1. Функция ұғымы

Егер x = х₀  нүктесінде және оның қандайда бір маңайында анықталған

     у = f (x) функциясы үшін  f (х₀ + 0) = f (х₀ – 0) = f (х₀) теңдігі орындалса, онда осы нүктеде және оның маңайында функция үзіліссіз деп аталады. 

Шектің анықтамасы бойынша  ε  шексіз аз саны үшін  (   саны бар болып,   х – х₀    (  теңсіздігін қанағаттандыратын барлық  х-тер үшін f (x) –  f (х₀)    теңсіздігі орындалады.  

Өсімше ұғымын енгіземіз:

аргументтің өсімшесі:  ∆x = x – х₀ ;

функцияның өсімшесі:  ∆у = f (x) – f (х₀).

Демек, үзіліссіз функция үшін аргументтің шексіз аз өсімшесіне функцияның шексіз аз өсімшесі сәйкес келеді.

 Нүктеде үзіліссіз функцияның негізгі қасиеттері:

1)    Егер f₁(x) және f₂(x) функциялары  x = х₀  нүктеде үзіліссіз болса, онда

олардың қосындысынан тұратын (f₁(x) + f₂(x)) функциясы да осы  нүктеде үзіліссіз болады.

     (Бұл қасиет кез-келген санаулы қосылғыштарға орындалады.)

2)    Егер f₁(x) және f₂(x) функциялары  x = х₀  нүктеде үзіліссіз болса, онда

олардың көбейтіндісінен тұратын f₁(x)∙f₂(x) функциясы да осы  нүктеде үзіліссіз болады.

    (Бұл қасиет кез-келген санаулы көбейткіштерге орындалады.)

3)    Егер f₁(x) және f₂(x) функциялары  x = х₀  нүктеде үзіліссіз болса, онда

олардың қатынасы  ,  (f₂(x₀)≠0) осы  нүктеде үзіліссіз болады.

4)    Егер u = φ(x) функциясы  x = х₀ нүктеде үзіліссіз, ал  f (u) функциясы 

5)    Әрбір элементар функция өзінің анықталу облысында үзіліссіз.

Кесіндіде үзіліссіз функцияның негізгі қасиеттері:

1)  Егер  f (x) функциясы a, b кесіндіде үзіліссіз болса, онда осы аралықта функция ең үлкен мәнін қабылдайтын кем дегенде бір нүкте және функция ең кіші мәнін қабылдайтын кем дегенде бір нүкте бар болады.

2)  Егер  f (x) функциясы a, b кесіндіде үзіліссіз және f (а) = т,  f (b) = п болса, онда m және  n сандарының арасындағы кез-келген  k үшін f (с) = k болатындай x = с нүктесі табылады.

     Егер   f (a) және  f (b) әртүрлі таңбаға ие болса, онда  f (с) = 0 болатындай

x = с нүктесі табылады.

 Біржақты үзіліссіздік

Үзіліс нүктелері және олардың классификациясы

Егер x = х₀ нүктеде у = f (x) функциясы үшін үзіліссіздіктің ең болмағанда бір шарты орындалмаса, онда осы нүктеде  функция үзіліске ұшырайды  делінеді, ал  x = х₀ нүктесі үзіліс нүктесі деп аталады.

Егер  f (х₀ – 0)  және  f (х₀ + 0)   шектері бар болса, онда

 f (х₀ + 0) – f (х₀ – 0)  айырмасы функцияның х₀ нүктедегі секірісі деп аталады.

Егер x = х₀ нүктеде у = f (x) функциясының біржақты шектері ақырлы, бірақ өзара тең емес, яғни  f (х₀ + 0)   f (х₀ – 0) болса, функция бірінші текті үзілісті функция деп аталады.                                      

Егер  f (х₀ + 0) = f (х₀ – 0)  f (х₀) болса, онда  х₀ – бірінші текті жөнделетін үзіліс нүктесі деп аталады. Егер біржақты f (х₀ – 0)  (f (х₀ + 0)) шектердің ең  болмаса біреуі  шексіздікке ұмтылса немесе  болмаса, онда  

2) ,       

    .

     болғандықтан, х₀ = 5 екінші текті үзіліс нүктесі.