Радиалды және сфералық бөліктері үшін толқындық функцияларды аналитикалық алу

Стационарлы толқындық функция:

мұндағы – сфералық координата үшін Лаплас операторы:

Бұл өрнектің соңғы бөлігі әр түрлі, өйткені функциялардың бірі φ-ге тәуелді емес. Және де мынаны қарастырайық:

мұндағы

осыдан кейін біз толқын теңдеуін келесі түрде жаза аламыз:

(5)

біздің басты мақсатымыз – шектеулі , үздіксіз және кез-келген жерде асимптотикалық болатын соңғы (4) теңдеудің шешімін табу:

Теңдеуді шешу үшін біз толқындық теңдеуде айнымалыларды бөлу әдісін қолданамыз. Бізде V бар, ол тек r-ге тәуелді және толқындық теңдеу, оны екі теңдеуге бөліп жазамыз. Теңдеудің бірі тек айнымалыға , ал екіншісі тек θ айнымалысына тәуелді. Бұл теңдеу үшін:

біз осы соңғы (6) теңдеуді (4) қоямыз:

Соңғы теңдеудің (7) сол жағы тек R-ге және оң жағы θ-ға тәуелді екенін атап өтуге болады. Сондықтан екі жақ та L(l+1) белгіленген тұрақтыға тең деп аламыз:

және

(9) теңдеу-Лангранж теңдеуінің ерекше жағдайы. Бұл екінші ретті теңдеудің екі сызықты тәуелсіз шешімі болғандықтан, олардың екеуін де cosθ-тен тәуелді сериялары ретінде ұсынуға болады . Екі шешім де шексіздікке айналады, егер θ = 0 болса және l нөлге немесе 1-ге тең болмаса. Сондықтан толқындық теңдеудің физикалық тұрғысынан қолайлы шешім l = 0,1,2 қанағаттандырарлық болып табылады. l бомбалаушы бөлшектің импульс өлшемі ретінде қызмет ететінін көргеннен кейін, ол бекітілген шашырау орталығына жатады. Сондықтан l импульстің кванттық саны деп аталады. Теңдеудің алғашқы мүмкін шешімдері (9)