1.3 Жалпы түріндегі алгебралық теңдеулер жүйесін шешу жолы
n белгісізі бар m теңдеулер жүйесін, яғни (1) теңдеулер жүйесін қарастырайық. Матрицаның рангісін оның сызықтық байланысты емес жатық жолдарының ең үлкен санына тең. Сондықтан, егер кеңейтілген А1 матрицасының жатық жолдары, яғни жүйенің теңдеулер сызықтық байланыссыз болса, онда [А]1 матрицасының рангісін теңдеулер санына тең болады: r=m, ал егер сызықтық байланысты болса, онда r
Кронекер-Капелла теоремасы
Алгебралық сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімді болуы үшін матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангітері өзара тең, яғни болу қажетті және жеткілікті.
Үйлесімді алгебралық сызықты теңдеулер жүйесі үшін төмендегі тұжырымдар орындалады.
егер үйлесімді (1) жүйе матрицасының рангісі белгісіздер санынан кем, яғни r=n болса, онда (1) жүйесі анықталған жүйе болады.
егер үйлесімді (1) жүйе матрицаның рангісі белгісіздер санынан кем, яғни r
r1,х2,…,хr белгісіздердің алдында тұрған коэффициенттерден құрылған анықтауыш (базистік минор) нөлге тең болса, онда х1,х2,…,хr белгісіздері базистік белгісіздер деп, ал қалған n- r белгісіздер бос белгісіздер деп аталады.
(56) жүйесінің барлық n- r бос белгісіздері нөлге тең болатын шешімі базистік шешім деп аталады. (56) жүйесі үйлесімді және оның рангісі r болсын. Жүйенің матрицасының бір базистік минорды, яғни реті r-ге тең r-ге тең, бірақ өзі нөлге тең емес минорды қарастырамыз. Мысалға А мен А1 матрицаларының алғашқы r жатық жолы базистік жатық жолдар арқылы сызықты өрнектеледі, сондықтан (1) жүйесінің соңғы m- r теңдеулері алғашқы r теңдеулер арқылы сызықты өрнектелетін болғандықтан, оларды жүйенің құрамынан алып тастаймыз.
(5)
жүйесінің рангісі теңдеулер санына тең емес r≤n. сондықтан екі жағдай болуы мүмкін: не r=n, не rБірінші жағдайда жүйенің матрицасы шаршылы және айырықша емес, сондықтан Крамер теоремасы бойынша ол анықталған үйлесімді жүйе.
Енді rмүшелерді шығарамыз.
(6)
белгісіздеріне кез-келген мәні болады, сондықтан олар бос белгісіздер деп аталады. Крамер теоремасы бойынша (63) жүйесіндегі белгісіздерін қалған бос белгісіздер бойынша табуға болады. бос белгісіздер кез-келген мән қабылдай алатындықтан rМысал-4
жүйесі берілсін.
а) жүйенің үйлесімділігін тексеріңіз.
б) жүйенің шешімдерін табыңыз.
Шешуі: а) Жүйенің матрицасы мен кеңейтілген матрицасының
рангілерін табамыз. [А] матрицасының рангісін
көмкеруші минорлар әдісімен табамыз.
4-ші ретті жалғыз минор нөлге тең болады. Сондықтан нөлге тең емес 3-ші ретті минор бар болғандықтан . Нөлге тең емес осы минор кеңейтілген [А]1 матрицасының да құрамына кіретін болғандықтан біз [А]1 матрицасының 4-ші ретті минорларды тексереміз. Нөлге тең емес 3-ші ретті минорды көмкеретін 4-ші ретті екі минордың біреуінің нөлге теңдігін көрдік. Енді екінші минорды тексереміз.
.
Сондықтан Олай болса Кронекер-Капелла теоремасы бойынша берілген жүйе үйлесімді.
б) алдында тұрған коэффициенттері базистік минорды құратын болғандықтан белгісіздері базистік белгісіздер, ал -бос белгісіз болады. Төртінші теңдеудің коэффмцменттері базистік минордың элементтері болмайды, сондықтан төртінші теңдеу басқа теңдеулердің сызықтық өрнегі болады. Дәлірек айтсақ, 4-ші теңдеу 1-ші теңдеу мен 3-ші теңдеулердің қосындысы. Сондықтан 4-інші теңдеуді жүйенің құрамынан алып тастап, қалған теңдеулерді белгісізі бар мүшелерді теңдеулердің оң жағына шығарамыз:
Достарыңызбен бөлісу: |
