1 Ықтималдықтар теориясы элементтері


Математикалық үміт (күтім)



бет19/35
Дата07.02.2022
өлшемі0,79 Mb.
#93477
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   35
Байланысты:
эконометрика

Математикалық үміт (күтім)
Анықтама.
Х дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның мүмкін мәндерінің  олардың ықтималдықтарына  көбейтіндісінің қосындысы айтылады ( немесе ). Белгіленуі  немесе :
.
мәндері шексіз жиын болғанда соңғы теңдіктің оң жағындағы қатар абсолютті жинақты болады.
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің ықтималдық мағынасы: ол жуық шамамен көп тәжірибе нәтижесінде бақыланып отырған мәндердің арифметикалық ортасына тең (немесе сынақ сандары үлкейген сайын бақыланып отырған мәндердің арифметикалық ортасы математикалық үмітке жуықталады).
Расында, n сынақ жүргізілсін, онда  мәні  рет,  -  рет, т.с.с.  -  рет және де  . Онда кездейсоқ шаманың қабылдаған барлық мәндерінің арифметикалық ортасы:  . Бірақ  - бұл  мәнінің қатысты жиілігі, ол тәжірибе саны көбейген сайын  ықтималдығына ұмтылады, ал сондықтан арифметикалық орта математикалық үмітке ұмтылады:  .
Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті де осылай анықталады, тек қосынды интегралдаумен айырбасталынады.
Анықтама.
Мүмкін мәндері [a,b] кесіндісінде (немесе ) жататын, ал үлестірім тығыздығы  болатын үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті келесі формула бойынша есептелінеді:
(немесе , бұл интеграл абсолютті жинақты деп есептелінеді).
қасиеттері:
1)  ;
2)  ;
3)  , мұндағы  айырымы кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқуы деп аталады.
4) кез келген  және  кездейсоқ шамалары үшін  .
5) Егер  және  тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда  .
2 және 4 қасиеттері кез келген шектеулі кездейсоқ шамалар жағдайына жалпыланады:
, мұндағы   тұрақтылар.
Бұл қасиеттерді дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамаларды анықтайтын формулаларға қойып оңай алуға болады ([1], 138-142 бет).
Тәуелсіз сынақтардағы оқиғаның пайда болу санынының математикалық үмітін анықтайтын формуланы білген пайдалы.
Теорема. Бір сынақта оқиғаның пайда болу санынының математикалық үміті осы оқиғаның ықтималдығына теңn тәуелсіз сынақтардағы оқиғаның пайда болу санынының математикалық үміті сынақ санының әрбір сынақта пайда болу ықтималдығына көбейтіндісіне тең.
Расында, егер бір сынақ жүргізіліп, онда оқиғаның пайда болу ықтималдығы  -ға тең болса, онда пайда болмау ықтималдығы  . Бұл кездейсоқ оқиғаның үлестірім заңы:



0

1







Сондықтан математикалық үміт  ;
Егер  – n тәуелсіз сынақтарда оқиғаның пайда болу саны және - бірінші сынақта оқиғаның пайда болу саны,  - екіншіде, және т.б.,  - n-ші оқиғалардың пайда болу сандары  . Төртінші қасиет бойынша
.
Теңдіктің оң жағындағы әрбір қосылғыш бір сынақтағы оқиғаның пайда болу санының математикалық үміті және  -ға тең. Сондықтан .


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   35




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет