ҮШ Өлшемді евклидтік кеңістіктегі вейль аксиомалар жүйесі

ҮШ ӨЛШЕМДІ ЕВКЛИДТІК КЕҢІСТІКТЕГІ ВЕЙЛЬ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕСІ

• Жоспары:
• 1. Үш өлшемді евклидтік кеңістігіндегі Вейль аксиомалар жүйесі
• 2. Вейль аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы, тәуелділігі және толықтығы.

V кеңістігі-нақты сандардың R өрісі үстіндегі үш өлшемді векторлық кеңістік болсын. Егер Вейльдің төмендегі үш аксиомасын қанағаттандыратын σ: E × E→V бейнелеуі берілсе, E≠ Ø жиыны E 3 кеңістік деп аталады, ол аксиомалар мыналар:

• V кеңістігі-нақты сандардың R өрісі үстіндегі үш өлшемді векторлық кеңістік болсын. Егер Вейльдің төмендегі үш аксиомасын қанағаттандыратын σ: E × E→V бейнелеуі берілсе, E≠ Ø жиыны E 3 кеңістік деп аталады, ол аксиомалар мыналар:
• 1) Əрбір AEэлементі үшін σ: E→V бейнелеуі σ A (B)
• = σ(A,B),  BE заңы бойынша биекция болып табылады.
• 2) + = ,  A,B,CE .
• 3) V векторлық кеңістігі-евклидтік векторлық кеңістік.
• Бұл-V векторлық кеңістігі үстінде оң таңбалы
• g:V×V→R бисызықтық форма берілді деген сөз (мұндағы
• = санын пен векторларының скаляр көбейтіндісі деп атайды).

• Сонымен, евклидтік E 3 кеңістігі структурасының базасы E,
• V, R жиындарының үштігі болады, мұндағы R- нақты сандардың өрісі, ал V жиынының үлесіне R үстіндегі үш өлшемді евклидтік векторлық кеңістігінің структурасы тиген.

• E 3 cтруктурасын анықтауда E жиыны-негізгі жиын рөлін,
• V мен R жиындары-көмекші жиындар рольдерін атқарады, атап айтқанда: R өрісі-векторлық кеңістіктің аксиомалары бойынша V үстінде қолданылатын операторлардың (скалярлардың) жиыны, ал V жиыны Вейльдің 1-3 аксиомалары бойынша E жиынының үстінде қолданылатын операторлардың жиыны болады.

• 2. ВЕЙЛЬ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕСІНІҢ ҚАЙШЫЛЫҚСЫЗДЫҒЫ, ТӘУЕЛДІЛІГІ ЖӘНЕ
• ТОЛЫҚТЫҒЫ
• 1) Кітаптың 2-бөлімінде кез-келген n натурал сан үшін En евклидтік кеңістік (R өрісі үстінде) болатындығы дәлелденген.

• ВЕЙЛЬ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕСІНІҢ

ҚАЙШЫЛЫҚСЫЗДЫҒЫ, ТӘУЕЛДІЛІГІ
ЖӘНЕ ТОЛЫҚТЫҒЫ

• Кітаптың 2-бөлімінде кез-келген

n натурал сан үшін En евклидтік кеңістік
(R өрісі үстінде) болатындығы дәлелденген.

• Онда E жиыны ретінде
• Rn  R  R ...  R
• (n-рет)жиыны алынған , ал
• көшірулердің V кеңістігі R өрісі үстіндегі –өлшемді евклидтік
• векторлық кеңістіктің структурасына сәйкестендіру арқылы сол
• Rn жиынынан құрастырылған. Сондықтан құрастырылған E
• кеңістігі нақты n өлшемді евклидтік кеңістік структурасының бір моделі болып табылады. Ол моделді құрғанда біз арифметика ұғымдарын және R өрісі үстіндегі арифметикалық операциялардың (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қасиеттерін кең түрде пайдаландық. Сондықтан мына теорема дұрыс болады.

• 2. Теорема. Егер нақты сандардың арифметикасы қайшы- лықсыз болса, онда 1-3 Вейль аксиомаларының жүйесі қайшылықсыз болады.
• Аксиомалардың бұл жүйесінің толымдық қасиеті де бар, өйткені оның интерпретацияларының бәрі изоморфты болып отырады.

• Теорема. Егер нақты сандардың

арифметикасы қайшылықсыз болса,
онда 1-3 Вейль аксиомаларының
жүйесі қайшылықсыз болады.
Аксиомалардың бұл жүйесінің
толымдық қасиеті де бар,
өйткені оның интерпретацияларының
бәрі изоморфты болып отырады.