А. Шень Вероятность: примеры и задачи Издание четвёртое, стереотипное Москва

А. Шень
Вероятность:
примеры и задачи
Издание четвёртое, стереотипное
Москва
Издательство МЦНМО
2016

ББК 22.1
Ш47
Шень А.
Ш47
Вероятность: примеры и задачи. | 4-е изд., стереотипное. | М.:
МЦНМО, 2016. | 72 с.
ISBN 978-5-4439-0920-2
На примерах излагаются первые понятия теории вероятностей (вероятность собы-
тия, правила подсчёта вероятностей, условная вероятность, независимость событий, слу-
чайная величина, математическое ожидание, дисперсия).
Брошюра рассчитана на читателей, свободно оперирующих с дробями и процентами.
Предыдущее издание книги вышло в 2012 г.
ББК 22.1
Оригинал-макет предоставлен автором.
Книга является свободно распространяемой; электронная версия доступна
по адресу ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/proba.zip
Автор благодарен Ю. Н. Тюрину, А. А. Макарову, И. Р. Высоцкому и
И. В. Ященко, без которых эта брошюра никогда не была бы написана.
Рецензент и редактор Николай Александрович Яковлев
Научно-популярное издание
Александр Шень
Вероятность: примеры и задачи.
Подписано в печать 20.01.2016 г. Формат 60
×
90
1
/
16
. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 4,5. Тираж 2000 экз. Заказ Ђ
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83.
Отпечатано в «Академиздатцентр "Наука\ РАН»,
ОП Производственно-издательский комбинат «ВИНИТИ» | «Наука»,
140014, Московская обл., г. Люберцы, Октябрьский пр-т, д. 403.
Тел./факс: (495) 554{21-86, (495) 554{25{97, (495) 974{69{76.
ISBN 978-5-4439-0920-2
©
Шень А., 2007, 2016

1. Вероятность в природе
Никто не умеет предсказывать, какой стороной («орлом» или «решкой»)
упадёт монета при игре в орлянку. Но опыт показывает, что если бросать
монету много раз, то орлов и решек будет примерно поровну. Точно так же
никто не может предсказать, сколько очков выпадет при бросании игральной
кости. (Игральная кость | кубик; на каждой грани выбито точками число
очков, от единицы до шестёрки.) Но опыт показывает, что в длинной серии из
𝑁 бросаний все цифры встречаются примерно поровну (каждая | примерно
𝑁/6 раз).
1 В игре бросают кубик; выигрышем считается выпадение пятёрки или
шестёрки. Сколько (примерно) выигрышей будет в длинной серии из 𝑁 игр?
◁ На долю каждой цифры приходится примерно одна шестая всех бро-
саний. Значит, на долю выигрышных цифр (пятёрка и шестёрка) придётся
примерно две шестых, то есть 1/3 всех бросаний. ▷
Как говорят, вероятность выигрыша в этой игре равна 1/3 («шанс вы-
играть | один из трёх», «мы выигрываем примерно каждый третий раз» и
т. п.)
2 В мешке лежит десять бумажек с надписями 0, 1, 2, . . . , 9. Из меш-
ка наудачу вытаскивают одну из бумажек, смотрят на число и возвращают
обратно. (После этого бумажки перемешивают и опыт повторяют.) Считая,
что все цифры будут встречаться примерно одинаково часто, определите, в
какой доле случаев будет вытащено:
(а) чётное число;
(б) число, делящееся на 3;
(в) число, делящееся и на 2, и на 3;
(г) число, не делящееся ни на 2, ни на 3.
◁ На каждую из десяти цифр приходится примерно 10% (одна десятая)
всех опытов. Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Их пять, значит, на их долю при-
дётся примерно 50% = 5/10 = 1/2 случаев. На три делятся цифры 0, 3, 6, 9.
На их долю придётся 40% = 4/10 = 2/5 случаев. И на два, и на три де-
лятся только две цифры: 0 и 6. На их долю приходится 20% = 2/10 = 1/5
случаев. Наконец, не делятся ни на 2, ни на 3 такие цифры: 1, 5, 7. На их
долю приходится 30% = 3/10 всех случаев. ▷
2. Математическое определение вероятности
Приведённые задачи следовали такой схеме. Рассматривается опыт, кото-
рый может иметь несколько исходов. Например, бросание монеты имеет два
3

