Лекция Математикадан олимпиадалық есептердің кейбір түрлері
жүктеу/скачать 58,09 Kb.
|
7-8 д
- Бұл бет үшін навигация:
- Математикадан олимпиадалық есептердің кейбір түрлері
Лекция 7.Математикадан олимпиадалық есептердің кейбір түрлері7.1 Геометрия есептері Тіктөртбұрыш және ромб – параллелограмның дербес түрі. Квадрат әрі тіктөртбұрыш, әрі ромб болады. Сондықтан кез-келген параллелограмға тән қасиеттер тіктөртбұрыш, ромб және квадратқа да тән. Бірақ оларда басқа параллелограмдардан өзгеше ететін өзіндік сипаттамалық қасиеттері бар. Осы фигуралардың анықтамасын еске алып, олардың сипаттамалық қасиеттерін қарастырайық. Тіктөртбұрыш деп барлық бұрыштары тік параллелограмды айтады. Жалпы түрде жазатын болсақ: тіктөртбұрыш деп барлық бұрыштары тік төртбұрышты айтады. Егер бірінші анықтамадағы «параллелограмм» сөзін қалдырсақ, онда барлық бұрыштары тік болуын талап етпеуге болады. Тек бір ғана бұрышының тік болуын талап етсе жеткілікті. Басқаша айтқанда, тікбұрыштың анықтамасы келесі түрде болады: Тіктөртбұрыш деп бұрыштарының біреуі тік болатын параллелограмды айтады. Берілген анықтамалардың әрқайсысы тіктөртбұрышты барлық параллелограмдардан (бірінші және үшінші анықтама), сонымен бірге барлық төртбұрыштардан да (екінші анықтама) ерекшелейтін оның қандай да бір сипаттамалық қасиетін қолданатынын байқауға болады. Бұл сипаттамалық қасиеттер тіктөртбұрыштың бұрыштарымен байланысты. Бірақ тіктөртбұрышта оның бұрышымен байланысы жоқ сипаттамалық қасиеті бар. Бұл оның диагоналдарының кесінділерімен байланысты: тіктөртбұрыштың диагоналдары тең (тіктөртбұрыштың қасиеті); егер параллелограмның диагоналдары тең болса, онда бұл параллелограм – тіктөртбұрыш (тіктөртбұрыштың белгісі). Тіктөртбұрыштың қасиетін және белгісін бір тұжырымға біріктіруге болады: Параллелограмм, егер оның диагоналдары тең болса, сонда тек сонда, тіктөртбұрыш болады. Енді ромбтың анықтамасы мен оның сипаттамалық қасиеттерін қарастырайық. Ромб деп барлық қабырғалары тең параллелограмды айтады. Бұл анықтамада «параллелограмм» сөзін «төртбұрыш» сөзіне ауыстыруға болады. Онда ромб деп барлық қабырғалары тең төртбұрышты айтады. Егер бірінші анықтамадағы «параллелограмм» сөзін қалдырсақ, онда барлық қабырғаларының теңдігін талап етпеуге болады. Кейбір екі сыбайлас қабырғаларының теңдігі жеткілікті, яғни мынадай анықтама беруге болады: ромб деп екі сыбайлас қабырғалары тең параллелограмды айтамыз. Ромбтың диагоналдарымен байланысты сипаттамалық қасиеттерін қарастырайық. Ромб диагоналдары: а) өзара перпендикуляр; б) бұрыштарын қаққа бөледі. Математикадан олимпиадалық есептердің кейбір түрлері8.1 Геометрия есептері Бірнеше фигураны кесуге арналған есептер Мақсаты: Көпбұрыштар құрамдастығын талдау барысындаесептер шығару Жоспар:1.Бірнеше фигураны кесуге арналған есептер Берілген бірқатар көпбұрыштарды бірнеше бөліктерге бөліп, олардан жаңа бір көпбұрыш құрастыруға болады. Немесе, керісінше, берілген көпбұрышты бірнеше бөліктерге бөліп, олардан бірқатар жаңа көпбұрыштар құрастыруға болады. Мұндай есептер көбіне келесі түрде беріледі: F көпбұрышы F1, F2, …, Fk көпбұрыштарымен тең құрамдас екенін дәлелдеңдер. 7 cуретінде қабырғалары а болатын екі тең квадрат F1 мен F2 және диагоналі 2а тең үшінші F квадраты көрсетілген. F квадраты F1 және F2 квадраттарымен тең құрамдас, себебі 1, 2, 3, 4 және 1', 2', 3', 4' үшбұрыштары сәйкес бір-біріне тең. Есеп 1. Бес тең квадраттың бір квадратпен тең құрамдас екенін дәлелдеңдер. Шешуі. Берілген бес квадраттың төртеуін алып, оларды әр қайсысын 8 суретінде көрсетілгендей үшбұрыштар мен трапецияларға бөлеміз. Төрт трапецияны 9 cуретінде көрсетілгендей бесінші квадраттың қабырғаларына қоса тіркейміз. Соңында, үшбұрыштарды катеттерімен трапециялардың табанына қоса тіркейміз (10 сурет). Шыққан фигура – квадрат. Есеп 2. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасынан салынған квадрат, оның катеттерінен салынған квадраттармен тең құрамдас екенін дәлелдеңдер. Шешуі. Гипотенузасы АВ=с және катеттері АС=b мен ВС=а болатын АВС тікбұрышты үшбұрышын қарастырамыз. 11 суретте көрсетілгендей үшбұрыштың қабырғалары арқылы өрнектелген АВМD, ВСЕВ1 және АСС1А1 квадраттарын саламыз. Егер квадраттар осылайша орналасса, онда М нүктесі В1Е кесіндісінде, ал D нүктесі – А1С1 түзуінде орналасатындығын дәлелдеуге болады. С уретте тең сүйір бұрыштар бір доғамен белгіленген, ал 1 мен 1', 2 мен 2', 4 пен 4' цифрларымен тең үшбұрыштар көрсетілген.11 суретте қабырғалары а және b болатын екі кесілген квадраттардан кабырғалары с болатын квадратты құрастыру тәсілі көрсетілген. Негізінен, қабырғалары а болатын ВСЕВ1 квадратын 1, 2 және 3 бөліктеріне, ал қабырғалары b болатын АСС1А1 квадратын 4 және 5 бөліктеріне бөлеміз. Содан соң 1 үшбұрышын 1' үшбұрышының орнына, 2 үшбұрышын уақытша 2' үшбұрышының орнына қоямыз, ал 3 төртбұрышын өз орнында қалдырамыз. Ары қарай 4 үшбұрышын 4' үшбұрышының орнына, ал 2 және 5 бөліктерінен құралған АDА1 үшбұрышын оған тең АDD1 үшбұрышының орнына қоямыз. Нәтижесінде, қабырғалары а және b тең квадраттарды 1, 2, 3 және 4, 5 бөліктеріне бөліп, қабырғасы с тең квадратты салдық. Сонымен, қабырғалары с-ғатең квадрат қабырғалары a және b тең квадраттармен тең құрамдас екені дәлелденді. Б ұл есепте құрастырылған тұжырым Пифагордың әйгілі теоремасы іспеттес. Қазіргі таңда оның жүзден астам дәлелдеуі белгілі. 12 суретте Пифагор теоремасының тағы бір дәлелдеуі келтірілген. Бақылау сұрақтар: Тікбұрышты үшбұрыш дегеніміз не? Гипотенузаны қалай түсінесіз? Квадрат деген не? 4.Пифагор теоремасы жүктеу/скачать 58,09 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|