Жиындар теориясын логикалық есептер шығаруда қолдану. Қарамулдина Ә. Д. 7”А”, М. Жұмабаев атындағы №39 мектеп-гимназия

Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор (1845-1918) болды.

Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне алып жазу келісілген. Мысалы, “планета” сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен белгілесек, P={а,п,н,л,е,т} немесе P={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін әр-түрлі жазуға болады.

Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a Є B. Оқылуы: “a B жиынының элементі” немесе “a B жиынына тиісті”.

Мысалы, 7 саны натурал сандар жиынына тиісті: 7 Є N.

Егер c элементі A жиынына тиісті болмаса, оның жазылуы: c ¢ A. Оқылуы:”c A жиынына тиісті емес”. Мысалы, 0 саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 ¢ N.

Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос жиынның белгіленуі: Ø . Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны - бос жиын.

Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұп сандар жиыны – B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті. Белгіленуі: B Є A. Оқылуы: B жиыны – A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделеді.

Суретте B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделген.

Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø Є A. Мұндағы A - қандай да бір жиын.

Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына тең.


Жиындардың қиылысуы. Жиындардың бірігуі.

A жиынына да, B жиынына да тиісті элементтерден ғана тұратын жиынды A және B жиынының қиылысуы деп атайды.
1-есеп. Сыныпта 16 ұл бала бар. Олардың 14-і бос уақытында футбол ойнағанды ұнатады, 9-ы шахмат ойнағанды ұнатады. Бұл ойындарға сыныптағы барлық ұл балалар қатысады. Сыныптағы неше оқушы бос уақытында футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнатады?
Шешуі: Бос уақытында футбол ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдардың жиыны – A, n(A)=14. Бос уақытында шахмат ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдардың жиыны – B, n(B)=9.

1. 
   14 + 9 = 23 – бос уақытында футбол ойнағанды ұнататын және шахмат ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдар саны.
   
2. 
   23 – 16 = 7 – бос уақытында футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнататын сыныптағы ұлдар саны.
   

Сыныптағы футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнататын ұлдар жиыны

Орыс тілін білетіндерінің жиыны – B; n(B)=8.

1. 
   10 + 8 = 18 – топ ішіндегі туристердің қазақ тілін білетіндердің және орыс тілін білетіндердің саны.
   
2. 
   18 – 3 = 15 – топ ішіндегі туристер саны.
   

Топтағы туристер D жиынын құрайды n(D)=15. Демек, D жиыны өзара қиылысып тұрған A және B жиындарының бірігуі болып табылады.

1. 
   23 + 20 + 15 = 58;
   
2. 
   58 : 2 = 29;
   
3. 
   29 – 15 = 14;
   
4. 
   29 – 23 = 6.
   

1. 
   12 + 9 = 21;
   
2. 
   21 – 5 = 16;
   
3. 
   22 – 16 = 6.
   

Ойын-сауыққа барлығы 38 жас жігіттер мен қыздар жиналған. Олардың 16-сы ән салады. Ал 17-сі би билейді, 18-і домбырада ойнайды. Ал олардың төртеуі ән де салады, би де билейді, үшеуі ән де салады, домбыра да тартады, бесеуі би де билейді, домбыра да тартады. Ал үшеуі ғана ән де салмайды, би де билемейді, домбыра да тартпайды. Сонда неше жастың бойында үш өнер де бар, неше жастың бойында тек бір ғана өнер бар?

17 - /4+x+5/ = 8 – x.

Тек домбырамен шұғылданатын жастар: 18 - /3+x+5/ = 10 – x.

Егер есептің шарты бойынша салынған суретті пайдаланып, теңдеу құрсақ:

3 + /9-x/ + /8-x/ +/10-x/ + 4 +3 + 5 +x = 38.

Теңдеуді шешіп, x = 2 аламыз. Сонда

1. 
   9 – 2 = 7;
   
2. 
   8 – 2 = 6;
   
3. 
   10 – 2 = 8;
   
4. 
   7 + 6 + 8 = 21.
   

Аумағы 12 шаршы болатын қазақ үйдің ішіне кілем төселген. Біреуінің ауданы 5 шаршы, екіншісінікі 4 шаршы, үшіншісінікі 3 шаршы. Әрбір екі кілем бір жарым шаршы ауданға қабатталып төселген. Ал осы бір жарым шаршының жарты шаршысы, жердің барлық үш кілем қабатталып төселген бөлігіне тура келеді. Жердің кілем төселмеген ауданы қандай?

суреттегі боялған бөлік үш кілем қабаттасқан жерді көрсетеді:

1. 
   5 – 2,5 = 2,5;
   
2. 
   4 – 2,5 = 1,5;
   
3. 
   3 – 2,5 = 0,5;
   
4. 
   2,5 + 1,5 + 0,5 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 8;
   
5. 
   12 – 8 = 4.