исхода (орёл и решка), бросание кубика имеет шесть исходов (цифры от 1
до 6), вытаскивание бумажки с цифрой имеет десять исходов (от 0 до 9).
Некоторые из этих исходов объявлены благоприятными. (В примерах:
выпала пятёрка или шестёрка; вынута цифра, делящаяся на 3, и т. п.)
Мы предполагаем, что в длинной серии опытов все исходы встречаются
примерно поровну. Исходя из этого, мы подсчитываем, в какой доле случаев
(примерно) исход будет благоприятным. Пусть всего исходов 𝑛, а благопри-
ятных исходов 𝑘. Тогда на каждый исход приходится примерно 1/𝑛 всех
случаев, и благоприятный исход будет примерно в 𝑘/𝑛 всех случаев.
Определение. Вероятностью называется отношение числа благоприят-
ных исходов к общему числу равновозможных исходов.
Вероятность любого события заключена между нулём и единицей. Веро-
ятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное
событие). Вероятность равна единице, если все исходы благоприятны (до-
стоверное событие).
3. Подсчёты
3 Бросают два кубика: красный и синий. Считая все комбинации цифр
на красном и синем кубиках равновозможными, определите вероятность того,
что цифры на красном и синем кубиках будут одинаковы.
◁ Подсчитаем общее количество исходов (комбинаций цифр). На красном
кубике может быть любая цифра от одного до шести. Для каждого из этих
вариантов есть шесть вариантов цифры на синем кубике. Скажем, если на
красном кубике выпала тройка, то возможны варианты
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(мы записываем сначала цифру на красном кубике, а потом на синем). Всего,
таким образом, будет 6
×
6 = 36 комбинаций (исходов). Их можно изобразить
в виде таблицы:
1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6
2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6
3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6
4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6
5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6
6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6
4

По условию благоприятны из них те, где на обоих кубиках выпала одна и та
же цифра. Их шесть и стоят они на диагонали таблицы:
(1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6)
Таким образом, доля благоприятных исходов (искомая вероятность) соста-
вляет 6 из 36, то есть 1/6. ▷
4 В том же опыте (бросание красного и синего кубика) подсчитывают
сумму очков, выпавших на обоих кубиках. Какая из сумм будет наиболее
вероятной?
◁ Минимальная сумма равна 2 (две единицы), максимальная равна 12
(две шестёрки). Нужно подсчитать, во скольких из 36 случаев (см. решение
предыдущей задачи) появляется каждая из сумм от 2 до 12. Это удобно
сделать с помощью таблицы. В каждой из клеток запишем сумму очков:
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9 10
6
7
8
9 10 11
7
8
9 10 11 12
Видно, что суммы идут по диагоналям, и чаще всех (6 раз из 36) встречается
сумма 7. Она стоит на самой длинной из диагоналей. Ответ: наибольшую
вероятность имеет сумма 7. ▷
5 Какая сумма (в предыдущей задаче) имеет большую вероятность: 3
или 10? во сколько раз?
◁ Сумма 3 встречается в таблице два раза (на красном кубике одно очко,
на синем два | или наоборот). Вероятность её будет 2/36. Сумма 10 встре-
чается три раза (4 + 6, 5 + 5 и 6 + 4), её вероятность будет 3/36. Поэтому
вероятность суммы 10 в полтора раза больше, чем вероятность суммы 3. ▷
Ответ к этой задаче не означает, что в конкретной серии опытов сумма
10 обязательно встретится чаще, чем сумма 3. Мы утверждаем лишь, что
если в серии опытов все 36 вариантов встречаются примерно поровну, то
вариантов с суммой 10 будет примерно в полтора раза больше, чем вариантов
с суммой 3.
То, что в длинных сериях опытов так обычно и бывает | факт экспери-
ментальный, не относящийся к математике.
6 Наудачу выбирают число от 1 до 20. Считая все двадцать вариантов
равновозможными, определите вероятность того, что выбранное число:
5

(а) чётно;
(б) делится на 3;
(в) делится и на 2, и на 3;
(г) не делится ни на 2, ни на 3;
(д) имеет сумму цифр 9;
(е) имеет сумму цифр, делящуюся на 3.
4. Подсчёты: продолжение
В следующих задачах число исходов довольно велико, и выписать все их
в таблицу затруднительно. Но можно их подсчитать, не выписывая.
7 Опыт состоит в одновременном бросании четырёх кубиков (красного,
синего, зелёного и жёлтого). Найдите вероятность того, что
(а) выпадут четыре шестёрки;
(б) выпадут три шестёрки и одна пятёрка;
(в) выпадут две шестёрки и две пятёрки;
(г) выпадет ровно одна шестёрка;
(д) выпадут четыре разные цифры;
(е) не выпадет ни одной шестёрки;
(ё) выпадет хотя бы одна шестёрка.
◁ Прежде всего нужно понять, какие в этом опыте возможны исходы и
сколько их. Для этого надо научиться их записывать. Договоримся о порядке
цветов (скажем, красный, жёлтый, зелёный, синий | как в радуге), в кото-
ром будем записывать цифры на кубиках. Тогда исход опыта записывается в
виде четырёх чисел от одного до шести. Скажем, запись (5, 1, 6, 5) означает,
что на красном кубике выпала пятёрка, на жёлтом единица, на зелёном ше-
стёрка и на синем пятёрка. Выпадение четырёх шестёрок записывается как
(6, 6, 6, 6) и т. д.
Посчитаем общее число исходов. На первом месте может стоять любая
из шести цифр. Каждая из них сочетается с шестью цифрами на втором
месте. Получается 6
×
6 комбинаций, которые могут стоять на первых двух
местах. Каждая из комбинаций сочетается с шестью цифрами на третьем
месте. Получается 6
×
6
×
6 комбинаций на первых трёх местах. Добавляя к
каждой из них одну из шести цифр на четвёртом месте, получим 6
×
6
×
6
×
6 =
= 6
4
исходов.
Остаётся подсчитать количество благоприятных исходов для каждого из
пунктов.
(а) Благоприятный исход один: (6, 6, 6, 6). Вероятность 1/6
4
.
6

