Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это изучение

1. Введение
Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это изучение алгебраических структур –– множеств с определенными в них операциями. Под операцией в множестве M понимается лю- бое отображение
M  M → M ,
т. е. правило, по которому из любых двух элементов множества M получается некоторый элемент этого же множества. Элементами множества M могут быть как числа, так и объекты другого рода.
Хорошо известными и важными примерами алгебраических структур являются следующие числовые множества с операциями сложения и умножения:
𝗁 –– множество натуральных чисел,
6 –– множество всех целых чисел,
6₊ = 𝗁 ∪ {0} –– множество неотрицательных целых чисел,
Q –– множество рациональных чисел,
R –– множество всех вещественных (= действительных) чисел,
R₊ –– множество неотрицательных вещественных чисел.
Подчеркнем, что операции сложения и умножения определены
далеко не на всяком числовом множестве. Например, в множестве отрицательных чисел не определена операция умножения, так как произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. В множестве иррациональных чисел не определены ни сло- жение, ни умножение, так как сумма и произведение двух иррацио- нальных чисел могут быть рациональными.
Приведем примеры алгебраических структур, состоящих не из чисел.
Пример 1. Пусть M , N, P –– какие-то множества и
f : N → M , g : P → N
–– какие-то отображения. Произведением, или композицией, отобра- жений f и g называется отображение
fg : P → M ,
определяемое формулой
( fg)(a) = f (g(a)) a ∈ P,
т. е. результат последовательного выполнения сначала отображе- ния g, а потом f . (Обычно, если это не может привести к недора- зумению, произведение отображений записывают без какого-либо специального знака, т. е. пишут просто fg: ср. обозначение ln sin x в анализе.) В частности, при M = N = P мы получаем таким образом операцию на множестве всех отображений множества M в себя. Эта операция дает много важных примеров алгебраических структур, называемых группами. Так, например, согласно аксиоматике ев-
клидовой геометрии, произведение двух движений плоскости есть также движение. Рассматривая в множестве всех движений плоско- сти операцию умножения, мы получаем алгебраическую структуру, называемую группой движений плоскости.