Дифференциалдық теңдеу деп аталады. Дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы
жүктеу/скачать 20,25 Kb.
|
Дифференциалдық тендеулер
|
Дифференциалдық тендеулер Бір немесе бірнеше айнымалы функцияны, тәуелсіз айнымалыларды жəне функцияның туындыларын байланыстыратын теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады. Дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы деп теңдеуге қойғанда оны тура теңдікке айналдыратын кез келген функциясын айтады. Мысал 1. y=sinx функциясы y′′+y=0 теңдеуінің шешімі. Шынында, берілген теңдеудегі у белгілі, демек у′′-ті анықтайық: у′ =cosx , у′′= - sinx Егер y′′, y-ті теңдікке қойсақ: -sinx + sinx =0, яғни 0=0 теңдігіне келдік, демек у= sinx берілген теңдеудің шешімі болады. Мысал 2. y= x2(1+Ce 1/х) функциясы берілсін, мұндағы С – кез келген тұрақты сан. y функциясы х2у′+(1-2х)у= х2 - бірінші ретті дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын тексерелік. Ол үшін берілген функцияның бірінші ретті туындысын табайық: y′= 2x (1+С e 1/x) +x2 (0+С e 1/х(- 1/x2))=2x(1+С e 1/х)-Ce 1/х у пен у′-ті берілген теңдіктің сол жақ бөлігіне қойсақ: x2=x2 тепе-теңдігіне келеміз, яғни берілген функция дифференциалдық теңдеудің шешімі. Дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы деп теңдеуге қойғанда оны тура теңдікке айналдыратын кез келген функциясын айтады. Мысал 1. y=sinx функциясы y′′+y=0 теңдеуінің шешімі. Шынында, берілген теңдеудегі у белгілі, демек у′′-ті анықтайық: у′ =cosx , у′′= - sinx Егер y′′, y-ті теңдікке қойсақ: -sinx + sinx =0, яғни 0=0 теңдігіне келдік, демек у= sinx берілген теңдеудің шешімі болады. Мысал 2. y= x2(1+Ce 1/х) функциясы берілсін, мұндағы С – кез келген тұрақты сан. y функциясы х2у′+(1-2х)у= х2 - бірінші ретті дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын тексерелік. Ол үшін берілген функцияның бірінші ретті туындысын табайық: y′= 2x (1+С e 1/x) +x2 (0+С e 1/х(- 1/x2))=2x(1+С e 1/х)-Ce 1/х у пен у′-ті берілген теңдіктің сол жақ бөлігіне қойсақ: x2=x2 тепе-теңдігіне келеміз, яғни берілген функция дифференциалдық теңдеудің шешімі. болатынынан шығады. Әдетте нақты айнымалы функциясыньщ периодты, немесе периодеыз екендігі туралы мектеп бағдарламасында тіпті сөз етілмейді. Эйлер е іх - cos х + sin х формуласын еске түсірсек: осындағы х-ті (-іг)-пен алмастырсақ, e ~ l z — e z = c o s ( — i z ) + i s in ( — i z ) = c o s iz — i s i n iz z+2m e Осы теңдік арқылы есептесек: е г+2яі = cos(/z + 2 2 ) - sin(zz + 2 т 2 )= cos iz - і sin iz = e z Яғни е “ z + 2 тй функциясы z- ті -ге өзгерткенде өзінін, мэнін сақтап қалады. W = e~ көрсеткіштік функциясы периодты. Оның периода 2 т Олай болса, • z=lnw W=ez логарифмдік функциясын көрсеткіштік функциясына кері функция ретінде e z анықтаймыз. функциясыньщ периодтылығынан w комплекс айнымалысының анықталған бір мэніне z=lnw айнымалысының акырсыз көп мэндерініц жиыны сәйкес І7П келетінін байқаймыз. Олардың бір-бірінен айырмашылығы -ге еселі сан болады. Егер w>0, онда z=lnw айнымалысының бір мэні нақты, қалған мэндері комплекс (жорамал), ал w<0 болса, z=lnw функциясыньщ барлық мәндері комплекс болады. Яғни комплекс айнымалы логарифмдік функция көп мэнді. Осы функцияның w =l нүктесіндегі мэнін есептесек: Lnl=lnl+iargl+2k7ti. Оның бір мэні In 1=0 - нақты. 1п1=2лі... міне енді жоғарыдағы парадоксті түсінуге болады. Дэл осылайша нақты айнымалы функцияларға байланысты кездесетін кейбір шектеулерді ажыратамыз. — - = 1 - х 2 + х 4 - х 6 + .... 1 Н~ X Математикалык анализде қатарлар теориясында 1 1 + V2 жіктеуі IхI < 1 мэндері үшін дұрыс екені белгілі. функциясы барлық нақты сандар жиынында анықталғанмен оны қатарға жіктесек х-тің мэні шектеулі болып шыға келеді. Осы жағдайды тек комплекс айнымалы функция арқылы ашу м үм кіндігін 1 1 + Х^ аламыз. Шындығында да функциясы х=±і мэнінде анықталмаған. Бұл нүктелер Комплекс сандарға амалдар қолдану. 1) Егер комплекс сандардың нақты бөлігі мен нақты бөлігі, жорамал бөлігі мен жорамал бөлігі тең болса, онда бұл Комплекс сандар тең деп аталады. 2) z= a + bi, w = c + dі комплекс сандарын қосу және азайту амалы былайша орындалады: [pic]; 3) z= a + bi, w = c + dі комплекс сандарын көбейту амалы былайша орындалады: [pic]; • [pic] және [pic]сандары түйіндес Комплекс сандар деп аталады; • [pic]-түйіндес комплекс сандардың көбейтіндісі нақты сан болады; • [pic]және [pic] сандары - қарама-қарсы комплекс сандар; • Қарама қарсы комплекс сандардың қосындысы 0-ге тең болады; • z = a + ib комплекс саны үшін [pic] теріс емес санын оның модулі деп атайды және [pic]. 4) комплекс сандарды бөлу: [pic] яғни, алымын да, бөлімін де бөлімінің түйіндесіне көбейту арқылы есептейміз жүктеу/скачать 20,25 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|