(б) Благоприятных исходов четыре: пятёрка может стоять на любом из
четырёх мест. Вот эти исходы:
(5, 6, 6, 6) (6, 5, 6, 6) (6, 6, 5, 6) (6, 6, 6, 5)
Вероятность: 4/6
4
.
(в) Здесь нужно выбрать два места из четырёх, на которых должны стоять
пятёрки. Это можно сделать шестью способами. В самом деле, если на первое
место поставить пятёрку, то для второй пятёрки остаётся три возможности.
Получается три варианта:
(5, 5, 6, 6) (5, 6, 5, 6) (5, 6, 6, 5)
Если на первое место поставить шестёрку, то на три оставшихся места пре-
тендуют две пятёрки и одна шестёрка, и возникают ещё три варианта:
(6, 5, 5, 6) (6, 5, 6, 5) (6, 6, 5, 5)
Итак, всего вариантов 6, и вероятность равна 6/6
4
= 1/6
3
.
(г) Надо подсчитать число вариантов, где ровно одна шестёрка. Эта ше-
стёрка может стоять на любом из четырёх мест, поэтому все варианты делят-
ся на четыре группы. Подсчитаем число вариантов в каждой группе. Пусть,
скажем, шестёрка стоит на первом месте. Тогда на три оставшихся места
можно поставить любую из пяти цифр (кроме шестёрки), так что есть 5
3
вариантов. Общее число вариантов: 4
·
5
3
. Вероятность: 4
·
5
3
/6
4
.
(д) Подсчитаем число вариантов, где все четыре цифры разные. На пер-
вом месте может стоять любая из шести цифр. В каждом из шести случаев
для второго места есть пять возможностей (кроме той цифры, что на пер-
вом месте). Каждая из этих возможностей сочетается с четырьмя цифрами на
третьем месте (кроме тех двух, что уже использованы), и затем для послед-
него места есть три возможности. Число вариантов: 6
·
5
·
4
·
3. Вероятность:
6
·
5
·
4
·
3/6
4
= 5/18.
(е) На каждом из четырёх мест может стоять любая из пяти цифр (кроме
шестёрки), поэтому число вариантов 5
4
. Вероятность: 5
4
/6
4
= (5/6)
4
.
(ё) Здесь проще всего заметить, что все исходы делятся на две категории:
где есть хоть одна шестёрка и где нет ни одной шестёрки. Исходы второй
категории мы уже подсчитали, их 5
4
. Поэтому в первой категории 6
4
−
5
4
.
Вероятность: (6
4
−
5
4
)/6
4
= 1
−
(5/6)
4
. ▷
8 В очередь в случайном порядке становятся четыре человека А, Б,
В, Г. Считая все варианты их расположения равновозможными, определите
вероятность следующих событий:
(а) А будет первым в очереди;
7

(б) Б не будет последним в очереди;
(в) А будет стоять раньше Б;
(г) А будет стоять рядом с Б (до или после него);
(д) А будет стоять раньше Б и раньше В;
(е) А будет стоять раньше Б, а В будет стоять раньше Г.
◁ Подсчитаем общее число исходов. На первом месте в очереди может
стоять любой из четырёх человек. Таким образом, все исходы делятся на
четыре группы. Сколько исходов в одной группе? Пусть на первом месте
стоит, скажем, А. Тогда на втором месте может стоять любой из трёх человек
(Б, В, Г) и эта группа делится на три подгруппы (в соответствии с тем, кто
стоит вторым). В каждой из подгрупп уже известно, кто стоит на первом и
втором местах. Для третьего места остаются две возможности, а четвёртый
определяется однозначно. Таким образом, в каждой подгруппе 2 исхода, в
каждой группе 6 исходов, а всего 24 исхода. Несложно составить список всех
исходов, но интересующие нас вероятности можно найти и без этого.
(а) Исходы, где на первом месте стоит А, образуют одну из рассмотрен-
ных нами групп. Таких исходов 6, и вероятность равна 6/24 = 1/4. (Четыре
равновероятные группы.)
(б) На последнем месте может стоять любой из четырёх человек. Ко-
личество вариантов не зависит от того, как именно его зовут. Поэтому все
четыре возможности равновероятны и каждая содержит четверть исходов.
Благоприятными являются три возможности из четырёх, вероятность 3/4
(то есть 18 из 24 исходов).
(в) Разделим все исходы на две группы: в первой А стоит раньше Б в
очереди, во второй Б стоит раньше А. Ясно, что имена не важны, поэтому
в группах одно и то же число исходов (половина). Вероятность равна 1/2.
(г) Будем рассматривать стоящих рядом А и Б как одну команду. Тогда
эта команда может стоять на первом месте (перед В и Г), на втором месте
(между В и Г) или на последнем месте (после В и Г). В каждом случае есть
два варианта расположения В и Г (кто из них раньше), и для каждого из них
есть два варианта расположения А и Б внутри команды. Всего получается
3
×
2
×
2 = 12 исходов, где A и Б стоят рядом. Вероятность 1/2.
(д) Посмотрим, кто из трёх человек А, Б и В стоит раньше других (вре-
менно не обращая внимания на Г). Все исходы разбиваются на три группы, в
которых поровну элементов. Благоприятными будут исходы одной группы,
поэтому вероятность равна 1/3.
(е) Как мы уже говорили, все исходы делятся на две группы: (1) А
стоит раньше Б и (2) Б стоит раньше A. Каждая из групп делится на две
подгруппы: В раньше Г или Г раньше В. Все подгруппы одинаковы (мы
можем переименовать В и Г, не затрагивая А и Б). Поэтому благоприятные
исходы (А раньше Б и одновременно В раньше Г) составляют одну четверть.▷
8

Это решение использует соображения симметрии (переименование не ме-
няет числа исходов). Если оно вызывает сомнения, полезно выписать все 24
исхода и посмотреть, как выглядит описанное деление на группы.
9 Буквы в слове МИША смешали и затем выложили в случайном по-
рядке (все перестановки равновероятны). Какова вероятность, что получится
то же самое слово? Тот же вопрос для слов МАША и МАМА.
10 В задаче про четыре кубика найдите вероятность того, что цифры
будут идти в убывающем порядке (на жёлтом меньше, чем на красном, на
зелёном ещё меньше, чем на жёлтом, на синем ещё меньше, чем на зелёном.
[Указание. Из каждой такой комбинации перестановками можно получить 24
варианта, где все цифры различны.]
11 В мешке лежат карточки с буквами А, Б, В, а также с цифрами 1, 2,
3, 4, 5 (всего 8 карточек). Их по очереди вынимают из мешка, пока не вынут
все. Какова вероятность того, что буквы будут появляться в порядке алфа-
вита, а цифры | в порядке возрастания? (Расположение букв относительно
цифр может быть любым.)
12 Расписание турнира 8 команд в 3 тура по олимпийской системе (ко-
манды делятся на пары, ничьих нет, проигравший выбывает) заполняется
жеребьёвкой (команды случайным образом помещаются в нижнюю строку
турнирной таблицы). Будем считать, что каждая команда имеет определён-
ную «силу», что силы всех команд различны и в любой встрече побеждает
сильнейшая команда. (Это гарантирует, что победителем турнира окажет-
ся сильнейшая команда.) Какова вероятность, что в финале встретятся две
сильнейшие команды? Какова вероятность, что к тому же и третье и че-
твёртое места (определяемые встречей проигравших в полуфиналах) будут
определены правильно?
13 Маша идёт на день рождения, где будут десять ребят и десять де-
вочек (включая Машу). Они садятся за круглый стол в случайном порядке.
Какова вероятность, что справа от Маши будет сидеть мальчик? что оба её
соседа будут мальчики?
14 Автомобильный номер содержит три цифры (и буквы, на которые
мы сейчас не обращаем внимания). Считая все варианты от 000 до 999 рав-
новозможными, найдите вероятность того, что выбранный наудачу номер
(а) состоит только из единиц (равен 111);
(б) состоит только из единиц и двоек;
(в) начинается с пятёрки;
(г) кончается на девятку;
(д) начинается с пятёрки и кончается на девятку;
(е) состоит из трёх одинаковых цифр;
9

(ё) не содержит единиц;
(ж) содержит хотя бы одну единицу;
(з) состоит из трёх различных цифр;
(и) включает в себя хотя бы две одинаковые цифры;
(й) состоит из трёх различных цифр, идущих в порядке возрастания;
(к) имеет сумму цифр 2;
(л) имеет сумму цифр 25;
(м) имеет сумму цифр 9;
(н) содержит ровно две девятки;
(о) содержит цифру, меньшую 4;
(п) не содержит цифр, меньших 4;
(р) имеет первую цифру, большую третьей.
15 Какова вероятность того, что при сдаче 36 карт (по 9 каждой масти)
четырём игрокам (каждый получает по 9 карт, все возможные расположения
карт в колоде равновероятны) каждый игрок получит все карты какой-то
одной масти?
[Указание. Всего порядков карт 36! = 36
·
35
·
34
·
. . .
·
2
·
1; вариантов,
когда у каждого игрока своя масть, имеется 4!9!9!9!9! (первый сомножитель
соответствует распределению мастей по игрокам, остальные | порядку по-
лучения карт каждым игроком).]
5. Математика и жизнь
Математика ничего не говорит о том, действительно ли данный играль-
ный кубик является «честным» (все грани выпадают примерно поровну) и не
жульничают ли организаторы конкретной лотереи. Мы предполагаем исхо-
ды равновозможными | и подсчитываем долю благоприятных. Этот подсчёт
не будет иметь никакого практического смысла, если предположение о рав-
новозможности неверно.
Как выбрать в реальной ситуации множество равновозможных исходов,
вопрос непростой. В качестве примера рассмотрим такую задачу. Одновре-
менно бросают две одинаковые монеты. Найдём вероятность того, что они
выпадут по-разному (одна орлом, другая | решкой).
Предложим два решения для этой задачи.
1. В этой задаче возможны три исхода: (1) два орла; (2) две решки;
(3) орёл и решка. Благоприятный из них один, вероятность 1/3.
2. Назовём одну из монет первой, а другую второй, и будем записывать
результат бросания сначала первой, а затем второй монеты. Тогда есть четы-
ре варианта: орёл { орёл, орёл { решка, решка { орёл, решка { решка. Из них
благоприятны два (второй и третий). Вероятность 2/4 = 1/2.
10

Какое из этих решений правильно?
Этот вопрос, строго говоря, не математический, а экспериментальный.
Оказывается, что ближе к реальности второй ответ, если речь идёт о мо-
нетах. Но это не математическая теорема, а свойство окружающей действи-
тельности. (И если речь идёт не о монетах, а об элементарных частицах, то
ответ может быть и другим.)
Аналогичным образом в одной из предыдущих задач мы предполагали
все наборы цифр от 000 до 999 в автомобильном номере равновозможны-
ми. Насколько это предположение соответствует действительности, зависит
от принятой системы выдачи номеров. Этот вопрос не к математикам, а к
госавтоинспекции (или как она сейчас называется).
Про то, что не следует по умолчанию считать исходы равновероятными,
есть даже анекдот: почему вероятность встретить динозавра равна 1/2 (либо
встретишь, либо нет).
6. Формула суммы вероятностей
16 В мешке с кубиками есть белые, жёлтые и чёрные кубики. При этом
белых 10% (от общего числа кубиков), а жёлтых 15%. Какова доля кубиков
светлых тонов (белых или жёлтых)? доля чёрных кубиков?
◁ Доля светлых кубиков составляет 10% + 15% = 25%. Остальные 75%
кубиков чёрные.
Формально: если всего в мешке 𝑁 кубиков, то белых из них 0,1𝑁 , а
жёлтых 0,15𝑁 . Всего светлых 0,1𝑁 + 0,15𝑁 = 0,25𝑁 , то есть 25% общего
числа. Остальные кубики чёрные, их 𝑁
−
0,25𝑁 = 0,75𝑁 , то есть 75% от
общего числа. ▷
В терминах вероятностей ту же задачу можно изложить так. В мешке есть
белые, жёлтые и чёрные кубики. Мы вытаскиваем из мешка один кубик нау-
дачу (считая все кубики в мешке равновозможными). Вероятность вытащить
белый кубик равна 0,1; вероятность вытащить жёлтый кубик равна 0,15. Зная
это, мы заключаем, что вероятность вытащить светлый (белый или жёлтый)
кубик равна 0,1 + 0,15 = 0,25. Поскольку все остальные кубики чёрные, то
вероятность вытащить чёрный кубик равна 1
−
0,25 = 0,75.
𝐴
𝐵
все исходы
Вообще, если два события несовместны, то вероят-
ность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна
сумме их вероятностей (формула суммы вероятностей).
Здесь под несовместными событиями понимаются со-
бытия, которые не могут произойти одновременно (ис-
ключают друг друга). Суммой несовместных событий 𝐴
11

и 𝐵 называют событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из со-
бытий 𝐴 и 𝐵 . В нашем примере:
•
событие 𝐴 | вытаскивание белого кубика;
•
событие 𝐵 | вытаскивание жёлтого кубика;
•
сумма 𝐴 + 𝐵 | вытаскивание светлого (белого или жёлтого) кубика.
Если изобразить все исходы какого-то опыта символически в виде обла-
сти на плоскости, то несовместные события | это непересекающиеся куски
этой области. Для двух несовместных событий благоприятные исходы скла-
дываются, откуда и следует формула для суммы вероятностей.
𝐴
𝐴
все исходы
Два события называются противоположными, если
всегда происходит ровно одно из двух. Например, вытас-
кивание светлого кубика и вытаскивание чёрного кубика
в описанном опыте были противоположными событиями.
Одно из двух противоположных событий называется от-
рицанием другого. Событие, противоположное к 𝐴, обо-
значают 𝐴.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
(Все исходы делятся на две группы | благоприятные для события и для
противоположного к нему; в сумме получаются все исходы, поэтому сумма
вероятностей равна единице.)
Противоположные события несовместны друг с другом. Не всякие несо-
вместные события противоположны. Например, в нашем примере события
«кубик белый» и «кубик жёлтый» несовместны (кубик не может быть од-
новременно белым и жёлтым), но не противоположны (кубик может быть
чёрным, и тогда не происходит ни одно из событий).
Мы видели на примерах, что иногда проще найти вероятность противопо-
ложного события. Например, мы сначала нашли вероятность того, что при
бросании четырёх кубиков не выпадет ни одной шестёрки. Она оказалось
равной (5/6)
4
. Отсюда можно найти вероятность отрицания этого события
(выпадет хотя бы одна шестёрка). Эта вероятность равна 1
−
(5/6)
4
.
17 Наудачу выбирается число 𝑛 от 1 до 100. Рассмотрим такие события:
(а) число 𝑛 чётно;
(б) число 𝑛 нечётно;
(в) число 𝑛 делится на 4;
(г) число 𝑛 даёт остаток 2 при делении на 4;
(д) число 𝑛 даёт остаток 1 при делении на 4.
Какие из этих событий несовместны? (Укажите все пары несовместных
событий.)
12

