7-Апта. 7-Лекция Математикалық күтім және оның қасиеттері. Дисперсия және оның қасиеттері. Чебышев теңсіздігі

Үлестіру заңы кездейсоқ шаманы сипаттайтынын көрдік. Көптеген практикалық мәселелерді шешкенде кездейсоқ шаманың үлестіру заңын іздемей – ақ (оны анықтау кейде қиынға түседі), сол үлестірудің кейбір сандық синаттарымен қанағаттануға болады.

1⁰. М(С) = С, С – тұрақты сан. Тұрақты санның математикалық күтімі сол тұрақты санға тең;

2⁰. М(СХ) = С·М(Х) – тұрақтыны математикалық күтім таңбасының алдына шығаруға болады;

3⁰. М(Х ± У) = М(Х)±М(У) – екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең.

4⁰. М(Х·У) = М(Х)·М(У) – екі кездейсоқ шама көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең.

Мысалы.

Х	0,21	0,54	0,61
Р	0,1	0,5	0,4

Үлестіру заңы белгілі кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табайық .

Шешуі.

§Дисперсия

Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия деп атайды.



орташа квадраттық ауытқу.
Мысалы. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясын анықтау керек

;





§ Дисперсияның қасиеттері .

1⁰. Д(с) = 0 Тұрақтының дисперсиясы 0 – ге тең.

2⁰. Д(сх) = (х) Тұрақтыны дисперсия таңбасының сыртына квадраттап шығаруға болады.

3⁰. Д(х ± у) = Д(х) ± Д(у)

4⁰. Д(х · у) = Д(х) · Д(у) + [М(х)]²·Д(у) + [М(у)]²·Д(х)
Мысалы. Үлестіру заңы бойынша берілген Х – дискертті кездейсоқ шаманың дисперсиясы және орташа квадраттық ауытқуы табылсын.

Х	131	140	160	180
Р	0,05	0,10	0,25	0,60

Шешуі. Д(х) = М(х)² - [М(х)]² формуласынан пайдаланамыз: Х – тің математикалық күтімін табамыз.

М(х) = 131·0,05 +140·0,1+ 160·0,25 + 180·0,60 = 6,55 + 14 + 40 +108 = =168,55

Х² – тың үлестіру заңын жазамыз:

Х2	17161	19600	25600	32400
Р	0,05	0,10	0,25	0,60

Х² – тың математикалық күтімін табамыз:

М(х²) = 17161·0,05 +19600·0,10 + 25600·0,25 + 32400·0,60 = 858,05+1960 + 6400 +19440 = 28658,05

Ізделінді дисперсияны табамыз: