3-4 I шамалардың және сандардың қатынасы

(4 - сызба)

Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады. Сонымен қатар кез келген ғылымда объөктілердің өздері ғана емес, олардың арасындағы байланыстар да зерттеледі. Мысалы, географияда қалалар жиыны X және елдер жиыны У арасындағы «X қаласы У еліне қарайды» деген сәйкестік қарастырылады. Физикада «х денесінің массасы у-ке тең», химияда «х затының таңбасы у болады», математикада «х фигурасының ауданы у - ке тең» деген т.с.с. сәйкестіктер қарастырылады.

Кері сәйкестік X = {3, 5, 7}, У = {4, 6} жиындарының элементтерінің арасындағы R - «артық» сәйкөстігі берілсін. Сонда R = {5,4}, {7,4}, {7, 6} және оның графы 5 - сызбадағыдай болады.

Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У және X жиындарының элементтерінің арасындағы «кем» сәйкестігінің графигі алынады (6 - сызба).

(5 - сызба) (6 - сызба)

Графы 5- сызбада кескінделген сәйкестік берілген R сәйкөстігіне кері сәйкестік деп аталып, R0¹ арқылы белгіленеді.

X және У жиындарының арасындағы сәйкестік R болса, онда У және X жиындарының арасындағы yRD¹x болатындай RD¹ сәйкестігі xRy болғанда және тек сонда ғана R сәйкестігіне кері сәйкестік деп аталады.

R және RD¹ сәйкестері өзара кері сәйкестіктер деп аталады. Өзара кері сәйкестіктердің графиктерінің қандай ерөкшеліктері болатынын анықтайық.

R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} сәйкестігінің графигін салайық (6 -сызба). RD¹ = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} сәйкестігінің графигін салғанда қостың бірінші компонентін У жиынынан екінші компонентін X жиынынан алу керек. RD¹ сәйкестігінің графигі R сәйкестігінің графигімен беттесетінін көреміз.

Бұл графиктерді ажырату өте қолайсыз. Сондықтан RD¹ сәйкестігіндегі қостардың бірінші компонентін абсцисса осінен, екінші компонентін ордината осінен алу келісілген.

Мысалы, (5, 4) € R, онда (5, 4) € RD¹.

Координаталары (5, 4) және (4, 5), жалпы жағдайда (х, у) және (у, х) болатын нүктелер I және III координаттық бұрыштардың биссөктрисасына қарағанда симметриялы болады. Сонымен, R сәйкестігіне кері R0¹ сәйкестігінің графигі R сәйкестінінің графигінің нүктелеріне I және III координаттық бұрыштар арқылы өтетін биссектрисаға қарағанда симметриялы нүктелерден тұрады. Сондықтан RD¹ = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} болатын сәйкестіктің графигі 8 -сызбада бояп көрсетілген нүктелер жиынынан тұрады.

Натурал сандар жиынындағы R «х кем у-тен» сәйкестігі болса, оған кері RD¹ сәйкестігі «х артық у - тен» болады. Кесінділер арасындағы «х кесіндісі у - тен ұзын» сәйкестігіне «х кесіндісі у - тен қысқа» деген сәйкестік кері болады.

Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп көңіл бөлінеді. Оқушылар 5 > 3 болғандықтан 3 < 5 екенін, егер АВ кесіндісі СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа болатынын терең түсінуі керек.

Өзара бірмәндік сәйкестік. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы барлық мүмкін сәйкестіктердің ішінен X жиынындағы әрбір элементке У жиынынан жалғыз элөмент және керісінше, У жиынының әрбір элементіне X жиынының жалғыз элементі сәйкес келетін сәйкестікті қарастырамыз. Мұндай сәйкестікті өзара бірмәнді сәйкестікдеп атайды.

Осындай сәйкестіктерге мысалдар қарастырайық.

.
А жиынындағы әрбір элементке В жиынындағы жалғыз элөмент сәйкес келеді. Сонымен қатар керісінше, В жиынындағы әрбір элементке А жиынынан жалғыз элемент сәйкес келеді. Сондықт ан A және В жиындарынының арасыандағы сәйкестік өзара бірмәнді болады.

2. 
   X координаттық түзудің бойындағы нүктелер жиыны, у = R
   болсын. Координаттық түзуді енгізуге байланысты түзудегі әрбір
   нүктеге бір нақты сан (сол нүктенің координатасы) сәйкес келеді және
   кез - келген нақты санға түзудің бойынан бір нүкте сәйкес келеді.
   Сонда бұл сәйкестік те өзара бірмәнді болады.
   
3. 
   X - координаттық жазықтықтағы нүктелер жиыны, ал У - нақты
   сандардың қостарының жиыны болсын. Егер жазықтықтағы әрбір
   нүктеге нақты сандардың жалғыз қосы (нүктенің координаталары)
   сәйкес келсе және нақты сандардың әрбір қосына жазықтықтан бір нүкте сәйкес келсе, онда жазықтықтағы нүктелер жиыны мөн нақты сандардың қостарының жиынының арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылады.
   

Үлкен натурал сан a - ны кіші натурал сан Ь - ге бөлінгенде қалдық нольге тең болса, а санының b санына бүтіндей бөлінетінін білеміз. Сондай - ақ, егер натурал сан a , натурал сан Ь - ден артық болса, онда әрқашан да мынадай теңдікті қанағаттандыратын q мен г екі санды табуға болатындығы да тағайындалады: a = bq + г, мұндағы q мен г өкі санды табуға болатындығы да тағайындалады: a = bg+ r, мұндағы q - үлкен санды (a - ны) кіші санға (Ь - ге) бөлгендегі бөлінді де, г - қалдық. Қалдықсыз бөліну натурал сандардың осы жалпы қасиетінің бір дербес жағдайы екендігі, атап айтқанда, г - 0 болып, a = bq теңдігі шығатын жағдай екендігі айқын.

Дұрысында да, егер N - abc.f болса, онда терімділік қасиеті бойынша N : a = bc.f.

Демек, А/ саны - көбейткіш a - ның еселігію екінші жағынан, егер N = abc...f болса, онда ауыстырымдылық қасиеті бойынша N = bac.f ; терімділік қасиеті бойынша N = b(ac.f), ал бөлудің мағынаса бойынша N : b = ac.f.

Демек, N көбейткіш b - нің де еселігі.

Осылайша N саны өзінің басқа да қалған көбейткіштерінің әрқайсысының еселігі болып табылатындығын тағайындауға болады.

Бөлінгіштік қатынасын белгілеу үшін ерекше таңба - тігінен орналасқан үш нүкте қолданылатындығын еске саламыз.

Сонда a : b жазуын былай оқу керек: а саны Ь санына қалдықсыз бөлінеді немесе а саны Ь санының еселігі. Ал бұл қатыс орындалмайтын болса, онда бұл жағдайда «а саны Ь - ге бөлінбейді» дейтін боламыз.

Сандардың бөлгіштігінің белгілері.

Сандардың 2 - ге, 5 - ке, 4 - ке, 25 - ке, 8 - ге, 125 - ке, 3 - ке және 9 - ға бөлінгіштігінің белгілері.

2 - ге бөлінгіштік белгісі. Берілген санның соңғы цифры 2 - ге бөлінетін болса сондай сандар, төк қана сондай сандар 2 - ге бөлінеді.

5 - ке бөлінгіштік белгісі. Берілген санның ондық жүйеде жазылуындағы соңғы цифры 0 немесе 5 болса, тек сонда ол сан 5 - ке бөлінеді.

4 - ке және 25 - ке бөлінгіштік белгілері. Берілген санның ондық жүйеде жазылуы екі нольмен аяқталса немесе оның соңғы екі цифрымен өрнектелетін сан 4 - ке (немесе 25 - ке) бөлінетін болса, сондай сандар, тек қана сондай сандар, 4 - ке (нөмесе 25 - ке) бөлінеді.

8 - ге және 125 - ке бөлінгіштік белгілері. Берілген санның ондық жүйеде жазылуы үш нольмен аяқталатын болса немесе оның соңғы үш цифрымен өрнектелетін сан 8 - ге (немесе 125 - ке) бөлінетін болса, сондай сандар, тек қана сондай сандар, 8 - гө (немесе 125- ке) бөлінеді.

3 - ке және 9 - ға бөлінгіштік белгісі. Санның ондық жүйеде жазылуындағы цифрларының қосындысы 3 - ке немесе 9 - ға бөлінетін сандар, тек қана сондай сандар 3 - ке (немесе 9 - ға) бөлінеді.

Соңында бір немесе бірнеше нольдері бар бірмен өрнектелген сандардың қандайы болса да немесе 10 - ның натурал дәрежелері түріндегі сандар 9 - ға өселік сан мен бірдің қосындысы болып табылады.
2.4. Геометриялық фигуралар және олардың қатынастары.

Геометриялық білімінің пайда болатын көзі біреу, ол тәжірибе. Ойын, әртүрлі жұмыс т.с.с. түрінде айналадағы табиғат, тіршілік жағдайларымен танысудан балалар геометрияның негізгі түсініктері туралы ұғым алады. Тәжірибе және бақылау, геометриялық білімінің бастапқы көздері болады.

Геометриялық білімінің пайда болуының екінші жолы логикалық ойлау болып табылады. Жоғарыда келтірілгендер геометриялық білімінің пайда болу көздері. Дұрысында, бақылау тәжірибе қандай оңай болғанмен де, қандай нақтылы түрде кездескенмен де, оқушы тіпті жеңіл желпі түрде болса да талқылап тексермей, логикалық жүйеге соқпай кете алмайды. Мысалы, шырпыдан салынған үщбұрыш пен квадратты салыстырғанда көрінеді.

Бастауыш сыныптарда геометрияны оқыту кезінде, әр материалға байланысты, геометриялық ойлау қабілетін дамыту барысындағы мүғалімінің ең негізгі мәселесі әдістемелік бағытты анықтап алу керек.

Геометриялық фигуралар және олардың қатынастары жөніндегі түсінік оны елестете білуге дейін жүргізіле береді.

Әдістемеде геометриялық фигураларды қою және қарама-қарсы қою тәсілдеріне ерекше орын беріледі. 1 сыныпта фигуралар жиыны ішінен шеңбер жиынын, кеп бұрыш жиынын және т.б. бөліп алуға көңіл аударылса, ал 2 - 3 сыныптарда фигуралардың қасиеттерін нақтылауға және классификациялауға мэн беріледі. Жазық фигуралар (шеңбер -көпбұрыш, дөңгелек -шеңбер және т.б.) иен кеңістік фигураларды (квадрат-куб, шеңбер, шар және т.с.с.) қою және қарама-қарсы қоюға ерекше назар аудару керек. Мысалы, кубпен таныстырғанда, оның нүктелерін, кесінділерін, көпбұрыштарын табуды көрсету қажет.

Оқушылардың 3 сыныпта геометриялық елестетуін қалыптастыруда фигуралардың қасиеттеріне сүйене отырып, олардың өзара орналасу қатыстығын қолдану. Мысалы, кесінді мен жазықтықтағы түзудің өзара орналасу қатыстығын (қиылысу) қолдану, оқушылардың кесідінің шектілігі мен түзүдің шексіздігіне көз жеткізуге мүмкіндік береді. Бұл қалыптасқан геометриялық ұғымдарды қалыптастыруға негіз болып табылады.

Бастауыш математика курстарында оқып үйренудегі басқа материалдармен байланысыны ерекше айтқан жөн. Бұл байланыстың негізі болып сан мен фигура арасындағы қатынасты орнату мүмкіндігі. Бұл сан түсінігін қалыптастырудағы сан қасиеті, оларға қолданылатын амалдардан фигураны қолдану керісінше, геометриялық образдарды оқып үйренуден сан ұғымын қолдану.

1 сыныпта фигура модельдерін санау үшін қолданады. Кейінірек объекті ретінде фигура элементтері пайдаланылады. Мысалы, көпбұрыштың төбелері, қабырғалары. Сонымен қатар оқушылар кесінділерді ©лшеумен де танысады. Бұл кесінді мен сан арасында байланыс орнатуға септігін тигізеді. Ал 2 сыныпта кесінділер (нүктелер) және сандар арасында тікелей байланыс орнатылады. Ертеректе кесінділерді өлшеумен танысқандықтан натурал сан, санаудың ондық өлшемі (сантиметр-бірлік, дециметр, ондық, метр жүздік), сандарға амалдар қолдану (масштабты сызғыш сан, санау қүралы) сияқты түсінігін қалыптасытруда маңызы үлкен. Геометриялық фигуралар оқушылардың бірлік үлестерімен танысу кезінде де қолдану қажет.

Бастауыш сыныптың білімнің жаңа мазмұнына етуі, оқыту әдістері құрамының жаңаруы - бұл болашақ педагогикалық іздену үшін негіз болып табылады. Мұндай жағдайда пәнаралық байланыстық көлемі мәселелері маңызды роль атқарады.

Балалар мектепке дейінгі кезеңнің өзінде-ақ олар кеңістік туралы қоршаған ортадағы әртүрлі заттардың формасы, өлшемі, және өзара орналасуы жайында кеп түсінік жинақтайды. Осы түсінік келешекте негізгі геометриялық түсініктерді, сосын ұғымдарды қалыптастыруда қажет негіз болып табылады. "Кубиктерден" (кубик құрамында призма, пирамида және т.б. көп бұрыштардан басқа да шар, күрделі формалы цилиндрлер кездеседі) әртүрлі қүрылыс салу кезінде, балалар заттардың өзара қатыстарымен: "жоғары" ,"төмен", "ортада", "астында", "үстінде", "оң жағы", "сол жағы", "арасында" және т.б. сөздермен кездеседі, сөйтіп заттардың салыстырмалы елшемдеріне:

" үлкен", " кіші" , "ұзын", "қысқа", және т. б . сөздерге көңіл аударады. Сонымен бірге ойын үстінде, практика жүзінде заттардың формаларымен, олардың жеке бөліктерімен танысады. Мысалы, дөңгелек (цилиндр) немесе доптың ( шар ) секіретін қасиетке ие екендігін, ал қорапша да (призма) мұндай қасиет жоқтығын балалар бірден - ақ аңғарады. Осы физикалық қасиеттерде балалалар интуитивті түрде дене формасымен байланыстырады. Балалар жинақтаған тэжирбе және терминдік зөздер кездейсоқ болғандықтан оқытудың міндеттерінің бірі жинақталған түсініктерді анықтау және сэйкес терминдерді меңгеру. Осы бағытта жүйелі түрде әртүрлі жаттығулар беру керек Заттар арасындағы қатынастар: "бірдей", "әртүрлі", "үлкен", "кем", және т.б. сөздер нақты заттармен (қағаз белігі, таяқша, доп, және т.б.) немесе солардың кескінімен (сурет, сызба) орнатылады. Осы қатынастарды түсіндірудегі мысалдарда негізгі белгілер "дәл" көрініс табуы қажет.

Салыстыру, мысалы, берілгені екі таяқшаның қайсысы "үлкен" деген сұрақты қойғанда, екі таяқшаның да қалындығы бірдей болу керек (немесе ұзындығы бірдей). Барлық кезде де екі затты салыстырғанда "салыстыру белгісі" айқын көріну қажет немсе оқушылар бірден ажарататындай болуы керек. Диаметрі мен түсі әртүрлі шарларды салыстыру оңай, ал шарлардың диаметрі әртүрлі болып түсі бірдей болған жағдайда қиын соғады (бірінші кезде). Бұл жағдайда оқушылар "Шарлар бірдей "(түсіне қарап) деп жауап береді. Оқыту барысында заттың геометриялық қасиетін оқыту барысында ол заттың қандай материалдан жасалғандығы, түсі ескерілмейді, оның өлшемі, элементтерінің өзара орналасуы, формасы ескеріледі.

"Бірдей" термині конгурентті (тең) деген мағынада бұл термин "тең" терминімен (мысалы, тең кесінділер) алмастырылады.

Көрсетілген қиындылардың қайсы "үлкен" ("кіші" деп сұрақ қоюға болмайды. Одан қайта, бұл қиындалардың қайсы жіңішке (жуан), қысқа (ұзын) деп қойған орынды.

Геометриялық фигура - бұл нүктелер жиыны, геометриялық фигураға жеке бір нүктеде , және шекті, шексіз алынған нүктелер жиыны да жатады. Сондықтан да, біз оларды абстрактылы дейміз.

Практикада біз, реальды заттардан жасалған фигуралардың модельдерін қарастырамыз. Мысалы, қаламсаптың ұшы нүкте болады және т.б. Заттардың формасы, қасиеті, өлшемі массасын ескермей, оны геометриялық фигура туралы түсінік аламыз.

Геометрия негіздерін оқытуда жақсы нәтижеге жету үшін оқушылардың кеңістік түсінігін қалыптастыру жұмыстарын жүйелі түрде жүргізу қажет. Геометриялық оқыту бұл оқушылардың ғылыми - дүние танымдық қабілетін артырудың бірден - бір жолы.

Осы заманғы мектеп 1 класқа келетіндердің ойлау, қабылдау процестері, өмірге қажетті білім - дағдылары жан-жақты жетілген, бақылап көрген заттар мен құбылыстар жайлы өздігінен қарапайым ой қорытындылары жасай, талдай, жинақтай білетін балалар болуын қалайды.

Осыған орай жалпы білім беретін қалалық, селолық мектептер жанынан эксперименттік даярлық кластар ашылды. Мектептің 1 класына балалар бақшасынан келетін оқушылармен салыстырғанда отбасыдан келген 6 жастағы балалардың тек білім дәрежесі ғана төмен болып қоймайды, сонымен қатар олардың ұжымдық еңбек етуге икемі аз, "өзімшілдігі" басым, зейіні тұрақсыз келеді.

Сондықтан оларды даярлық кластарында жеке пәндер бойынша оқытудың, соның ішінде, математикадан алғашқы ұғым берудің маңызы зор. Оқытудың негізгі мақсаты оларға тиянақты білім берумен қоса, коллективтік еңбек ете білуге жолдастық достыққа баулу болып табылады. Мұның өзі даярлық кластарындағы бүкіл оқу және тәрбие беру нақты болуын талап етеді. Мұндай жүйелілік пен сабақтастық оқу-тәрбие жұмыстарының мазмұнын ұйымдастырудан бастап, бүкіл жұмыс формаларында, әдіс-тәсілдерінде сақталып, жүзеге асырылады.

Математикадан алғашқы ұғым берудің мазмұнын анықтай отырып, бағдарлама жасағанда 6 жастағы балаларды кеңістікті бағдарлай білу, заттарды және олардың жиынтықтарын салыстыруға қажетті негізгі математикалық алғашқы ұғымдарды меңгерту мәселелерін қарастырдық. Өйткені бұл мәселелер даярлық кластарындағы балаларға берілуге тиісті алғашқы математикалық білім - дағдыларға кіріспе болып табылады.

Сөбебі "биік - аласа", "ұзын - қысқа", "кең - тар", "жуан - жіңішке", "үлкен - кіші" деген заттардың салыстырмалы қасиеттері мен қатынастары туралы, "көп - аз", "көп - бір", "көп - емес" т.б. осылар сияқты заттың сандық қатынасы туралы, "оң - сол", "оң жақта", "сол жақта", "жоғарыда - төменде", "алдында - артында", "алыс-жақын", сияқты заттардың кеңістіктегі орны туралы түсініктерсіз 6 жастағы балаларға математиқаның негізгі ұғымдарын меңгерту мүмкін емес. Ендеше бағдарлама бұл түсініктердің кіріспесінің орнында тұруы кездейсоқ емес.

Сонымен біз математиканың алғашқы "ұғым беру" бағдарламасын жасауда отбасыдағы, балалар бақшасындағы, мектептің даярлық кластарындағы балаларға жүргізілген эксперименттік байқау нәтижелерін негізге алдық. Бағдарламаға өзгерістер өнгізіп, қайта қарап, бірсыдырғы жетілдірдік.

1. 
   1,2,3,4,5 сандары 5 көлеміндегі сандардың натурал қатары.
   
2. 
   Қарапайым геометриялық фигуралар. Бояу түстерімен
   таныстыру.
   
3. 
   Заттардың көп немесе аз қатынастарын әр түрлі өлшеуіштер
   арқылы салыстыру.
   
4. 
   Арифметикалық амалдардың таңбаларымен таныстыру.
   
5. 
   6, 7, 8, 9, 10 сандарының натурал қатары.
   
6. 
   11, 12, 13, 14, 15 сандарының натурал қатары.
   
7. 
   16, 17, 18, 19, 20 сандарының натурал қатары.
   
8. 
   Монеталар саны мен жыл, мезгілдері, ай аттары, аптадағы күн
   аттарымен таныстыру - деген 9 бөлімнен құралды.
   

Сабақ өткізудің әдіс-тәсілдері бүкіл жұмыстың мазмұнымен, ұйымдастырылу түрімен, әр жұмыстың білімдік және тәрбиелік мақсатымен, балалардың танымдық мүмкіндіктерімен біте қайнасып ұштасып жатады. Әсіресе әңгімелесу әдісі жетекші роль атқарады.

белгісімен (=) таныстырылып, кеспе цифрлар мен таңбаларды, ауызша есеп құрастырып шешіп үйренеді.

Сондай-ақ балаларды 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 тиындық монеталар жиынтығымен және оларды үқсатумен таныстыру көзделінеді. Бұл жұмыстар сабақ кезінде көрнекі түрде түсіндіріледі. Мұғалім сабақ үстінде балаларды өздігінен жұмыс істеу дағдыларына жаттықтырады. (Мысалы, заттарды тең бөліктерге бөлу: алманы, қағазды, нанды т.б.) Ол бөліктерді атау, "екіден бір", "үштен бір" т.б. Осы атаулардың мәні түсіндіріледі.

Математикалық алғашқы ұғымдарды қалыптастыру сабақтарында ауыз әдебиеті нұсқауларын - санамақтарды қазақ балалар жазушыларының ойынға, санамаққа лайықты еңбектерін пайдалану керек.