7. Логические задачи
Чтобы не путаться, рассуждая о различных событиях и их комбинациях
(сумме, отрицании и т. п.), нужна некоторая тренировка. Вот несколько задач
для такой тренировки.
Верные и неверные утверждения
18 Задумано некоторое число 𝑥. Оказалось, что среди пяти утверждений
𝑥 > 10, 𝑥 > 20, 𝑥 > 30, 𝑥 > 40 и 𝑥 > 50 есть три верных и два неверных.
Какие из утверждений верны?
19 Учитель сказал об оценках за контрольную: Сергеев получил не 5,
Васильев получил не 4, Алексеев получил 4. При этом учитель ошибся два
раза. Какую оценку получил каждый из учеников, если известно, что один
из них получил 3, другой | 4, а третий | 5?
20 На столе лежат 4 карточки, на верхней стороне которых написано
A, Б, 4, 5. Какое наименьшее число карточек нужно перевернуть, чтобы
убедиться в истинности утверждения «Если на одной стороне | гласная
буква, то на другой | чётное число»? Какие именно?
Отрицания
Поучительно сыграть в такую игру: один из игроков формулирует ка-
кое-то утверждение, а другой должен сформулировать его отрицание (про-
тивоположное утверждение).
Например, если один говорит «число 𝑥 больше или равно числа 𝑦», то
второй может сказать «число 𝑥 меньше числа 𝑦». В самом деле, есть три
возможности: (а) 𝑥 > 𝑦, (б) 𝑥 = 𝑦 и (в) 𝑥 < 𝑦. Первый игрок говорит, что
случилось (а) или (б). То, что он неправ, означает, что случилось (в).
Если первый игрок говорит, что «все ученики 8а класса знают английский
язык», то второй может сказать «не все ученики 8а класса знают английский
язык», или «в 8а классе есть ученик, не знающий английский язык».
Конечно, второй игрок всегда может сказать: «неверно, что. . . » (и дальше
буквально повторить утверждение первого), но постарайтесь по возможности
формулировать отрицание конкретно, не прибегая к этому приёму.
21 Сформулируйте отрицания следующих утверждений:
(а) число 𝑥 больше числа 𝑦;
(б) среди чисел 𝑥, 𝑦, 𝑧 есть хотя бы два одинаковых;
(в) все дома на правой стороне улицы имеют чётные номера;
(г) все ученики класса, знающие английский язык, умеют складывать
дроби;
(д) Коля получил пятёрки за все контрольные;
(е) любой ученик 10а класса выше по росту, чем любой ученик 8б класса.
(ё) некоторый ученик 10а выше всех учеников 8б;
13

(ж) некоторый ученик 10a выше некоторого ученика 8б;
(з) все вороны чёрные;
(и) на каждой странице этой книги есть хотя бы одна опечатка;
(й) на каждой странице любой книги есть хотя бы одна опечатка;
(к) числа 𝑎, 𝑏 и 𝑐 различны и идут в возрастающем порядке (𝑎 < 𝑏 < 𝑐).
8. Формула включений и исключений
Предположим, что среди учеников класса 15% знают французский язык
и 20% знают немецкий язык. Какова доля учеников, знающих хотя бы один
из этих двух языков?
В этой задаче ответ 35% (сумма 15% и 20%) не всегда верен. Дело в том,
что некоторые ученики класса могут знать и тот, и другой язык, поэтому
при сложении 15% и 20% мы учтём их дважды. Так что ответ зависит от
того, какова доля полиглотов, знающих оба языка, и эта доля должна быть
указана в условии задачи.
22 Среди учеников школы 15% знают французский язык и 20% знают
немецкий язык. Доля учеников, знающих оба этих языка, составляет 5%.
Какова доля учеников, знающих хотя бы один из этих двух языков?
французский
немецкий
10%
15%
5%
все ученики
◁ В число 15% знающих французский
язык входят 5% знающих оба языка. Поэто-
му остаётся 10% учеников, знающих фран-
цузский, но не знающих немецкий. Анало-
гичным образом 20% знающих немецкий де-
лятся на 5% знающих оба языка и 15% знаю-
щих немецкий, но не французский. Остаёт-
ся сложить 10% (только французский), 5%
(оба) и 15% (только немецкий), получится 30% учеников, знающих хотя бы
один из двух языков. ▷
Можно объяснить решение и так: надо сложить 15% и 20%, а затем вы-
честь посчитанные дважды 5%. Получается
15% + 20%
−
5% = 30%.
23 Сколько чисел от 1 до 100 делятся на 2? делятся на 3? делятся хотя
бы на одно из этих двух чисел?
◁ На 2 делится каждое второе число (1 не делится, 2 делится, 3 не
делится, 4 делится и так далее), поэтому останется половина чисел (по
одному в каждой паре), то есть 50 чисел.
14

На 3 делится по одному из трёх (в тройке 1, 2, 3 делится 3, в тройке
4, 5, 6 делится 6 и так далее). Всего есть 33 тройки (99 чисел от 1 до 99) и
число 100, которое не делится. Получатся 33 числа, делящихся на 3.
Чтобы найти количество чисел, делящихся на 2 или 3, недостаточно сло-
жить 50 и 33, поскольку мы тогда подсчитаем дважды числа, делящиеся и
на 2, и на 3. Чтобы получить правильный ответ, надо вычесть количество
таких «дважды делящихся» чисел.
Это будут числа, делящиеся на 6. В каждой шестёрке последовательно
идущих чисел (от 1 до 6, от 7 до 12, от 13 до 18 и т. д.) такое число одно.
Оно идёт последним в шестёрке. Поскольку 100 = 16
×
6 + 4, имеется 16
полных шестёрок и одна неполная (в которой нет двух последних чисел),
поэтому есть ровно 16 чисел, делящихся и на 2, и на 3.
Ответ: 50 + 33
−
16 = 67 чисел. ▷
24 Известно, что ученики класса, имеющие двойки по алгебре, соста-
вляют 25%, а ученики, имеющие двойки по геометрии, составляют 15%.
Сколько учеников имеют двойки и по алгебре, и по геометрии, если учени-
ки, не имеющие двоек ни по одному из предметов, составляют 70%?
25 В классе 80% не пьют, 70% не курят и 60% учатся без троек. Дока-
жите, что в нём есть хотя бы один образцовый ученик (не пьёт, не курит и
учится без троек). Какова минимальная возможная доля образцовых учени-
ков? Какова максимально возможная их доля?
𝐴
𝐵
𝐴𝐵
Те же подсчёты можно перевести на язык теории
вероятностей. (Ничего по существу нового при этом не
появляется, мы просто привыкаем к этому языку.)
Пусть имеются два события 𝐴 и 𝐵 . Рассмотрим сум-
му этих событий: её наступление означает, что произо-
шло хотя бы одно из событий 𝐴 и 𝐵 . Если события 𝐴
и 𝐵 несовместны, то вероятность их суммы равна сум-
ме вероятностей. Но если они совместны (могут произойти одновременно),
то это уже не так. Надо внести поправку и вычесть вероятность того, что
произойдут оба события сразу:
Pr[𝐴 + 𝐵 ] = Pr[𝐴] + Pr[𝐵 ]
−
Pr[𝐴𝐵 ].
Здесь буквы «Pr» обозначают вероятность (от латинского слова probabilitas),
𝐴 +𝐵 обозначает сумму событий 𝐴 и 𝐵 , а 𝐴𝐵 обозначает произведение этих
событий, состоящее в том, что произошли оба события 𝐴 и 𝐵 .
26 Напишите формулу для вероятности суммы трёх событий 𝐴 +𝐵 +𝐶
(произошло хотя бы одно из трёх), если известны вероятности каждого из
событий 𝐴, 𝐵 , 𝐶 , вероятности их попарных произведений 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 ,
15

а также вероятность их тройного произведения 𝐴𝐵𝐶 (произошли все три
события).
27 Бросают четыре игральные кости (красную, жёлтую, зелёную и си-
нюю). Пусть 𝐴 | событие «на красной кости выпала шестёрка», а 𝐵 |
событие «на синей кости выпало чётное число очков». Найдите вероятность
событий 𝐴, 𝐵 , 𝐴 + 𝐵 и 𝐴𝐵 .
9. Условная вероятность
28 Среди учеников школы 15% знают французский язык и 20% знают
немецкий язык. Доля учеников, знающих оба этих языка, составляет 5%.
Какова доля учеников, знающих французский язык, среди учеников, знающих
немецкий язык?
◁ Обратите внимание на постановку вопроса. Сейчас нас интересуют
лишь ученики, знающие немецкий язык, и доля знающих французский среди
них. Таким образом, нам надо узнать, какую часть составляют 5% знающих
оба языка среди 20% знающих немецкий язык. Ясно, что это одна четверть,
или 25%. ▷
Эти подсчёты можно пересказать на языке вероятностей. Вероятность
того, что случайно выбранный ученик класса знает французский язык, со-
ставляет 0,15. Вероятность знания немецкого составляет 0,2, а вероятность
знания обоих языков составляет 0,05. Искомая доля есть отношение вероят-
ностей 0,05/0,2 = 0,25.
29 Какова (в той же ситуации) доля учеников, знающих немецкий язык,
среди учеников, знающих французский язык?
30 Какова (в той же ситуации) доля учеников, знающих французский
язык, среди учеников, не знающих немецкого?
Мы подсчитали, что доля знающих французский среди знающих немецкий
составляет одну четверть. На языке теории вероятностей эта доля называется
условной вероятностью события «знать французский» при условии собы-
тия «знать немецкий». Чтобы найти эту условную вероятность, мы делили
долю знающих оба языка на долю знающих немецкий язык.
Общее определение: условной вероятностью события 𝐴 при условии
события 𝐵 называется отношение вероятностей
Pr[𝐴𝐵 ]
Pr[𝐵 ]
.
Это отношение обозначается Pr[𝐴
|
𝐵 ] (слева от черты ставится интересующее
нас событие, а справа | условие).
16

