5 тақырып. Еселі интегралдағы айнымалы алмастыру. Негізгі сұрақтар
) Кеңістіктегі цилиндрлік координаттар
жүктеу/скачать 195,2 Kb.
|
file-2386
- Бұл бет үшін навигация:
- 3) Сфералық координаттар.
- Еселі интегралдардың геометрия есептерінде қолданылу 1) Дененің көлемі
- 2) Жазық фигураның ауданы
- 3) Беттің ауданы
- 4) Жазық фигураның массасы.
- Үш еселі интегралдардың қолданулары 1) Дененің массасын есептеу.
| 2) Кеңістіктегі цилиндрлік координаттар. Декарттық координаттар жүйесінде нүктесі беріліп, оның Оху жазықтығындағы проекциясы М1 нүктесі болсын. М нүктесі оның аппликатасы z және М1 өзінің полярлық кординаттары мен арқылы анықталса, онда шамалары М нүктесінің цилиндрлік координаттары болады. М нүктесінің декарттық және цилиндрлік координаттарының арасындағы байланыс мына формулалармен анықталады (10-сурет):
10-сурет
координаттарын координаталарымен ауыстыру якобианы: болады. Сондықтан үш еселі интегралда айнымалыларды ауыстыру мына формула арқылы орындалады: . 3) Сфералық координаттар. Оxyz кеңістігінде М нүктесінің орнын: а) О нүктесінен М нүктесіне дейінгі қашықтық ; б) ОМ кесіндісі мен Оz өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш ; в) ОМ кесіндінің Оху жазықтығындағы проекциясы ОМ1 мен Ох өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш арқылы анықтасақ, онда осы шамалары М нүктесінің сфералық координаттары болады. М нүктесінің декарттық және сфералық координаттар арасындағы байланыс мына формулар арқылы анықталады: z M у y х M1 x
11-сурет
Декарттық координаттарды сфералық координаттарға ауыстыру якобианы былайша анықталады: . Еселі интегралдардың геометрия есептерінде қолданылу 1) Дененің көлемі: Егер D аймағында болса, онда цилиндрлік дененің (цилиндроидтың) көлемі формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағында болса, онда 2) Жазық фигураның ауданы: D аймағымен шенелген жазық фигураның ауданы . Егер D облысы теңсіздіктері арқылы берілген болса, онда осы аймақтың ауданы формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағын полярлық координаттар жүйесінде алсақ, яғни, болса, онда . 3) Беттің ауданы: а) Егер бет тегіс бірмәнді теңдеуімен өрнектелсе, онда оның ауданы . D1 – беттің Оху жазықтығындағы проекциясы. б) болса, онда , D2 – беттің Оуz жазықтығындағы проекциясы. в) болса, онда , D3 - беттің Охz жазықтығындағы проекциясы. 4) Жазық фигураның массасы. Оху жазықтығында тығыздығы болатын D заттық фигураны қарастырайық. Осы фигураның массасы формуласы арқылы есептеледі. Жазық фигураның ауырлық центрінің координаттары: . Жазық фигураның координат өстеріне қатысты инерциялық моменттері: , Оу өсіне қатысты, , Ох өсіне қатысты, , бас нүкте О(0,0) –ға қатысты формулалары арқылы. Жазық фигураның Ох және Оу өстеріне қатысты статикалық моменттері: формуларлары арқылы есептеледі. Үш еселі интегралдардың қолданулары 1) Дененің массасын есептеу.Егер көлемдік тығыздығы үш айнымалды функция арқылы анықталатын V денесінің М массасы мына формула бойынша есептеледі: жүктеу/скачать 195,2 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|