Формально погрешность можно представить выражением

Тема: Математической статистики. Учет погрешности

Целью измерений является нахождение истинного значения измеряемой физической величины. Качество результатов измерений характеризуется близостью достижения цели, т. е. близостью измеренного значения к истинному. Истинное значение физической величины – это значение, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношении соответствующую физическую величину. Оно является абсолютной истиной и может быть получено только в результате бесконечного процесса измерений с бесконечным совершенствованием методов и средств измерений. Количественной оценкой точности результата измерений является погрешность, определяемая отклонением результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Формально погрешность можно представить выражением

D = X – Q,                                                    (1)

где D – абсолютная погрешность измерения; X– результат измерения физической величины; Q – истинное значение измеряемой физической величины (физическая величина, представленная ее истинным значением).

Результат измерения является приближенной оценкой истинного значения физической величины, которая найдена путем измерения.

Погрешность результата измерения указывает границы неопределенности значения измеряемой величины.

Так как истинное значение неизвестно и его применяют только в теоретических исследованиях, то на практике это абстрактное понятие заменяют понятием «действительное значение». За действительное значениефизической величины принимают значение, полученное экспериментальным путем (в результате измерений) и настолько близкое к истинному, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него, т. е. 

где X _дт – действительное значение физической величины; Q – истинное значение физической величины. 

D = X – Х_дт,                                                 (3)

Для характеристики точности технических устройств, применяемых при измерениях, используется понятие погрешность средства измерений, как разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. 

Погрешности результата и средств измерений классифицируют по различным признакам. 

По способу выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности.

Абсолютная погрешность описывается формулой (3.11) и выражается в единицах измеряемой величины. Относительная погрешность – это погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности к действительному или измеренному значению измеряемой величины

где   – абсолютная погрешность измерений;  – действительное или измеренное значение величины.

Относительная погрешность может быть рассчитана в неименованных относительных единицах (долях) по формуле  (3.12) или в именованных относительных единицах (например, в процентах или в промилле). При использовании именованной относительной погрешности, выраженной в процентах, формулу для относительной погрешности можно записать в виде

.                                             (5)

Для характеристики средств измерений используют приведенную погрешность. ( ). Приведенная погрешность – это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины (нормирующему значению), постоянному во всем диапазоне измерений или в его части

где   – абсолютная погрешность средства измерений;   – нормирующее значение.

В качестве нормирующей величины могут использоваться верхний предел измерений либо больший из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона измерений, а верхний и нижний пределы неодинаковы по модулю, и другие величины, оговоренные в ГОСТ 8.401–80.

По характеру проявления погрешности делятся на систематические, случайные и грубые.

Систематическая погрешность (СТБ П 8021–2003) – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. 

Отличительная особенность  систематических погрешностей заключается в том, что они могут быть предсказаны, выявлены, оценены и исключены из результата измерения путем внесения поправок. Исключение систематических погрешностей измерения  из отдельных результатов или серий, полученных при многократных измерениях одной и той же физической величины, называется  «исправлением результатов», а полученные при этом значения – исправленными. 

В зависимости от характера изменения систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.

Составляющие систематические погрешности, которые  могут длительное время сохранять свое значение, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений, являются постоянными (например, прибор с неправильно выставленным нулем). Непрерывно возрастающие или убывающие погрешности называют прогрессивными. Значения периодических погрешностей является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора (например, спешащие или отстающие часы).

Систематическая погрешность может изменяться по сложному закону и включать постоянную, прогрессивную и периодическую составляющие. В общем виде может быть описана выражением

D_s = a + by + dsinj,                                       (7)

где a – постоянная составляющая сложной систематической погрешности; y, j – соответственно аргументы прогрессирующей и периодической составляющих систематической погрешности.

Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при  повторных измерениях, проведенных с одинаковой  тщательностью, одной и той же величины (СПБ П 8021–2003). Они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде разброса получаемых значений. Причиной появления таких погрешностей чаще всего является совокупное действие различных факторов, среди которых нельзя выделить доминирующий.

Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Описание случайных погрешностей, как и любой случайной величины, возможно только на основе теории вероятностей и математической статистики. 

В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправки, однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. Поэтому для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения с последующей математической обработкой данных. 

Грубая погрешность (промах) – это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, который для данных условий резко отличается от остальных результатов ряда. 

Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора или резких изменений условий проведения измерений. Такие погрешности в принципе непредсказуемы, и их значения (в отличие от случайных погрешностей) невозможно прогнозировать с учетом теории вероятностей.

Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. Однако чаще всего промахи выявляют только при окончательной обработке результатов измерений с помощью специальных критериев.

В зависимости от места возникновенияразличают инструментальные, методические, субъективные и погрешности условий.

Инструментальная погрешность – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений. К ней относятпогрешности всех применяемых в данной методике средств измерений и вспомогательных устройств, включая погрешности прибора, мер для его настройки и т. п.

Методическая ( погрешность метода измерений) – это составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода. Они обусловлены:

– отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения;

– влиянием способа применения СИ; 

– влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений;

– влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерений.

Погрешность условий – составляющая погрешности измерения, которая возникает из-за отклонений условий от нормальных.

По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешность СИ. Основной называется погрешность СИ, определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого  СИ в технических нормативных правовых актах (ТНПА)оговариваются условия эксплуатации – совокупность влияющих величин (температуры окружающей среды, влажности, давления, напряжения и частоты питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность. Дополнительной называется погрешность СИ, возникающая вследствие выхода какой-либо из влияющих величин за пределы нормальной области значений. Например, изменение температуры влияет на результат определения размеров, плотности и др. 

Субъективная (личная) погрешность – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора. Они вызываются недостаточно высокой квалификацией оператора, его состоянием, положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами СИ и др. Чаще всего они обусловлены погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИи др. Погрешности отсчитывания возникают при необходимости оценивания на глаз доли деления шкалы, соответствующей положению указателя (погрешность интерполяции при считывании), а также из-за параллакса при «косом» направлении взгляда оператора (погрешность от параллакса). 

Погрешность измерения D является интегральной погрешностью, которая образуется в результате объединения составляющих погрешностей от разных источников:

D = D_си* D_м *D_у *D_оп ,                                 (8)

где D_си – инструментальная погрешность; D_м – методическая погрешность; D_у – погрешность условий; D_оп – субъективная погрешность|.

Знак * является знаком объединения (не сложения), поскольку погрешности различные погрешности объединяют с использованием разных математических операций.

Каждый из источников, в свою очередь, может дать одну либо несколько элементарных составляющих. 

По значимости все погрешности (составляющие и интегральные) можно разделить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым составляющим погрешностям относят погрешности, которые значительно меньше доминирующих составляющих, т.е. D_min <max.

Статическая и динамическая погрешности относятся к погрешностям средств измерений. Динамической погрешностью средства измерений называют погрешность, возникающую при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины. Она равна

D_дин = D_д.р – D_ст.р ,                                (9)

где D_дин – динамическая погрешность средства измерения; D_д..р – погрешность средства измерения при использовании его в динамическом режиме; D_ст..р – погрешность при использовании средства измерений в статическом режиме.

При этом статической погрешностьюназывают погрешность средства измерения, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную. Динамический режим измерений встречается не только при измерении изменяющейся величины, но и при измерении величины постоянной в том случае, когда скорость изменения сигнала измерительной информации на входе средства измерений оказывается соизмерима и даже выше скорости преобразования измерительной информации.

По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешность:

– аддитивную – не зависящую   от    измеряемой величины  (рис. 1.а);

– мультипликативную, которая прямо пропорциональна измеряемой величине (рис. 1б);

– суммарную, имеющую и аддитивную и мультипликативнуюсоставляющие (рис. 1в)или нелинейную.

Эти погрешности применяются в основном для описания метрологических характеристик СИ и определения их класса точности. 

Рис. 1. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и суммарная (в) погрешности