Пусть всего есть 𝑛 равновозможных исходов, из них 𝑘 исходов благопри-
ятны для события 𝐵 , а 𝑚 исходов благоприятны и для 𝐴, и для 𝐵 . Тогда
вероятность события 𝐵 равна 𝑘/𝑛, а вероятность события 𝐴𝐵 равна 𝑚/𝑛.
При этом отношение из определения условной вероятности равно
𝑚/𝑛
𝑘/𝑛
=
𝑚
𝑘
,
то есть доле 𝐴𝐵 -благоприятных исходов среди 𝐵 -благоприятных. Можно
сказать и так: мы забываем об исходах, неблагоприятных для 𝐵 , а среди
оставшихся считаем долю исходов, благоприятных для 𝐴.
Условная вероятность Pr[𝐴
|
𝐵 ] имеет смысл, если Pr[𝐵 ] > 0 (иначе зна-
менатель обращается в нуль, числитель тоже обращается в нуль и нельзя
сказать, какую долю составляют нуль исходов из нуля).
Определение условной вероятности можно переписать так:
Pr[𝐴𝐵 ] = Pr[𝐵 ]
·
Pr[𝐴
|
𝐵 ].
Словами: чтобы найти вероятность того, что произойдут оба события
𝐴 и 𝐵 , надо умножить вероятность события 𝐵 на условную вероятность
события 𝐴 при известном 𝐵 .
31 В классе 50% мальчиков; среди мальчиков 60% любят мороженое.
Какова доля мальчиков, любящих мороженое, среди учеников класса? Как
переформулировать этот вопрос в терминах вероятностей?
32 Бросают кубик; все шесть исходов (от одного до шести очков) рав-
новозможны. Какова условная вероятность события «выпадет чётное число
очков» при условии события «выпало не менее четырёх очков»? при условии
события «выпало не менее трёх очков»? при условии события «не выпала
шестёрка»?
◁ Из шести исходов 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть три, где выпало не менее четырёх
очков (4, 5, 6). В двух их них число очков чётно (4 и 6). Поэтому условная
вероятность
Pr[число очков чётно
|
выпало не менее четырёх очков]
равна 2/3 (два случая из трёх). Формально говоря, надо поделить веро-
ятность произведения событий, то есть события «число очков чётно и не
меньше четырёх» (два исхода из шести, вероятность 2/6) на вероятность со-
бытия «число очков не меньше трёх» (три исхода из шести, вероятность 3/6)
и получить
2/6
3/6
=
2
3
.
Аналогичным образом отвечаем и на другие вопросы: вероятность чёт-
ного числа очков при условии, что их не меньше трёх, составляет 1/2 (два
17

случая 4, 6 из четырёх 3, 4, 5, 6). Вероятность того, что выпало чётное число
очков при условии, что не выпало шестёрки, составляет 2/5 (два исхода 2, 4
среди пяти исходов 1, 2, 3, 4, 5). ▷
33 Четыре человека А, Б, В, Г становятся в очередь в случайном по-
рядке. Найдите
(а) условную вероятность того, что A первый, если Б последний;
(б) условную вероятность того, что A первый, если А не последний;
(в) условную вероятность того, что А первый, если Б не последний;
(г) условную вероятность того, что А первый, если Б стоит в очереди
позже А;
(д) условную вероятность того, что А стоит в очереди раньше Б, если
известно, что А раньше В.
34 Какова вероятность того, что случайно взятое число от 1 до 100
делится на 2, при условии, что оно делится на 3?
35 «Двое играют в "бой яиц\. Перед ними стоит корзина с яйцами. Они
наугад берут по яйцу и ударяют их носами. Разбитое яйцо выбрасывается
и побеждённый берёт новое, а победитель раунда сохраняет своё яйцо для
следующего раунда (предполагается, что победившее яйцо сохранило свою
прочность и что исход каждого раунда зависит только от относительного
качества яиц). Спрашивается: какова вероятность победы в (𝑛 + 1)-м ра-
унде после победы в предыдущих? [Ответ: 1
−
1/(𝑛 + 2)]» (А. Д. Сахаров,
Воспоминания.
1