14-тапсырма. Лаплас теңдеуі үшін негізгі шектік есептердің қойылуы Ішкі есептің қойылуы С –қарапайым шектелген қисық болсын. бойынша облыстың шегін белгілейміз,осы қисық бойынша шектелген,ал бойынша облыстың шексіздігін сыртқы қа қатысты,сондай шектелген қисық С да айқындаймыз. С –қисығына үздіксіз функция , . берілсін.Лаплас теңдеуінің маңыздылары келесідегідей.
Дирихле есебінің ішкі жағдайы. u(M) функциясын табу керек, облысында гармониялық, облысында үздіксіз шектелген және С шекарасында берілген шартты қабылдайтын:
(1).
Нейманның ішкі есебі. u(M) функциясын табу, облысында гармониялық оның туындысы нормальдың бағытына қатысты әр нүктеде С шекарасында функциясымен берілген нүктеде сәйкес келсе
(2).
Сыртқы есептің қойылуы гармониялы, облысында үздіксіз шектелген және С шекарасында берілген шарттар: (3).
u(M) шектелген : , А – тұрақты (5) екені қосымша болжанады.
Нейманның сыртқы есебі.u(M) функциясын табу, облысында гармониялық, оның туындысы нормальдың бағытына қатысты әрқайсы С шекарасында функциясымен берілген нүктеде сәйкес келсе. (4).
Форма бойынша есептен басқа,сондай ақ шектелген шартты есептерде бар.
(6),
мұнда , - берілген функция,ол қисықтың туынды есебі немесе үшінші қисықтық есеп деп аталады. Дирихле есебінің негізгі және тұрақты теоремалары. 1 - Теорема. Дирихленің ішкі және сыртқы есептерінің шешімі біреу ғана..
2 - Теорема . u(M), u*(M) – Дирихле есебінің ішкі шешімі. , (7), шектік шарттағы С қисығының барлық нүктелері. (8) теңсіздігі орындалады. Онда барлық облысында (9). Теңсіздігі орындалады.
