v

v

v

q

v

q

v

v

 

 



Пример 64Найти оригинал по его изображению 

(

)



2

2

2



)

(

v

+

=

p



p

p

F

 . 


Решение: Представим 

2

2



2

2

1



)

(

v



v

+

×



+

=

p



p

p

p

F

 . Так как 

2

2

1



v

+

p

:

® 

:



®

2

2



,

sin


1

v

v

v

+

×



p

p

t

:

®



t

v

cos


то 


по 

формуле 


(

)

2



2

2

v

+

p

p

:

® 



:

®

(



)

ò

×



×

=

-



×

t

t

t

d

t

0

1



sin

2

1



cos

sin


v

v

q

q

v

vq

v

 . 


 

Пример 65. Найти оригинал по его изображению  

(

)

F p



p

p

p

( )


.

=

-



+

+

4



3

2

2



10

2

 



Решение.  «Организуем»  смещение  аргумента  и  применим  результаты  предыдущих  примеров 

(63 и 64) 



(

)

(



)

(

) (



)

4

3



2

2

10



2

4

1)



7

1)2


9

2

4



1

1)2


9

2

7



1

1)2


9

2

p



p

p

p

p

p

p

p

-

+



+

=

+



-

+

+



=

= ×


+

+

+



- ×

+

+



®

(

(



(

(

 



(

)

4



6

3

7



54

3

3



3

2

3



7

54

3



7

18

3



e

t

t

t

e

t

t

t

t

e

t

t

t

t

t

-

×



×

-

-



-

=

=



-

-

+



æ

èç

ö



ø÷

æ

èç



ö

ø÷

sin



sin

cos


sin

cos


 

 

5.7. 



Интеграл Дюамеля. 

pF p G p

d

dt

f

g t

d

f t g

f

g t

d

t

t

( ) ( )


( ) (

)

( ) ( )



( ) (

)

®



-

=

-



¢ -

ò

ò



q

q q


q

q q


0

0

0



    (18) 

 

О применении интеграла Дюамеля смотри пункт 9. 



 

5.8. 


Умножение оригиналов 

 

f t g t



i

F q G p

q dq

a i

a i

( ) ( )


lim

( ) (


)

¬

® ¥



-

-

+



ò

1

2



p w

w

w



    (19) 

 

5.9. 



Изображение периодических оригиналов 

 

Дана периодическая функция  



f t

f t

T

( )


(

),

=



+

  

T

-

период. 


f t

f t

T

F p

p

e

pT

( )


(

)

( )



( )

,

=



+

¬

=



-

-

y



1

   (20) 


где  

y( )


( )

.

p



f t e

pt

dt

T

=

-



ò

0

   (21) 



Пример  66.  Найти  изображение  периодического  оригинала   

f t

A

t

( )


sin

=

w



–  выпрямленная 

синусоида.  

Решение. Период  

T

=

p



w

.  


y

w

w



w

p

w



p

w

( )



( )

sin


p

f t e

pt

dt

A

e

pt

tdt

A

p

e

p

T

=

-



=

-

=



+

+

-



ò

ò

æ



è

ç

ö



ø

÷

2



2

1

0



0



F p



A

p

e

p

e

p

A

p

cth

p

( )


.

=

+



×

+

-



-

-

=



+

w

w



p

w

p



w

w

w



p

w

2



2

1

1



2

2

2



 

 

Обратное утверждение. Оригинал 



f t

( )


, изображение которого имеет вид (20), является 

периодической функцией периода  



T

получающейся при периодическом продолжении функции  

j( )

t

 с интервала   

[ ]

0, T



 на всю положительную часть оси   

t.

 


Пример 67. Найти оригинал по заданному изображению   

F p

p

T

p

p

e

pT

e

pT

( )


.

