2) Кеңістіктегі цилиндрлік координаттар. Декарттық координаттар жүйесінде нүктесі беріліп, оның Оху жазықтығындағы проекциясы М1 нүктесі болсын. М нүктесі оның аппликатасы z және М1 өзінің полярлық кординаттары мен арқылы анықталса, онда шамалары М нүктесінің цилиндрлік координаттары болады. М нүктесінің декарттық және цилиндрлік координаттарының арасындағы байланыс мына формулалармен анықталады (10-сурет):
10-сурет
координаттарын координаталарымен ауыстыру якобианы:
болады. Сондықтан үш еселі интегралда айнымалыларды ауыстыру мына формула арқылы орындалады:
.
3) Сфералық координаттар. Оxyz кеңістігінде М нүктесінің орнын:
а) О нүктесінен М нүктесіне дейінгі қашықтық ;
б) ОМ кесіндісі мен Оz өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш ;
в) ОМ кесіндінің Оху жазықтығындағы проекциясы ОМ1 мен Ох өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш арқылы анықтасақ, онда осы шамалары М нүктесінің сфералық координаттары болады. М нүктесінің декарттық және сфералық координаттар арасындағы байланыс мына формулар арқылы анықталады:
z
M
у y
х M1
x
11-сурет
Декарттық координаттарды сфералық координаттарға ауыстыру якобианы былайша анықталады:
.
Еселі интегралдардың геометрия есептерінде қолданылу
1) Дененің көлемі: Егер D аймағында болса, онда цилиндрлік дененің (цилиндроидтың) көлемі
формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағында болса, онда
2) Жазық фигураның ауданы: D аймағымен шенелген жазық фигураның ауданы . Егер D облысы теңсіздіктері арқылы берілген болса, онда осы аймақтың ауданы
формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағын полярлық координаттар жүйесінде алсақ, яғни, болса, онда
.
3) Беттің ауданы: а) Егер бет тегіс бірмәнді теңдеуімен өрнектелсе, онда оның ауданы
.
D1 – беттің Оху жазықтығындағы проекциясы.
б) болса, онда , D2 – беттің Оуz жазықтығындағы проекциясы.
в) болса, онда , D3 - беттің Охz жазықтығындағы проекциясы.
4) Жазық фигураның массасы. Оху жазықтығында тығыздығы болатын D заттық фигураны қарастырайық. Осы фигураның массасы
формуласы арқылы есептеледі. Жазық фигураның ауырлық центрінің координаттары:
.
Жазық фигураның координат өстеріне қатысты инерциялық моменттері:
, Оу өсіне қатысты,
, Ох өсіне қатысты,
, бас нүкте О(0,0) –ға қатысты
формулалары арқылы. Жазық фигураның Ох және Оу өстеріне қатысты статикалық моменттері:
формуларлары арқылы есептеледі.
Үш еселі интегралдардың қолданулары
1) Дененің массасын есептеу.Егер көлемдік тығыздығы үш айнымалды функция арқылы анықталатын V денесінің М массасы мына формула бойынша есептеледі:
Достарыңызбен бөлісу: |