=

-



×

+

-



-

-

æ



èç

ö

ø÷



1

2

2



1

1

2



2

1

 



Решение. Здесь 

y( )


p

p

T

p

p

e

pT

=

-



×

+

-



®

æ

èç



ö

ø÷

1



2

2

1



1

2

2



 

 

t



T

t

T

t

T

t

t

t

T

f t

t п и

t

T

п и t

T

-

+



-

-

= - ×



-

=

=



=

< <

>

æ



èç

ö

ø÷



æ

èç

ö



ø÷

ì

í



ï

î

ï



2

2

2



2

0

2



0

2

h



h

(

)



(

)

( )



, р

, р


 

 

68. Найти оригинал по изображению



(

)

F p



pT

pT e

pT

p

e

pT

( )


(

)

.



=

-

-



+

-

-



-

2

2



3

1

 



Ответ:  функция, получающаяся при периодическом продолжении функции     

j( )


t

t

Tt

=

-



2

 с 


интервала   

[ ]


0, T

 на всю положительную часть оси   



t.

 

В  следующих  задачах  найти  изображение  периодического  оригинала     



f t

( )


,  

являющегося    периодическим  продолжением  функции   

j( )

t

  с  интервала     

[ ]

0, T



  на  всю 

положительную часть оси   



t.

 

 



69. 

j( )


, р

, р


t

A п и

t

T

A п и

T

t

T

=

£ £



-

£ £


ì

í

ï



î

ï

0



2

2

                               ответ: 



F p

A

p

e

pT

e

pT

A

p

th

pT

( )


.

=

×



-

-

+



-

=

1



2

1

2



4

 

 



70. 

j( )


, р

(

), р



t

A

T

t п и

t

T

A

t

T

п и

T

t

T

=

£ £



-

£ £


ì

í

ï



î

ï

2



0

2

2



1

2

                     ответ: 



F p

A

T p

th

pT

( )


.

=

×



2

2

4



 

 

71. 



j( )

(

), р



t

A

t

T

п и

t

T

=

-



£ £

1

0



                           ответ: 

F p

A

p

e

pT

A

pT

( )


(

)

.



=

-

-



-

1

2



 

 

 



72. 

j

p



( )

sin


, р

, р


t

A

t

T

п и

t

T

п и

T

t

T

=

£ £



£ £

ì

í



ï

î

ï



2

0

2



0

2

                       ответ: 



F p

A

p

e

pT

T

( )


(

)(

)



,

.

=



+

-

-



=

w

w



w

p

2



2

1

2



2

 

 



5.10. 

Дифференцирование оригинала 

 

¢

¬



-

f t

pF p

f

( )


( )

( ), . . . .

0

 

f



n

t

p

n

F p

p

n

f

p

n

f

f

n

( )


( )

( )


( )

( ) . . .

(

)

( )



¬

-

-



-

-

¢



- -

-

1



0

2

0



1

0

       (22) 



 

 

5.11. 



Дифференцирование изображения 

 

¢



® -

F p

tf t

( )


( ), . . .

 

 



F

n

p

n

t

n

f t

( )


( )

(

( )



® -1)

                     (23) 

 

5.12. 


Интегрирование оригинала 

 

    



f

d

F p

p

t

( )


( )

q q ¬


ò

0

                                 (24) 



Таким  образом,  операции    интегрирования  оригинала  соответствует  деление  на   

p

  его 


оригинала. 

 

5.13. 



Интегрирование изображения 

 

F q dq



f t

t

p

( )


( )

¬

¥



ò

                                 (25) 

 

Пример 73. Найти изображение функции  



f t

e

at

e

bt

t

( )


.

=

-



 

 

Решение. Деление на  



t

 каждого слагаемого функции   



f t

( )


 соответствует интегрированию его 

изображения (формула  (25)). Имеем



e

at

p

a

e

bt

p

b

¬

-



¬

-

1



1

,

.



 

Тогда изображение   



F p

p

a

p

b

dp

p

a

p

b

p

p

b

p

a

p

( )


ln

ln

.



=

-

-



-

=

-



-

¥

=



-

-

¥



ò

æ

èç



ö

ø÷

1



1

                 

 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет