А. Шень Вероятность: примеры и задачи Издание четвёртое, стереотипное Москва

Часть 2, глава 29.)
36 Двое игроков играют матч из 20 партий; выигрывает тот, кто первым
наберёт 10 очков (за победу даётся одно очко, за проигрыш ноль, ничьих не
бывает). Считая все варианты (любые комбинации из двадцати выигрышей и
проигрышей) равновероятными, найдите вероятность того, что первый игрок
выиграет матч, если после 17 игр счёт был 9 : 8 в его пользу. Тот же вопрос,
если после 15 игр счёт был 8 : 7 в его пользу.
37 Сформулируйте и докажите правило сложения условных вероятно-
стей для несовместных событий 𝐴 и 𝐵 при условии 𝐶 .
38 Приведите примеры, в которых условная вероятность Pr[𝐴
|
𝐵 ] боль-
ше вероятности Pr[𝐴], меньше её, а также равна ей.
39 Король предлагает узнику разложить десять белых и десять чёр-
ных шаров по двум одинаковым коробкам (надо использовать все шары; в
1
Андрей Дмитриевич Сахаров (1921 { 1989) | выдающийся физик, один из разработчиков
советской водородной бомбы, академик АН СССР, лауреат Сталинской и Ленинской премий,
трижды Герой Социалистического Труда и др.; впоследствии советская власть лишила его
всех государственных наград и сослала в г. Горький (Нижний Новгород) за правозащитную
деятельность. Там он и написал цитируемые воспоминания.
18

каждой коробке должен быть хотя бы один шар). После этого король вы-
бирает случайный шар из случайной коробки; если шар чёрный, то узника
казнят, если белый | то отпускают. Как нужно разложить шары, чтобы
вероятность выжить была максимальной?
Условие этой задачи предполагает, что каждая из коробок может быть
выбрана с вероятностью 1/2, а условная вероятность выбрать белый шар
при условии, что выбрана данная коробка, равна доле белых шаров в этой
коробке.
Понятие условной вероятности может показаться трудным, но по суще-
ству всё сводится к сравнению долей. Поэтому полезно потренироваться на
аналогичных задачах, в которых нет речи о вероятностях. Вот несколько
таких задач:
40 Среди шахматистов каждый седьмой | музыкант, а среди музы-
кантов каждый девятый | шахматист. Кого больше | шахматистов или
музыкантов? Во сколько раз?
(Вероятностный аналог: есть два события 𝐴 и 𝐵 , при этом Pr[𝐴
|
𝐵 ] = 1/7
и Pr[𝐵
|
𝐴] = 1/9. Что больше: Pr[𝐵 ] и Pr[𝐴]? Во сколько раз?)
41 Уксусную эссенцию, содержащую 70% уксусной кислоты, разбавили
водой в пропорции 20% эссенции на 80% воды. Какова концентрация (доля
уксусной кислоты) полученного раствора?
(Вероятностный аналог: известно, что Pr[𝐴
|
𝐵 ] = 0,7 и Pr[𝐵 ] = 0,2.
Найти вероятность события 𝐴𝐵 .)
42 В какой пропорции нужно смешать 10% и 15% растворы, чтобы
получить 12% раствор?
(Вероятностный аналог: известно, что Pr[𝐴
|
𝐵 ] = 0,1, Pr[𝐴
|
не 𝐵 ] = 0,15
и Pr[𝐴] = 0,12. Найти Pr[𝐵 ].)
43 Во сколько раз доля блондинов среди голубоглазых в тьмутаракан-
ском царстве больше доли голубоглазых среди блондинов, если всего голу-
боглазых там вдвое больше, чем блондинов?
Соответствующее утверждение в терминах вероятностей называют фор-
мулой Байеса:
44 Докажите, что если 𝐴 и 𝐵 | события положительной вероятности,
то
Pr[𝐴
|
𝐵 ] = Pr[𝐴]
·
Pr[𝐵
|
𝐴]
Pr[𝐵 ]
.
Пусть, скажем, 𝐴 означает «быть больным некоторой болезнью», а 𝐵
означает положительный результат лабораторных анализов. Тогда Pr[𝐴] со-
ответствует доле больных («априорной вероятностью оказаться больным»),
19

Pr[𝐵 ] | вероятность положительного анализа (для всех) и Pr[𝐵
|
𝐴] | веро-
ятность положительного анализа (для больных). По формуле Байеса можно
найти «апостериорную вероятность быть больным» после того, как анализ
дал положительный результат.
45 Король издал указ: в целях дальнейшего укрепления развитого фе-
одализма и предотвращения распыления наследства (передаваемого по муж-
ской линии) семьям, уже имеющим мальчика, запретить заводить новых де-
тей. Как повлияет этот указ на долю мужчин в королевстве (при условии
его исполнения)?
Вот довольно неожиданная (хотя и не очень сложная) задача про услов-
ную вероятность, которая упоминалась на конференции \Computability in
Europe" в 2010 году):
46 Имеются три события 𝐴, 𝐵, 𝐶 . Докажите, что если вероятности со-
бытия «𝐴 и 𝐵 » и события «𝐴 и 𝐶 » не меньше 0,9, то и условная вероятность
события 𝐴 при условии «𝐵 и 𝐶 » не меньше 0,9.
(Здесь 0,9 можно заменить на любую границу, большую 1/2.)
10. Независимые события
Вспомним опыт, в котором мы бросали два кубика: красный и синий.
В нём имеется 36 исходов, которые мы считаем равновозможными. Вероят-
ность того, что в первый раз выпадет тройка, равна 1/6 (6 исходов из 36).
Аналогичным образом вероятность того, что во второй раз выпадет тройка,
равна 1/6.
А какова условная вероятность выпадения тройки во второй раз при усло-
вии того, что она выпала в первый раз? По определению она равна дроби
оба раза выпала тройка
первый раз выпала тройка
.
Числитель этой дроби равен 1/36 («обе тройки» | один исход из 36), знаме-
натель дроби равен 1/6 (6 исходов из 36: (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(3, 6)). Поэтому дробь равна 1/6.
Заметим, что та же самая вероятность будет и без условия (о том, что
в первый раз выпала тройка). Информация о том, что в первый раз выпала
тройка, не меняет шансов получить тройку во второй раз. Говорят, что эти
события (выпадение тройки в первый и второй раз) независимы.
Определение: событие 𝐴 не зависит от события 𝐵 , если
Pr[𝐴
|
𝐵 ] = Pr[𝐴].
20

(Словами: добавление события 𝐵 в качестве условия не меняет вероятность
события 𝐴.)
В этом определении мы предполагаем, что обе вероятности Pr[𝐴] и Pr[𝐵 ]
больше нуля.
Вспоминая определение условной вероятности, можем переписать усло-
вие независимости так:
Pr[𝐴𝐵 ]
Pr[𝐵 ]
= Pr[𝐴],
или, если перенести Pr[𝐵 ] в другую часть,
Pr[𝐴𝐵 ] = Pr[𝐴]
·
Pr[𝐵 ].
Последнее равенство называют правилом произведения: вероятность про-
изведения независимых событий равна произведению вероятностей.
Хотя оно и называется «правилом», по существу это просто определение
независимости событий.
47 Докажите, что если событие 𝐴 не зависит от события 𝐵 , то и событие
𝐵 не зависит от события 𝐴.
◁ В самом деле, в правило произведения оба события входят симметрич-
но. ▷
48 Вернёмся к примеру, где 15% учеников знали французский язык,
20% знали немецкий язык и 5% знали оба языка. Будут ли в этом примере
события «знать французский язык» и «знать немецкий язык» независимы?
◁ Нет. Как мы видели, условная вероятность знать французский язык
при условии знания немецкого (для случайно взятого ученика) была равна
1/4 = 25%, что больше вероятности знать французский язык без условия
(15%). ▷
В этом примере доля знающих немецкий язык становится больше, если
рассматривать не всех учеников класса, а ограничиться знающими француз-
ский язык.
49 Известно, что 15% учеников знают французский язык, 20% учеников
знают немецкий язык и события «знать французский» и «знать немецкий»
независимы. Какая доля учеников знает оба языка?
◁ По правилу произведения получаем 0,2
×
0,15 = 0,03. Таким образом,
в случае независимости доля знающих оба языка составит 3% (а не 5%, как
в предыдущей задаче). ▷
50 Докажите, что если событие 𝐴 независимо от события 𝐵 и Pr[𝐴] <
< 1, то и противоположное событие 𝐴 независимо от 𝐵 .
21

51 Докажите, что если событие 𝐴 независимо от события 𝐵 , то собы-
тие 𝐴 независимо и от противоположного события 𝐵 . (Предполагается, что
вероятность события 𝐵 больше нуля.)
Таким образом, если знание немецкого языка не меняет шансы знать
французский язык, то оно не меняет и шансы не знать французский язык.
Кроме того, незнание немецкого языка (в этой ситуации) не меняет шансы
знать французский язык.
52 Известно, что знание французского языка увеличивает шансы знать
немецкий язык. (Формально говоря, доля знающих немецкий язык среди зна-
ющих французский больше, чем среди всех.)
Докажите, что знание немецкого языка увеличивает шансы знать фран-
цузский язык (и во столько же раз).
Увеличивает или уменьшает незнание французского языка шансы не знать
немецкий язык?
53 Бросают два кубика: красный и синий. Будут ли события «на крас-
ном кубике выпала чётная цифра» и «на синем кубике выпала пятёрка или
шестёрка» независимы?
54 Докажите, что если при бросании двух кубиков событие 𝐴 опреде-
ляется только результатом бросания первого кубика, а событие 𝐵 | только
результатом бросания второго, то эти события независимы.
Иногда понятия условной вероятности и независимости помогают нахо-
дить вероятность событий, исходя из интуитивных соображений (и даже не
указывая явно всех возможных исходов).
55 Пусть в мешке имеется 10 шаров, из которых 6 белых и 4 чёрных.
Вытаскивая шар наугад, мы получаем чёрный шар с вероятностью 0,4. А ка-
кова вероятность того, что мы два раза подряд вытащим из этого мешка
чёрный шар?
◁ Задача поставлена некорректно: требуется уточнить, что мы делаем с
вытащенным шаром | возвращаем в мешок (так что следующий шар мы
снова вытаскиваем из мешка со всеми десятью шарами) или откладываем в
сторону (и тогда к следующему вытаскиванию остаются девять шаров).
В первом случае события «первый вытащенный шар чёрный» и «второй
вытащенный шар чёрный» независимы: вероятность получить второй раз чёр-
ный шар не зависит от того, что было в первый раз. Поэтому вероятность
дважды вытащить чёрный шар равна произведению вероятностей, то есть
0,4
·
0,4 = 0,16.
Если же мы не возвращаем чёрный шар обратно, то во второй раз име-
ем дело с мешком, где осталось три чёрных шара и шесть белых. Поэтому
условная вероятность вытащить во второй раз чёрный шар при условии то-
22

го, что в первый раз вытащен чёрный шар, равна 3/9. Поэтому вероятность
вытащить два чёрных шара равна произведению (4/10)
·
(3/9) = 2/15. ▷
56 Найдите (отдельно для двух вариантов: шары возвращаются или нет)
вероятность вытащить чёрный шар три раза подряд; четыре раза подряд; пять
раз подряд. В каком случае (с возвращениями или без) вероятность больше
и почему?
11. Независимость в природе
и в теории вероятностей
Слово «независимый» в жизни значит самое разное. Но в рамках теории
вероятностей у него очень узкий и чёткий смысл: вероятность одновремен-
ного появления двух событий равна произведению вероятностей.
Часто такого рода подсчёты позволяют оценивать связь различных явле-
ний друг с другом. Но это нужно делать очень осторожно, избегая поспеш-
ных выводов. Применяемые при этом методы составляют особую науку, на-
зываемую математической статистикой. Мы ограничимся обсуждением
нескольких примеров.
Пример 1. Пусть при испытаниях нового лекарства его получили 10%
больных определённой болезнью. При этом оказалось, что из получивших
лекарство выздоровела половина (50% от принимавших, или 5% от всех
больных), в то время как из всех больных выздоровели 60%.
Что можно сказать об эффективности нового лекарства? Кажется, что его
применение наносит лишь вред (выздоровело 50% вместо 60%). Но этот вы-
вод может оказаться и неверным. Скажем, если новое лекарство давали лишь
тяжёлым больным, с минимальными шансами на выздоровление, то резуль-
тат в 50% является очень хорошим. Имея это в виду, часто при испытаниях
новых лекарств пациентов случайным образом делят на две группы (чтобы
избежать систематических различий между пациентами обеих групп). Затем
в одной из групп применяют новое лекарство и смотрят на результаты. Более
того, часто для «чистоты эксперимента» всем пациентам дают неотличимые
таблетки (одним | с лекарством, другим | без). И ни пациентам, ни их
лечащим врачам не говорят, к какой группе они относятся, чтобы избежать
побочного эффекта | «самовнушения» и т. п.
Ещё одна проблема | на практике, конечно, точного равенства доли
выздоровевших не будет, даже если лекарство абсолютно не действует. Воз-
никает вопрос, какое различие в долях уже можно считать «статистически
значимым», а какое скорее следует списать на случайные отклонения. (Этим
тоже занимается математическая статистика. Мы вернёмся к этому вопросу
в конце брошюры, говоря о «законе больших чисел».)
23

Есть исторический пример похожей ситуации, связанный с голосованием
в нижней палате конгресса США в 1964 году (Civil Rights Act). В этой
демократы
республиканцы
северные штаты 94% (145/154) 85% (138/162)
южные штаты
7% (7/94)
0% (0/10)
всего
61% (152/248) 80% (138/172)
таблице показан процент голосовавших за этот закон (в скобках | количе-
ство голосовавших «за»/общее число). «Демократы» и «республиканцы» |
члены палаты от соответствующих партий, а «южные штаты» | это шта-
ты, выступавшие на стороне Конфедерации в гражданской войне («северные
штаты» | все остальные). Если смотреть на нижнюю строчку таблицы, то
видно, что в целом среди республиканцев больше голосовавших «за»; если
же смотреть отдельно по северным и южным штатам, то в обоих группах всё
наоборот: голосовавших «за» больше среди демократов. (Такую странную
ситуацию иногда называют «парадоксом Симпсона».)
Пример 2. В школу приехала комиссия для проверки результатов зачёта
по математике и провела повторный зачёт своими силами. Известно, что
первоначальный зачёт сдали 70% школьников, а зачёт комиссии сдали 50%
школьников. Сколько процентов школьников сдали оба зачёта, если комиссия
была действительно независимой и не учитывала результатов предыдущего
зачёта?
Формальный подсчёт, если понимать слово «независимый» в математиче-
ском смысле, даёт 50% от 70%, то есть 35%. Но ответ этот абсурден: сдача
зачёта по математике не есть лотерея, в которой выигрыш вчера не меня-
ет шансов выиграть сегодня. Можно ожидать, что сдавшие первый зачёт в
среднем лучше знают математику, чем не сдавшие, поэтому и результаты
второго зачёта у них будут лучше.
Пример 3. Метеостанция вела наблюдения в течение года и зафиксиро-
вала, в какие дни в данном населённом пункте был гром и в какие молния.
Скорее всего события «был гром» и «была молния» (для случайно выбран-
ного дня в году) будут зависимы. Однако на основании этих данных нельзя
судить о том, является ли молния причиной грома (как учит физика) или
наоборот: если событие 𝐴 зависит от 𝐵 , то и событие 𝐵 зависит от 𝐴, и
эта зависимость не позволяет судить о том, что здесь причина, а что |
следствие.
Другой похожий пример: среди обращающихся к врачу большая доля
больных, чем среди не обращающихся | но было бы опрометчиво заключить
отсюда, что врачи вредят здоровью.
Пример 4. Мы бросаем монету десять раз подряд. При этом первые де-
вять раз выпал орёл. Увеличивает ли это вероятность выпадения орла в
24

десятый раз?
«По жизни» тут можно говорить многое. Некоторые скажут, что если
уж настала полоса везения (или невезения), то так и будет продолжаться.
Другие ответят, что раз уж так долго выпадал орёл, то по справедливости
должна же наконец выпасть решка. Третьи скажут, что вообще так долго
орёл случайно выпадать не может и бросающий монету жульничает или мо-
нета несимметричная.
С точки зрения математики все эти разговоры не имеют смысла. Вычи-
сляя вероятности, мы предполагаем, что все возможные последовательности
результатов бросаний монеты равновозможны. Таких последовательностей
2
10
. Две из них начинаются на девять орлов; в одной за ними идёт ещё один
орёл, в другой решка. Поэтому условная вероятность появления решки (как
и орла) после девяти орлов равна половине.
Другое дело, что наше предположение о равновозможности всех резуль-
татов бросаний может плохо соответствовать действительности, если монета
несимметричная или если бросающий жульничает. (На практике, если ника-
ких скрытых подвохов нет, последовательные бросания монеты обычно ведут
себя как независимые, так что наше предположение близко к действительно-
сти.)
Пример 5. Ихтиологи выловили из пруда 40 рыб и пометили их. На
следующий день они снова выловили 50 рыб, из которых оказалось 18 по-
меченных. Оценить число рыб в пруду.
Эту оценку можно сделать, если считать события «быть выловленной в
первый день» и «быть выловленной во второй день» (для случайно взятой
рыбины) независимыми.
Доля помеченных рыб среди выловленных (во второй день) составляет
18/50. Чтобы 40 помеченных в первый день рыб составляли ту же долю
среди всех рыб в пруду, общее количество 𝑁 должно удовлетворять про-
порции
18 : 50 = 40 : 𝑁
откуда 𝑁 = 50
·
40/18 = 111
1
9
.
Как понимать эту девятую часть рыбы? Ничего странного в этом нет.
Доля помеченных рыб среди улова второго дня не обязана в точности рав-
няться доле помеченных рыб во всём пруду: даже в том случае, если нет
каких-то систематических причин для такого отклонения, возможны случай-
ные колебания. (А возможно и другое: скажем, раз пойманная и отпущенная
рыбина становится более пугливой, или некоторые умнее других и систе-
матически не ловятся, и т. п.) Так что наша оценка в любом случае только
приблизительна, к тому же основана на предположении о независимости,
которое весьма спорно.
С другой стороны, математическая независимость вполне может иметь
25

место для событий, которые трудно назвать независимыми в житейском смы-
сле этого слова:
57 Проверьте, что при бросании кубика события «выпало чётное число»
и «выпало число, делящееся на 3» независимы.
Наконец, исторический анекдот, который рассказывают про выдающегося
советского специалиста по теории вероятностей, А. Я. Хинчина (а иногда про
А. Н. Колмогорова, основателя современной теории вероятностей). Демаго-
ги-философы пытались подкопаться под теорию вероятностей и обвинить
её в «идеализме» (что означало в то время начало травли и прямую угрозу
для жизни учёных): дескать, математики изучают независимые события, в то
время как марксизм учит, что всё в мире диалектически связано. По леген-
де, Хинчин отбился от них их же собственным оружием | демагогической
болтовнёй. Он спросил в ответ, считают ли марксисты-ленинцы молебен о
дожде и последующий дождь зависимыми событиями, и они убрались не
солоно хлебавши.
12. Среднее арифметическое
Средним арифметическим двух чисел 𝑎 и 𝑏 называется их полусумма
(𝑎 + 𝑏)/2. Название объясняется тем, что точка (𝑎 + 𝑏)/2 на числовой оси
лежит посередине отрезка с концами 𝑎 и 𝑏. Среднее арифметическое двух
чисел настолько же больше меньшего из них, насколько меньше большего.
58 Среднее арифметическое двух чисел равно 5, а одно из чисел равно
2. Найдите второе число.
59 Как изменится среднее арифметическое двух чисел, если одно из них
увеличить на 1? оба числа увеличить на 1? одно из чисел увеличить на 1, а
другое уменьшить на 1?
60 В каких пределах может меняться среднее арифметическое чисел 𝑎
и 𝑏, если 1
6
𝑎
6
2 и 5
6
𝑏
6
7?
Аналогичным образом определяется среднее арифметическое нескольких
чисел: надо сложить их все и поделить сумму на количество чисел. Симво-
лически это записывается так. Числа обозначаются 𝑎
1
, 𝑎
2
, . . . , 𝑎
𝑛
(всего их 𝑛
штук, и они нумеруются индексами от 1 до 𝑛). Их среднее арифметическое
по определению равно
𝑎
1
+ 𝑎
2
+ . . . + 𝑎
𝑛
−
1
+ 𝑎
𝑛
𝑛
.
61 (а) Чему равно среднее арифметическое 𝑛 одинаковых чисел?
26

(б) Среднее арифметическое нескольких чисел находится между наимень-
шим и наибольшим из них. Приведите пример, когда оно ближе к наимень-
шему, чем к наибольшему, а также пример, когда наоборот.
62 В ящике лежат болты различной длины; 10% болтов имеют длину
30 мм, 20% имеют длину 50 мм, а остальные 70% имеют длину 80 мм.
Найдите среднюю длину болта (среднее арифметическое длин всех болтов).
63 Чему равно среднее арифметическое ста чисел 1, 2, 3, 4, . . . , 99, 100?
[Указание: удобно сгруппировать их в пары.]
64 Одно из десяти чисел увеличили на 1. Как изменилось от этого
среднее арифметическое этих чисел?
65 (а) Чтобы найти среднее арифметическое трёх чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, Вова
нашёл среднее арифметическое чисел 𝑎 и 𝑏, а затем взял среднее арифме-
тическое результата и числа 𝑐. Правильно ли это?
(б) Чтобы найти среднее арифметическое четырёх чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , Гриша
нашёл среднее арифметическое чисел 𝑎 и 𝑏, затем нашёл среднее арифмети-
ческое чисел 𝑐 и 𝑑 , а затем взял среднее арифметическое двух результатов.
Правильно ли это?
66 В автобусе собралась футбольная команда из 11 человек и волейболь-
ная команда из 6 человек. Средний возраст футболистов | 28 лет, средний
возраст волейболистов 21 год. Каков средний возраст пассажиров автобуса?
67 Петя нашёл среднее чисел в каждом столбце прямоугольной табли-
цы, а потом нашёл среднее полученных средних. Вася делал то же самое,
но начал со средних по столбцам. Получилось ли у них одно и то же?
68 Едет колонна автобусов. Некоторые из них переполнены (перепол-
ненным будем считать автобус, в которых больше 50 пассажиров). Что боль-
ше: доля переполненных автобусов (среди всех автобусов) или доля пасса-
жиров, едущих в переполненных автобусах (среди всех пассажиров)?
69 Какой концентрации получится раствор, если смешать 10% и 15%
растворы в пропорции 2 : 1?
70 Имеется по литру 5-, 10- и 15-процентных растворов. Какое макси-
мальное количество 8% раствора можно составить, смешивая их?
71 В академии наук есть академики и члены-корреспонденты. Одного из
членов-корреспондентов избрали (перевели) в академики. Мог ли от этого
уменьшиться средний возраст и у академиков, и у членов-корреспондентов?
72 Анекдотическая история советского времени гласит, что секретарю
обкома объявили выговор за то, что «в некоторых районах области уро-
жайность зерновых ниже средней по области». В каком случае этот упрёк
необоснован?
27

73 Докажите, что средний квадрат роста учеников класса больше ква-
драта среднего роста учеников класса, за исключением того случая, когда
все ученики одного и того же роста.
Интересуясь средним значением какого-либо показателя, люди обычно
хотят составить себе общее представление о состоянии дел. Но делать это
следует с осторожностью и не спрашивать о средней температуре по боль-
нице или, скажем, о среднем доходе на Чукотке в 2005 году | сами по себе
эти показатели мало о чём говорят.
13. Математическое ожидание
Представим себе, что мы много раз бросаем игральную кость, записываем
результаты бросаний (числа от единицы до шестёрки) и затем вычисляем их
среднее арифметическое. Что получится?
В точности этого сказать нельзя, поскольку доля единиц, двоек, троек
и т. д. может быть разной. Но если все шесть цифр встречаются одинаково
часто, то из 𝑛 опытов будет примерно 𝑛/6 единиц, 𝑛/6 двоек и так далее.
Тогда общая сумма всех результатов будет примерно равна
𝑛
6
·
1 +
𝑛
6
·
2 +
𝑛
6
·
3 +
𝑛
6
·
4 +
𝑛
6
·
5 +
𝑛
6
·
6 =
𝑛(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
6
.
Чтобы получить среднее арифметическое, надо поделить на общее число
опытов 𝑛, и получится
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6
= 3,5
(как если бы кубик выпал по одному разу каждой стороной).
Это число 3,5 называют математическим ожиданием числа очков, вы-
павших на кубике. Имеется в виду следующее: мы «ожидаем», что все рав-
новозможные варианты числа очков от 1 до 6 встретятся одинаково часто, и
среднее будет равно 3,5 согласно нашему вычислению.
Наглядно можно объяснить так: если платить три с полтиной за участие
в игре, где можно бросить кубик и получить столько рублей, сколько на нём
выпадет очков, то при очень большом числе игр в среднем играющий будет
оставаться «при своих».
74 В лотерее на 1% билетов выпадает выигрыш в 200 рублей, на 0,01%
билетов выпадает выигрыш в 1000 рублей, а остальные билеты без выигры-
ша. Найдите средний выигрыш в этой лотерее (в расчёте на один билет), то
есть среднее арифметическое выигрышей всех билетов.
◁ Пусть всего выпущено 𝑛 билетов лотереи. Тогда 0,01𝑛 билетов имеют
выигрыш 200 рублей, и общая сумма выигрыша этих билетов будет равна
28

200
·
0,01𝑛 = 2𝑛 рублей. Кроме того, 0,0001𝑛 билетов имеют выигрыш 1000
рублей, сумма выигрыша этих билетов будет 1000
·
0,0001𝑛 = 0,1𝑛 рублей.
Общая сумма выигрышей будет 2𝑛 +0,1𝑛 = 2,1𝑛 рублей, то есть по 2 рубля
10 копеек на один билет. ▷
Зная это, можно подсчитать, что если билет стоит, скажем, 5 рублей, то
меньше половины собранных денег идёт на выигрыши, а остальное идёт на
расходы по проведению лотереи, прибыль устроителей, налоги и др.
75 Опыт состоит в бросании трёх монет и подсчёта числа выпавших
орлов; это число считают результатом опыта. Каково будет среднее арифме-
тическое результатов большой серии опытов, если все 8 комбинаций орлов
и решек на трёх монетах считать равновероятными?
О О O 3
О О Р 2
О Р O 2
О Р
Р 1
Р О О 2
Р О Р 1
Р
Р O 1
Р
Р
Р 0
◁ Запишем эти комбинации и число орлов для ка-
ждой из них. Если все восемь вариантов встречаются
одинаково часто, то среднее число орлов будет рав-
но среднему арифметическому восьми чисел в правом
столбце, то есть
3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 0
8
=
12
8
= 1,5.
Этот ответ можно предугадать: если мы 𝑛 раз бросаем
по три монеты, то всего как бы брошено 3𝑛 монет, и примерно в половине
случаев (то есть в 1,5𝑛 случаев) появляется орёл. ▷
14. Случайные величины
Случайная величина | это величина, значение которой зависит от исхода
опыта. Будем считать, что все исходы опыта равновероятны и в длинной се-
рии опытов встречаются примерно поровну. В этом случае среднее значение
величины для длинной серии опытов близко к её математическому ожида-
нию, которое определяется как среднее арифметическое значений величины
для всех исходов.
Например, в примере с лотереей опытом является покупка одного из
выпущенных организаторами билетов (все билеты считаются равновозмож-
ными). Случайная величина | выигрыш этого билета, а её математическое
ожидание | средний выигрыш (среднее арифметическое выигрышей для
всех билетов).
В примере с игральной костью опытом является бросание кости, исходом
опыта | выпадение одной из граней, а случайной величиной | число очков
на этой грани. Её математическое ожидание | среднее число очков (по всем
шести граням кубика).
29

В примере с монетами опытом является бросание трёх монет, исход опы-
та | одна из 8 комбинаций букв О и Р, а случайная величина | число букв
О (орлов). Её математическое ожидание | среднее число очков для всех
8 исходов.
Заметим что слова «математическое ожидание» не надо понимать уж
слишком буквально: хотя математическое ожидание числа орлов при броса-
нии трёх монет равно 1,5, вряд ли кто-то действительно ожидает появления
полутора орлов при бросании трёх монет.
Математическое ожидание случайной величины можно найти, зная все
её значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения.
Пусть, например, случайная величина принимает значения 𝑎
1
, 𝑎
2
и 𝑎
3
с
вероятностями 𝑝
1
, 𝑝
2
и 𝑝
3
(а других значений не принимает, так что 𝑝
1
+𝑝
2
+
+ 𝑝
3
= 1). Найдём её математическое ожидание. Пусть всего 𝑛 исходов. Из
них в 𝑝
1
𝑛 исходах величина принимает значение 𝑎
1
, в 𝑝
2
𝑛 исходах величина
принимает значение 𝑎
2
и в 𝑝
3
𝑛 исходах | значение 𝑎
3
.
Чтобы найти математическое ожидание, надо сложить все значения ве-
личины (для всех исходов) и поделить на 𝑛. В этой сумме
𝑝
1
𝑛 слагаемых, равных 𝑎
1
(их сумма 𝑛𝑝
1
𝑎
1
);
𝑝
2
𝑛 слагаемых, равных 𝑎
2
(их сумма 𝑛𝑝
2
𝑎
2
);
𝑝
3
𝑛 слагаемых, равных 𝑎
3
(их сумма 𝑛𝑝
3
𝑎
3
).
Всего получается
𝑛(𝑝
1
𝑎
1
+ 𝑝
2
𝑎
2
+ 𝑝
3
𝑎
3
)
и среднее арифметическое (сумма, делённая на 𝑛) будет
𝑝
1
𝑎
1
+ 𝑝
2
𝑎
2
+ 𝑝
3
𝑎
3
.
Точно так же получается и общая формула: если величина принимает зна-
чения 𝑎
1
, . . . , 𝑎
𝑛
с вероятностями 𝑝
1
, . . . , 𝑝
𝑛
соответственно, то её матема-
тическое ожидание равно
𝑝
1
𝑎
1
+ 𝑝
2
𝑎
2
+ . . . + 𝑝
𝑛
𝑎
𝑛
.
Заметим, что для случая равновероятных исходов понятие математиче-
ского ожидания лишь словесно отличается от среднего арифметического.
Можно говорить, скажем, о математическом ожидании веса случайно вы-
бранного ученика класса, но это есть не что иное, как среднее арифметиче-
ское весов всех учеников.
30

15. Гистограммы
2 3 4 5
Чтобы наглядно изобразить какие-либо данные, можно
использовать картинку, называемую гистограммой. Поясним
это на примере контрольной в школе.
Учитель проверяет работы своих учеников. Каждая рабо-
та оценивается от 2 до 5. Чтобы представить себе общую
картину, учитель заводит табличку с четырьмя столбцами,
помеченными 2, 3, 4 и 5. Проверив очередную работу, он
ставит крестик в столбец, соответствующий оценке за про-
веренную работу. В итоге получается картинка, по которой
видно, как распределились оценки.
Например, на нашем рисунке видно, что есть три двойки, девять троек,
семь четвёрок и четыре пятёрки. На этой картинке нет фамилий, но общая
ситуация видна достаточно отчётливо: в основном тройки и четвёрки (троек
немного больше), и немного двоек и пятёрок.
76 Найдите среднюю оценку за контрольную по этой гистограмме (сред-
нее арифметическое всех оценок, математическое ожидание оценки случайно
выбранного школьника).
◁ Всего оценок 3+9+7+4 = 23, общая сумма оценок 3
·
2+9
·
3+7
·
4+4
·
5 =
= 81, среднее 81/23
≈
3,52. ▷
2 3 4 5
Видно, что среднее немного больше 3,5, хотя троек и бы-
ло больше, чем четвёрок (за счёт того, что пятёрок больше,
чем двоек).
Такая гистограмма даёт больше информации о положении
дел, чем просто средний балл. Скажем, по другой картинке
видно, что хотя средний балл тот же, но распределение со-
всем другое: в этом случае класс явно делится на две группы
«отличников» и «двоечников».
Вырежем гистограмму из однородной бумаги. Тогда горизонтальная ко-
ордината центра тяжести указывает среднее значение. (Что такое центр тяже-
сти, изучают в механике. Наглядный смысл его такой: если поставить опору
под гистограмму левее среднего значения, то гистограмма будет клониться
вправо, а если правее | то влево.)
77 Докажите это, основываясь на правиле рычага: чтобы скомпенсиро-
вать вес, который в 𝑘 раз дальше от оси, нужен в 𝑘 раз больший вес.
Решая следующие задачи, полезно представлять себе соответствующие
гистограммы.
78 Может ли быть так, что в классе более 90% учеников имеют рост
выше среднего? (Под средним ростом мы понимаем среднее арифметическое
31

роста всех учеников класса.)
79 Для длинного списка чисел проведём границу так, чтобы примерно
половина чисел была меньше этой границы, а половина | больше. (Точное
равенство может не достигаться: если есть несколько равных чисел, граница
не может пройти между ними.) Такая граница называется медианой. Приве-
дите примеры, когда медиана нескольких положительных чисел значительно
больше или значительно меньше их среднего арифметического.
Гистограммы часто бывают полезны при анализе статистических данных:
на них можно заметить любопытные статистические аномалии. Например, по
итогам голосования 2007 года («выборы в Государственную думу России»)
была построена гистограмма распределения участков по явке (С. Шпилькин,
Статистическое исследование результатов российских выборов 2007{2009 г.,
Троицкий вариант, 2009, вып. 40, с. 2). Явкой называется доля избирате-
лей, пришедших голосовать (по отношению к общему числу избирателей в
списке); для каждого процента явки на гистограмме показано, сколько участ-
ков заявили о таком проценте явки | полученные точки соединены ломаной
линией.
Видно, что удивительным образом на «круглых» значениях явки имеются
«пики»; особенно заметны пики на кратных 10, но на кратных 5 тоже вид-
ны пики поменьше. Одно из возможных объяснений (впрочем, других я не
видел) | подтасовка результатов голосования в соответствии с желаемым
процентом явки (который часто бывает «круглым»).
80 Попытайтесь объяснить, с чем связана загогулина на гистограмме
32

распределения результатов экзаменов по польскому языку (2010, Польша
2
).
0 1 2 3
Можно составить гистограмму, исходя не из наблюдений,
а из вероятностей. Рассмотрим опыт, в котором мы бросаем
три монеты и считаем количество орлов. Мы видели, что
восемь случаев распределятся так: три орла будет в одном
случае, два орла | в трёх, один орёл | тоже в трёх, и
нуль орлов | в одном случае. Это можно изобразить на гистограмме. По
симметрии ясно, что математическое ожидание числа орлов равно 1,5.
Аналогичные рисунки можно построить и для большего чи-
сла монет. Скажем, для 8 монет имеется 256 возможных исхо-
дов, и для каждого числа орлов (от нуля до восьми) можно
подсчитать все комбинации с этим числом орлов. Глядя на эту
картинку: мы видим, что наибольшую вероятность имеет выпа-
дение четырёх орлов, а наименьшую | нуля или восьми.
81 Определите по этой картинке (приблизительно, с по-
мощью линейки), во сколько раз событие «орлов и решек
поровну» вероятнее события «три орла и пять решек».
Используя математический анализ, можно доказать, что для
большого числа монет гистограмма приближается к растянуто-
му графику функции 𝑒
−
𝑥
2
. Этот график называется графиком
нормального распределения. Похожую форму обычно имеют
гистограммы величин, определяемых большим числом незави-
симых факторов.
2
См. smarterpoland.pl/index.php/2013/03/czy-polonisci-sa-mniej-obiektywni
-a-matematyki-jest-za-malo-w-liceum/
33

Обе предыдущие гистограммы были симметричны, поскольку орлы столь
же вероятны, как и решки. Рассмотрим теперь пример несимметричной ги-
стограммы. Пусть мы бросаем кубик 4 раза и считаем количество выпавших
единиц. Это количество | случайная величина, принимающая значения от
0 до 4. Чтобы подсчитать вероятности появления каждого из этих значений,
надо выяснить, сколько всего исходов и в скольких из них будет 0, 1, 2, 3
и 4 единицы. Сделаем это:
•
Всего исходов 6
4
= 1296 (на каждом из 4 мест есть 6 возможностей).
•
Четыре единицы появляются в одном-единственном случае.
•
Три единицы занимают три места из четырёх; положение этого четвёр-
того места можно выбрать 4 способами, и на нём может стоять любая из 5
цифр (кроме единицы), всего 20 возможностей.
•
Ни одной единицы: на каждом из четырёх мест может стоять одна из
пяти цифр, всего 5
4
= 625 вариантов.
•
Одна единица: есть четыре возможных места, для каждого из них есть
5
3
возможностей для остальных цифр, то есть 4
·
5
3
= 500 вариантов.
•
Наконец, две единицы: вариантов их расположения (выбора двух пози-
ций из четырёх) шесть, для каждого такого варианта есть 5
2
вариантов цифр
на двух оставшихся местах, получается 6
·
25 = 150 вариантов. (Вместо этого
подсчёта можно вычесть: 1296
−
20
−
625
−
500
−
1 = 150.)
Получаем такой ответ:
0
1
2
3
4
5
6
4
=
625
1296
4
·
1
6
5
6
3
6
·
1
6
2 5
6
2
4
·
1
6
3 5
6
1
6
4
625
1296
500
1296
150
1296
20
1296
1
1296
0 1 2 3 4
Изобразить 1296 крестиков трудно, поэтому столбцы ги-
стограммы показаны в виде отрезков (длина пропорциональ-
на вероятности).
В заключение ещё раз напомним, что при реальном про-
ведении опытов частоты (скорее всего) будут отличаться от
вероятностей, так что гистограмма для результатов будет не
совсем такой, как мы вычислили. (Но можно надеяться, что
при большом числе опытов длины столбцов будут с хорошей
точностью пропорциональны вычисленным вероятностям.)
34

16. Линейность математического ожидания
Математическое ожидание обладает свойством «линейности»: матема-
тическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. На-
пример, если в опыте с 𝑛 исходами одна величина принимает значения
𝑎
1
, . . . , 𝑎
𝑛
, а другая принимает значения 𝑏
1
, . . . , 𝑏
𝑛
, то средние значения
равны
𝐴 =
𝑎
1
+ 𝑎
2
+ . . . + 𝑎
𝑛
𝑛
и
𝐵 =
𝑏
1
+ 𝑏
2
+ . . . + 𝑏
𝑛
𝑛
.
Если теперь третья величина равна сумме первых двух, то есть 𝑐
𝑖
= 𝑎
𝑖
+ 𝑏
𝑖
,
то её среднее
𝐶 =
(𝑎
1
+ 𝑏
1
) + (𝑎
2
+ 𝑏
2
) . . . + (𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
)
𝑛
=
=
𝑎
1
+ 𝑎
2
+ . . . + 𝑎
𝑛
𝑛
+
𝑏
1
+ 𝑏
2
+ . . . + 𝑏
𝑛
𝑛
равно сумме средних значений 𝐴 и 𝐵 .
Измерим, например, ширину и высоту нескольких прямоугольников. Для
каждого прямоугольника сложим их и получим сумму измерений, полупери-
метр. Среднее значение полупериметра, как мы видели, равно сумме средней
ширины и средней высоты. (Другими словами, усреднять можно до и после
сложения.)
Это свойство математического ожидания позволяет решить следующую
задачу почти без вычислений.
82 Найдите математическое ожидание числа единиц при бросании че-
тырёх игральных костей.
◁ Мы уже вычисляли вероятности получить 0, 1, 2, 3, 4 единицы, так что
можно просто воспользоваться формулой и получить
0
·
625
1296
+ 1
·
500
1296
+ 2
·
150
1296
+ 3
·
20
1296
+ 4
·
1
1296
=
=
500 + 2
·
150 + 3
·
20 + 4
·
1
1296
=
864
1296
=
2
3
.
Тот же ответ можно получить почти без вычислений, воспользовавшись
свойством линейности. Рассмотрим шесть случайных величин: число единиц,
число двоек, . . . , число шестёрок. По соображениям симметрии (вероятности
всех граней кубика одинаковы) все эти шесть случайных величин имеют
одинаковое математическое ожидание. Значит, их сумма имеет в шесть раз
большее математическое ожидание (линейность). Но сумма всегда равна 4
(поскольку всего костей четыре) и потому её среднее тоже 4. Получаем
ответ 4
·
(1/6) = 2/3.
35

Вот ещё один способ вычисления, также использующий линейность. Рас-
смотрим такие четыре случайные величины: «число единиц на первой кости»,
«число единиц на второй кости», . . . , «число единиц на четвёртой кости». Ка-
ждая из этих величин принимает два значения: 1 (если на соответствующей
кости выпала единица) и 0 (если не выпала). Значение 1 имеет вероятность
1/6, и потому математическое ожидание каждой из четырёх величин равно
1/6. А интересующая нас величина (общее число единиц) равна сумме этих
четырёх величин, то есть 4/6 = 2/3. ▷
Для шести бросаний математическое ожидание числа единиц (вычисле-
ние аналогично) равно единице. (Это, в общем, не удивительно: если веро-
ятность появления единицы равна 1/6, то «в среднем» на шесть бросаний
приходится одна единица.) На всякий случай ещё раз поясним, что это не
означает, что каждый раз будет получаться по одной единице: их может быть
больше (иногда, хотя и редко, будут все единицы), а может и вовсе не быть.
83 Какое событие более вероятно при бросании шести игральных ко-
стей: (а) не выпало ни одной единицы; (б) выпало более одной единицы?
[Указание: можно обойтись без подсчётов, использовав тот факт, что мате-
матическое ожидание равно 1.]
84 Бросив сто раз монету, подсчитаем число орлов, сразу за которыми
выпала решка. (Например, для ста подряд идущих орлов или ста решек это
число равно нулю, для РОРОРО. . . РО (решки и орлы чередуются, начиная
с решки) получится 49, а для ОРОРОР. . . ОР будет 50.) Найдите математи-
ческое ожидание этого числа (считая все 2
100
исходов равновероятными).
◁ Выберем некоторое число 𝑁 от 1 до 100 и рассмотрим величину 𝛼
𝑁
,
равную 1, если на 𝑁 -м месте стоит орёл, за которым идёт решка, и 0 в
противном случае. Заметим, что при 𝑁 = 100 эта величина нулевая (за по-
следним орлом не может идти решка). При всех остальных 𝑁 = 1, 2, . . . , 99
эта величина равна единице с вероятностью 1/4 и нулю с вероятностью 3/4.
В самом деле, чтобы 𝛼
𝑁
равнялось единице, должны случиться две вещи:
на 𝑁 -м месте последовательности должен быть орёл (вероятность 1/2) и на
(𝑁 + 1)-м месте должна идти решка (вероятность 1/2). События эти отно-
сятся к разным монетам и независимы, так что получаем вероятность 1/4.
Математическое ожидание для 𝛼
𝑁
тоже равно 1/4 (при 𝑁
6
= 100).
Интересующая нас величина равна 𝛼
1
+ . . . + 𝛼
100
, и её математическое
ожидание равно сумме математических ожиданий 𝛼
𝑖
, то есть 99/4. ▷
Вернёмся теперь к ситуации, которую мы уже рассматривали: в мешке
10 шаров, из которых 6 белых и 4 чёрных, и мы дважды вытаскиваем из
него шар. Раньше мы искали вероятность того, что оба раза будет вытащен
чёрный шар, и вычислили её для двух вариантов задачи (когда вытащенный
шар возвращают в мешок и когда его откладывают в сторону). Теперь вопрос
другой:
36

85 Найдите математическое ожидание числа чёрных шаров среди двух
вынутых шаров (эта случайная величина принимает значения 0, 1 или 2).
◁ Первый способ. Рассмотрим случай выборки без возвращения. Веро-
ятность того, что оба шара будут чёрные (𝑝
2
), мы уже искали, она равна
произведению (4/10)
·
(3/9) = 2/15. Вероятность того, что будет нуль чёр-
ных шаров (𝑝
0
), можно найти аналогичным образом: вероятность вытащить
белый шар на первом шаге равна 6/10, а вытащить белый на втором при
условии белого на первом равна 5/9, итого 𝑝
0
= (6/10)
·
(5/9) = 1/3.
Вероятность значения 1 теперь можно найти вычитанием:
𝑝
1
= 1
−
𝑝
0
−
𝑝
2
= 1
−
2
15
−
1
3
=
15
−
2
−
5
15
=
8
15
.
Отсюда находим математическое ожидание:
0
·
𝑝
0
+ 1
·
𝑝
1
+ 2
·
𝑝
2
=
8
15
+ 2
·
2
15
=
8
15
+
4
15
=
12
15
=
4
5
.
Для случая выборки с возвращением вероятности другие, но вычислить
их столь же просто и | удивительным образом | математическое ожидание
оказывается тем же самым.
Второй способ обходится почти без вычислений и заодно объясняет, по-
чему для выборки без возвращений и с возвращениями ответ один и тот
же. Интересующая нас случайная величина есть сумма двух, которые можно
условно назвать «число чёрных шаров среди первого шара» (0 или 1) и «чи-
сло чёрных шаров среди второго шара» (тоже 0 или 1). Каждая из величин
принимает значения 0 и 1, и её математическое ожидание равно вероятности
значения 1. Для первого шара эта вероятность равна 4/10 = 2/5 (из десяти
шаров четыре чёрных). Это, естественно, не зависит от того, возвращаем
мы его или нет. Во втором случае вероятность оказывается такой же. Ес-
ли первый шар возвращать, то это совсем очевидно. Но это верно и если
шар не возвращать | в самом деле, второй вынутый шар может с равной
вероятностью оказаться любым из десяти изначально лежавших в мешке.
Таким образом, обе случайные величины имеют математическое ожида-
ние 2/5 и их сумма имеет математическое ожидание 4/5.
В сущности, это объяснение сводится к одной фразе: если среди всех
шаров чёрные составляют определённый процент, то и среди вынутых в
среднем процент будет тот же самый. ▷
17. Неравенство Чебышёва
86 В газете написали, что 10% граждан имеют доход, который в 15 или
более раз превышает средний. Докажите, что автор статьи ошибся.
37

◁ Возьмём для примера десять человек, из которых один богатый соста-
вляет 10%. Пусть их средний доход 𝑥. Тогда их общий доход равен 10𝑥, а
у богатого доход 15𝑥 или больше. Но так быть не может (мы считаем, что
доход | величина неотрицательная, и если одно из слагаемых равно 15𝑥
или больше, то сумма не может быть 10𝑥).
В общем случае: пусть 𝑁 человек имеют средний доход 𝑥. Их общий
доход 𝑁𝑥. Пусть среди них есть 10% (то есть 𝑁/10) человек с доходом
15𝑥 или больше. Тогда суммарный доход этой «элиты» равен 15𝑥
·
(𝑁/10) =
= 1,5𝑁𝑥, но он не может быть больше 𝑁𝑥, даже если остальные не получают
совсем ничего. ▷
В общей форме это замечание называют иногда неравенством Чебышёва
или неравенством Маркова (Пафнутий Львович Чебышёв (1821 { 1894) и
Андрей Андреевич Марков (1856 { 1922) | русские математики, известные,
среди прочего, работами по теории вероятностей). Вот его формулировка:
Пусть 𝛼 | случайная величина, принимающая неотрицательные
значения, а 𝑚 | её математическое ожидание. Тогда вероятность
того, что значение величины 𝛼 больше некоторой границы 𝑐, не
превосходит 𝑚/𝑐:
Pr[𝛼
>
𝑐]
6
𝑚/𝑐.
В самом деле, пусть 𝑝 | доля случаев (исходов), в которых случайная
величина 𝛼 не меньше 𝑐. Среднее значение величины может только умень-
шиться, если в этих случаях заменить значение величины на 𝑐, а в остальных
случаях | на нуль. Но после такой замены среднее станет равным 𝑝𝑐, по-
этому 𝑚
>
𝑝𝑐, откуда 𝑝
6
𝑚/𝑐, что и требовалось доказать.
87 В лотерее на выигрыши уходит 40% от стоимости проданных биле-
тов. Каждый билет стоит 100 рублей. Докажите, что вероятность выиграть
5000 рублей (или больше) меньше 1%.
◁ Тот факт, что на выигрыши уходит 40% денег, полученных от продажи
билетов, означает, что математическое ожидание выигрыша равно 40% от
стоимости билета, то есть 40 рублей.
Выигрыш есть случайная величина, и по неравенству Чебышёва вероят-
ность того, что её значение больше или равно 5000, не превосходит отно-
шения 40/5000 = 0,8% < 1%. ▷
Мы решили эту задачу, не зная конкретных правил лотереи. Искомая
вероятность может быть разной и зависит от этих правил, но ни в каком
случае | согласно неравенству Чебышёва | не превосходит 0,8%.
88 Приведите примеры ситуаций (правил лотереи), в которых иско-
мая вероятность минимальна (равна нулю) и максимальна (достигает 0,8%).
[Ответ: (1) на все билеты приходится небольшой выигрыш, скажем, по 40
38

рублей; (2) пусть 0,8% всех билетов являются выигрышными с выигрышем
в 5000 рублей, а остальные | билеты без выигрыша.]
18. Неравновероятные исходы
В нашем определении вероятности всё начиналось с множества «равно-
возможных» (одинаково часто встречающихся) исходов. В реальности такие
ситуации встречаются редко. Но не обязательно требовать равновозможности
исходов.
Предположим для примера, что нам дали кособокий кубик и сказали, что
вероятности выпадения 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны соответственно
исход
1
2
3
4
5
6
вероятность 0,11 0,24 0,17 0,07 0,28 0,13
Это означает, что при большом числе испытаний примерно в 11% случаев
выпадает единица, примерно в 24% случаев | двойка и так далее. (Обратите
внимание, что сумма вероятностей всех исходов равна единице.)
Тогда можно вычислить вероятности разных событий, сложив вероят-
ности входящих в них исходов. Скажем, вероятность выпадения чётного
числа очков получается как сумма вероятностей 2, 4 и 6 очков и равна
0,24+0,07+0,13 = 0,44. (Если примерно в 24% всех случаев выпадает двой-
ка, примерно в 7% всех случаев выпадает четвёрка и примерно в 13% случаев
выпадает шестёрка, то всего на чётные числа приходится 24 + 7 + 13 = 44
процента всех случаев.)
89 Какова вероятность получить нечётное число очков при бросании
этого кубика?
◁ Она равна сумме вероятностей исходов 1, 3, 5, то есть 0,11 + 0,17 +
+ 0,28 = 0,56. Можно получить тот же ответ и сразу: поскольку это собы-
тие является дополнительным к выпадению чётного числа очков, получаем
1
−
0,44 = 0,56. (Напомним, что сумма вероятностей всех исходов равна
единице.) ▷
Пока что ничего интересного в этом нет: мы лишь складываем произ-
вольно выбранные нами числа. Следующая задача немного сложнее:
90 Бросают две монеты | медную и серебряную, причём для каждой
из них вероятность выпадения орла равна 0,3. Монеты независимы (точнее,
независимы события, с ними связанные). Какова вероятность, что выпадет
ровно один орёл?
◁ Имеются четыре возможных исхода. Будем обозначать буквами О и
Р выпадение орла и решки, и сначала описывать медную монету, а потом
39

серебряную. Тогда возможны четыре исхода: ОО, ОР, РО, РР. Теперь уже мы
не можем считать, что они равновероятны. Вероятности этих исходов можно
найти, исходя из условия задачи. Например, вероятность исхода ОО (два
орла) равна произведению вероятностей выпадения орла на каждой монете,
то есть 0,3
×
0,3 = 0,09 = 9%. (Мы перемножаем вероятности, поскольку
по условию события, связанные с разными монетами, независимы.)
Вероятность выпадения решки на медной (или серебряной) монете равна
0,7. Поэтому вероятность комбинации ОР есть 0,3
×
0,7 = 0,21. Такая же
вероятность комбинации РО, а комбинация РР имеет вероятность 0,7
×
0,7 =
= 0,49.
ОО 0,3
×
0,3 = 0,09
ОР 0,3
×
0,7 = 0,21
РО 0,7
×
0,3 = 0,21
РР
0,7
×
0,7 = 0,49
Следовательно, событие «выпал один орёл», состоящее из исходов ОР и РО,
имеет вероятность 0,21 + 0,21 = 0,42. ▷
Для проверки вычислите сумму вероятностей найденных нами исходов и
убедитесь, что она равна единице. Можно доказать это и без вычислений,
раскрыв скобки:
1 = 1
×
1 = (0,3+0,7)
×
(0,3+0,7) = 0,3
×
0,3+0,3
×
0,7+0,7
×
0,3+0,7
×
0,7.
91 Составьте аналогичную таблицу, если вероятность выпадения орла
на медной монете равна 0,3, а на серебряной равна 0,4. Найдите математи-
ческое ожидание числа орлов при бросании двух таких монет.
19. Независимые испытания
По аналогии с задачей 90 можно рассматривать бросание 𝑁 монет, у
каждой из которой вероятность выпадения орла равна 𝑝, а вероятность вы-
падения решки равна 𝑞 = 1
−
𝑝. При этом исход эксперимента записывается
последовательностью из 𝑁 букв О и Р, и вероятность исхода равна произве-
дению вероятностей для каждой монеты.
Например, при 𝑁 = 3 есть 8 исходов, и их вероятности таковы:
ООО
ООР
ОРО
ОРР
РОО
РОР
РРО
РРР
𝑝
·
𝑝
·
𝑝 𝑝
·
𝑝
·
𝑞
𝑝
·
𝑞
·
𝑝 𝑝
·
𝑞
·
𝑞
𝑞
·
𝑝
·
𝑝 𝑞
·
𝑝
·
𝑞
𝑞
·
𝑞
·
𝑝 𝑞
·
𝑞
·
𝑞
(вероятность каждого исхода равна произведению трёх вероятностей | по
одной для каждой монеты).
40

92 Проверьте, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.
[Указание: раскройте скобки в (𝑝 + 𝑞)
3
.]
93 Проверьте, что (для этой таблицы) сумма вероятностей всех исхо-
дов, в которых на первой монете выпал орёл, равна 𝑝.
94 Проверьте, что выпадение орла на первой и второй монетах действи-
тельно независимы.
95 Найдите вероятности событий «выпало три орла», «выпало ровно
два орла», «выпал один орёл» и «не выпало ни одного орла». Убедитесь, что
сумма их вероятностей равна единице, вспомнив формулу для куба суммы.
96 Используя найденные вероятности, вычислите математическое ожи-
дание числа выпавших орлов. Как получить тот же самый ответ, используя
линейность математического ожидания?
97 Сформулируйте и докажите аналогичные утверждения для 4 монет,
а также для произвольного числа монет.
Такой набор вероятностей (или, как говорят математики, распределение
вероятностей) называется распределением Бернулли.
98 Для случая 𝑛 независимых монет с вероятностями орла и решки
𝑝 и 𝑞 (где 𝑝 + 𝑞 = 1, см. предыдущую задачу) рассмотрим события «чи-
сло орлов чётно» и «число орлов нечётно». Покажите, что разница между
вероятностями этих событий равна
|
𝑞
−
𝑝
|
𝑛
.
Эта задача имеет такое «практическое» применение: если надо сыграть
в орлянку, а монета кривая, то можно договориться бросить её определён-
ное (и достаточно большое) число раз и посмотреть, чётно ли число орлов.
Скажем, при 𝑝 = 2/3 и 𝑞 = 1/3 и десяти бросаниях разница между вероят-
ностями получить чётное и нечётное число орлов равна 1/3
10
, что меньше
двух тысячных процента.
20. Дисперсия
Поведение случайной величины не определяется её математическим ожи-
данием. Одно и то же математическое ожидание 𝑚 может быть у двух со-
всем разных случайных величин. Представим себе, например, что одна из
них лишь немного колеблется в обе стороны от 𝑚, а другая почти всегда
сильно отличается от 𝑚 в ту или другую сторону. (Мы уже видели подобные
примеры, когда говорили о распределении оценок.)
Чтобы количественно измерять «разброс» значений случайной величины,
находят среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её
математического ожидания. А именно, если случайная величина принимает
41

значения 𝑎
1
, . . . , 𝑎
𝑛
с вероятностями 𝑝
1
, . . . , 𝑝
𝑛
, то сначала надо вычислить
математическое ожидание
𝑚 = 𝑝
1
𝑎
1
+ . . . + 𝑝
𝑛
𝑎
𝑛
,
а затем вычислить средний квадрат отклонения от 𝑚 (математическое ожи-
дание квадрата отклонения от 𝑚):
𝐷 = 𝑝
1
(𝑎
1
−
𝑚)
2
+ . . . + 𝑝
𝑛
(𝑎
𝑛
−
𝑚)
2
.
99 Покажите, что если не возводить в квадрат (убрать показатель сте-
пени у скобок), то по этой формуле получится нуль.
Другое название для среднего квадрата отклонения | дисперсия слу-
чайной величины (по-русски можно было бы сказать «разброс»).
100 Случайная величина | число очков на честном кубике. Найдите
её математическое ожидание и дисперсию.
◁ Среднее равно (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5. Отклонения от 3,5 и их
квадраты соответственно равны
1
2
3
4
5
6
−
2,5
−
1,5
−
0,5
0,5
1,5
2,5
6,25
2,25
0,25
0,25 2,25 6,25
Среднее значение квадрата отклонения (среднее чисел в нижней строке) рав-
но 17,5/6 = 2
11
12
.
Ответ: математическое ожидание равно 3,5, дисперсия равна 2
11
12
. ▷
101 Случайная величина принимает значения 0 и 1 с равными вероятно-
стями (каждое имеет вероятность 1/2). Найдите её математическое ожидание
и дисперсию.
◁ Математическое ожидание равно 1/2, отклонение равно
±
(1/2), и его
квадрат всегда равен 1/4. Ответ: математическое ожидание равно 1/2, дис-
персия равна 1/4. ▷
102 Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины, которая принимает значение 1 с вероятностью 𝑝 и значение 0 с веро-
ятностью 𝑞 (при этом 𝑝 + 𝑞 = 1).
◁ Математическое ожидание равно 𝑝. Квадрат отклонения от матема-
тического ожидания равен (1
−
𝑝)
2
= 𝑞
2
с вероятностью 𝑝 и равен 𝑝
2
с
вероятностью 𝑞. Его математическое ожидание равно
𝑝𝑞
2
+ 𝑞𝑝
2
= 𝑝𝑞(𝑝 + 𝑞) = 𝑝𝑞.
42

Ответ: математическое ожидание равно 𝑝, дисперсия равна 𝑝𝑞. ▷
103 Как изменятся математическое ожидание и дисперсия случайной
величины, если все её значения увеличить в два раза? в 𝑘 раз?
[Ответ: ожидание умножится на 𝑘, а дисперсия | на 𝑘
2
.]
104 Докажите, что дисперсия случайной величины равна разнице между
математическим ожиданием её квадрата и квадратом математического ожи-
дания:
D𝛼 = E(𝛼
2
)
−
(E𝛼)
2
.
(здесь D обозначает дисперсию, а E | математическое ожидание, от слова
\expectation", по-английски «ожидание»).
◁ По определению
D𝛼 = E(𝛼
−
(E𝛼))
2
.
Раскрыв скобки и воспользовавшись линейностью математического ожида-
ния, получаем
D𝛼 = E(𝛼
2
)
−
E(2𝛼
·
E𝛼) + E((E𝛼)
2
).
В последнем слагаемом математическое ожидание постоянной величины рав-
но самой этой величине. В предпоследнем можно вынести константу 2E𝛼 и
получится
D𝛼 = E(𝛼
2
)
−
2E𝛼
·
E𝛼 + (E𝛼)
2
.
Приводя подобные члены, получаем требуемое. ▷
105 Используя предыдущую задачу, решите задачу 73 на с. 28.
21. Закон больших чисел: формулировка
Критически настроенный читатель недовольно отметит, что все наши рас-
суждения о вероятностях сводились в основном к простым подсчётам долей
и процентов | это, конечно, дело важное, но заслуживает ли оно гордого
наименования «теории»? И будет отчасти прав | но теория вероятностей
прежде всего есть некоторый язык, к которому нужно привыкнуть, прежде
чем сказать на нём что-нибудь содержательное.
Сейчас мы попробуем привести пример такого содержательного резуль-
тата и рассмотрим так называемый закон больших чисел. Он отвечает на
следующий вопрос. Предположим, что мы проводим большую серию испы-
таний (например, бросаний кубика) и считаем частоту «успехов». Она, как
мы говорили, на практике обычно бывает близка к вероятности. Но насколько
близка? как оценить типичное отклонение частоты от вероятности?
43

Пусть, скажем, мы бросаем монету тысячу раз. Трудно ожидать, что бу-
дет ровно 500 орлов и 500 решек. Но какое отклонение следует считать
«типичным»? плюс-минус две-три единицы или скорее плюс-минус несколь-
ко сотен? Мы увидим, что на самом деле речь скорее идёт о нескольких
десятках.
Чтобы ответить на этот вопрос математически, прежде всего нужно по-
ставить его математически. Мы уже рассматривали опыт, в котором мы бро-
саем 𝑛 монет (или 𝑛 раз бросаем одну монету), вероятность появления орла в
каждом испытании равна 𝑝, а решки 𝑞. Испытания независимы: вероятность
того, что первый раз (скажем) выпадет орёл, второй раз решка, третий раз
орёл и т.п. равна произведению 𝑛 соответствующих множителей (𝑝 для орла
и 𝑞 для решки).
Далее мы рассматриваем случайную величину «число орлов». Закон боль-
ших чисел утверждает про неё следующее:
(1) математическое ожидание этой величины равно 𝑛𝑝;
(2) дисперсия этой величины равна 𝑛𝑝𝑞;
(3) вероятность того, что число орлов отличается от мате-
матического ожидания 𝑛𝑝 более чем на 𝑘 в ту или другую
сторону, не больше 𝑛𝑝𝑞/𝑘
2
.
Что даёт это для нашего примера (𝑛 = 1000, 𝑝 = 𝑞 = 1/2)? Математи-
ческое ожидание числа орлов равно 𝑛𝑝 = 500. Дисперсия равна 𝑛𝑝𝑞 = 250.
(Напомним, что дисперсия есть средний квадрат отклонения, поэтому «ти-
пичное отклонение» можно оценить как
√
250
≈
16.)
Третье утверждение проиллюстрируем на таком примере. Какова вероят-
ность того, что частота орлов отклоняется от 1/2 более чем на 1/10, то есть
больше 0,6 или меньше 0,4? Это значит, что число орлов больше 600 или
меньше 400. Положив 𝑘 = 100, получаем, что вероятность этого события
не больше 1000
·
0,5
·
0,5/10 000 = 250/10 000 = 2,5%.
106 Оцените аналогичным образом вероятность того, что при миллионе
бросаний честной монеты частота отличается от 0,5 более чем на 0,01 (то
есть меньше 0,49 или больше 0,51).
22. Закон больших чисел и жизнь
Что же из этого следует? Практик сказал бы: видя, что при игре в орлян-
ку число орлов не в точности равно числу решек, не торопитесь обвинять
противника в фальсификации и хвататься за канделябр, а сначала сравните
44

отклонение с предсказываемым законом больших чисел. Ещё более цинич-
ный практик добавил бы: пытаясь сфальсифицировать «случайные» данные,
не старайтесь подогнать их в точности под требуемые вероятности.
Есть очень выразительная иллюстрация к этому, но чтобы её оценить,
нужно немного поговорить о биологии и истории.
Сначала о биологии. Одним из первых достижений генетики (раздела
биологии, изучающего наследственность) были законы Менделя. В середине
XIX века Мендель (G.J. Mendel), монах в Брно (тогда в Австрии), ставил
опыты по скрещиванию растений (в частности, гороха) и изучал законы на-
следования признаков. В начале XX века, вместе с другими биологическими
открытиями (наблюдениями Вейсмана (F.L.A. Weismann) хромосом в деля-
щихся клетках, работами Моргана (T.H. Morgan) о связи передачи призна-
ков с полом) это заложило основы генетики. В это время гены были ещё
абстрактным понятием, их связь со строением белков и кодирование белков
последовательностями символов в ДНК были открыты гораздо позднее, во
второй половине XX века. (Всё вместе | от работ Менделя до расшифровки
генома человека | одно из величайших открытий в истории человечества,
так что стоит порыться в энциклопедиях и в интернете, скажем, в так назы-
ваемой «википедии» | русской или английской.)
Теперь об истории. В 1940{1950-е годы генетика в СССР была объявлена
буржуазной лженаукой, опровергнутой единственно правильным и подлин-
но научным марксистско-ленинским учением и передовой советской мичу-
ринской биологией. (Мичурин | селекционер, скрещивавший самые разно-
образные растения, | был объявлен знаменем советской биологии.) Можно
гадать, что послужило причиной такой нелюбви к генетике со стороны вла-
сти, марксистско-ленинских «философов» и малограмотных «биологов» типа
«народного академика Трофима Лысенко». Наверно, тут сложилось многое:
Мендель был монах, работы по генетике начинались за границей (что пре-
пятствовало отстаиванию обязательного в те годы «приоритета русской на-
уки»), а главное, наука эта довольно абстрактная и сложная, и её проще
охаять, чем изучить | традиция, заложенная ещё классиками марксизма
3
и блестяще продолженная Лениным
4
и Сталиным.
5
(Видимо, по аналогич-
3
В первую оцередь Энгельсом; см. его книги «Анти-Дюринг» и «Диалектика природы», в
которых органически сочетаются апломб и невежество: например, он поучает великого физика
Дж. Томсона (лорда Кельвина), что в своём учебнике тот иногда определяет «живую силу» как
𝑚𝑣, а иногда как 𝑚𝑣
2
/2 | Энгельс не знал, видимо, что в физике бывают импульс и энергия
и что это не одно и то же!
4
См. его книгу «Материализм и эмпириокритицизм», в которой Ленин «критикует» популяр-
ные (но всё равно довольно трудные и явно не понятые Лениным) очерки великого математика
А. Пуанкаре. Эта книга и упомянутые выше книги Энгельса были предметом обязательного
конспектирования в вузах и издавались миллионными тиражами; видимо, они сохранились во
многих библиотеках, так что можете убедиться сами.
5
А вот его работу «Марксизм и вопросы языкознания» (!) найти труднее | хотя она была
45

ным причинам не одобрялись квантовая механика, теория относительности,
математическая логика и др.) К генетике был приклеен ярлык «менделиз-
ма-вейсманизма-морганизма» и обвинение в оном легко могло стать причи-
ной увольнения «с волчьим билетом», плавно переходящего в арест с даль-
нейшим осуждением и лагерем или расстрелом. Ошалев от безнаказанности
и поддержки начальства, «мичуринские биологи» доходили до полного аб-
сурда | например, некоторые из них утверждали, что кукушки не кладут
яйца в чужие гнёзда, а перерождаются из других птиц, или что из рас-
тёртых клеток гидры образуются новые клетки (эти безграмотные работы
О. Б. Лепешинской были удостоены Сталинской премии). И т. д. и т. п.
Но в начале, когда «советская биология» не вошла в полную силу, можно
было с ней спорить даже в печати. И один из основателей теории вероят-
ностей, великий математик Андрей Николаевич Колмогоров, опубликовал
статью «Об одном новом подтверждении законов Менделя» (Доклады АН
СССР, 1940, том XVII, Ђ 1). Оказалось, что последователи Лысенко, желая
опровергнуть Менделя, повторили его опыты, в которых в популяции ра-
стений некоторые признаки распределялись в отношении 3 : 1 (вероятности
3/4 и 1/4). И, как они считали, опровергли Менделя, поскольку распределе-
ние признаков отличалось от теоретического. Колмогоров проанализировал
их данные, которые они неосторожно опубликовали в статье с характерным
названием «Ещё раз о "гороховых законах\» (Н.М.Ермолаева, журнал «Яро-
визация», 1939, вып. 2(23), с. 79{86; в конце этой статьи, среди прочего,
написано, что «сроки, масштабы, а главное, результаты, предусматриваемые
теорией менделизма, непригодны для нашей советской действительности»).
6
Оказалось, что отклонения укладываются в границы, предсказываемые зако-
нами теории вероятностей, и, как пишет Колмогоров, «материал этот, вопре-
ки мнению самой Н. И. Ермолаевой, оказывается блестящим новым подтвер-
ждением законов Менделя». С другой стороны, Колмогоров намекает на то,
что некоторые не в меру ретивые последователи Менделя, желая «спасти»
его законы и не зная теории вероятностей, опубликовали данные, в которых
отношение значительно ближе к теоретическому 3 : 1, чем это можно ожи-
напечатана в газете «Правда» и издана в виде брошюры массовым тиражом, но после того, как
в 1953{1956 годах «оказался наш отец не отцом, а с
h
. . .
i
ю» (А. Галич), эту брошюру отовсюду
изымали.
6
В поддержку Ермолаевой выступил также «доктор философских наук, профессор мате-
матики» Э. Кольман. В статье с ещё более характерным названием «Извращения математики на
службе менделизма» он написал, среди прочего, что, «как писал Ленин,
h
. . .
i
статистика, приво-
дящая к обезличке, превращается в пустейшую и вреднейшую "игру в цифирь\», и что «до этого
требования [судить о существовании элементарных частиц на основе статистических методов]
додумались лишь самые яростные идеалисты типа Гейзенберга» [Гейзенберг | великий физик,
один из основателей квантовой механики]. По поводу статьи Кольмана Колмогоров ограничи-
вается кратким замечанием: «работа Кольмана, не содержащая нового фактического материала,
h
. . .
i
целиком основана на непонимании изложенных в нашей заметке обстоятельств».
46

дать согласно законам теории вероятностей (и тем самым есть основания
подозревать фальсификацию результатов опыта).
К счастью, публикация Колмогорова последствий не имела | в том смы-
сле, что его не стали преследовать за вейсманизм-морганизм (но, конечно,
и расцвету «мичуринской биологии» это помешать не могло).
23. Доказательство закона больших чисел
Это | самый трудный с математической точки зрения раздел книги. Но
не потому, что доказательство требует каких-то сложных трюков, а потому,
что в нём существенно используются почти все введённые нами понятия и
нужно к ним привыкнуть.
Первое утверждение (о математическом ожидании) нам уже встречалось.
Величина «число орлов на 𝑖 -й монете» принимает значения 0 и 1, и веро-
ятность значения 1 равна 𝑝. Поэтому её математическое ожидание есть 𝑝.
Общее число орлов равно сумме 𝑛 таких величин, поэтому по линейности
его математическое ожидание есть 𝑛𝑝.
Для доказательства второго утверждения нам понадобятся некоторые
вспомогательные определения и факты.
Пусть даны две случайные величины 𝛼 и 𝛽. Пусть величина 𝛼 принима-
ет 𝑛 значений 𝑎
1
, . . . , 𝑎
𝑛
, а величина 𝛽 принимает 𝑚 значений 𝑏
1
, . . . , 𝑏
𝑚
.
Рассмотрим события 𝛼 = 𝑎
𝑖
и 𝛽 = 𝑏
𝑗
для некоторых 𝑖 и 𝑗 . Если эти со-
бытия оказываются независимыми при любых 𝑖 и 𝑗 , то величины 𝛼 и 𝛽 на-
зываются независимыми случайными величинами. Вспоминая определение
независимых событий, можно сказать так: величины 𝛼 и 𝛽 независимы, если
вероятность события «𝛼 = 𝑎
𝑖
и 𝛽 = 𝑏
𝑗
» равна произведению вероятности
события «𝛼 = 𝑎
𝑖
» и вероятности события «𝛽 = 𝑏
𝑗
».
Например, если мы бросаем два кубика и считаем равновероятными все
пары исходов, то событие «на первом кубике выпала тройка и на втором
выпала пятёрка» имеет вероятность 1/36, и это равно произведению веро-
ятностей событий «на первом кубике выпала тройка» (1/6) и «на втором
кубике выпала пятёрка» (также 1/6). То же самое верно и для других зна-
чений (не только тройки и пятёрки), поэтому случайные величины «число
очков на первом кубике» и «число очков на втором кубике» независимы.
107 Докажите, что если величины 𝛼 и 𝛽 независимы, то математи-
ческое ожидание их произведения равно произведению их математических
ожиданий.
Заметим, что аналогичное утверждение для суммы двух величин было
верно без всяких предположений о независимости.
47

◁ По определению, математическое ожидание величины 𝛼 есть сумма
∑
𝑎
𝑖
Pr[𝛼 = 𝑎
𝑖
]
(значение величины 𝑎
𝑖
умножается на вероятность, с которой она принимает
это значение). Для величины 𝛽 получаем сумму
∑
𝑏
𝑗
Pr[𝛽 = 𝑏
𝑗
].
Если перемножить эти две суммы и раскрыть скобки, то получится двойная
сумма (по всем парам индексов 𝑖 и 𝑗 ):
∑
𝑎
𝑖
𝑏
𝑗
Pr[𝛼 = 𝑎
𝑖
] Pr[𝛽 = 𝑏
𝑗
].
По предположению величины 𝛼 и 𝛽 независимы, поэтому эту сумму можно
переписать как
∑
𝑎
𝑖
𝑏
𝑗
Pr[𝛼 = 𝑎
𝑖
, 𝛽 = 𝑏
𝑗
],
и мы получаем сумму значений величины 𝛼
·
𝛽 с коэффициентами, равны-
ми вероятностям этих значений, то есть математическое ожидание величины
𝛼
·
𝛽. (Тут есть формальная неточность: возможен случай, когда одно и то
же произведение 𝑎
𝑖
𝑏
𝑗
получается при разных парах (𝑖, 𝑗 ); тогда соответству-
ющие члены надо сгруппировать и вынести 𝑎
𝑖
𝑏
𝑗
за скобки.) ▷
Важное свойство независимых величин даётся следующей задачей:
108 Докажите, что дисперсия суммы независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий.
◁ Как мы видели в задаче 104 (с. 43), дисперсию суммы величин 𝛼 + 𝛽
можно записать как
E((𝛼 + 𝛽)
2
)
−
(E(𝛼 + 𝛽))
2
.
Раскрыв скобки в первом слагаемом и используя линейность математического
ожидания во втором, получаем
E(𝛼
2
+ 2𝛼𝛽 + 𝛽
2
)
−
(E𝛼 + E𝛽)
2
или (снова применяем линейность)
E(𝛼
2
) + 2E(𝛼𝛽) + E(𝛽
2
)
−
(E𝛼)
2
−
2(E𝛼)(E𝛽)
−
(E𝛽)
2
.
Осталось использовать предположение о независимости (до сих пор не ис-
пользованное), благодаря которому E(𝛼𝛽) = (E𝛼)(E𝛽), и снова сослаться
на ту же задачу 104. ▷
48

Эта задача позволяет доказать утверждение (2) закона больших чисел.
В самом деле, пусть 𝛼
𝑖
есть величина «число орлов на 𝑖 -й монете». Мы
уже знаем, что её дисперсия равна 𝑝𝑞. А нас интересует дисперсия суммы
величин 𝛼
1
+ . . . + 𝛼
𝑛
. Мы хотим сказать, что поскольку эти величины не-
зависимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Но формально мы
не определяли независимости для нескольких величин, поэтому надо приба-
влять их по одной: если мы уже знаем, что D(𝛼
1
+. . .+𝛼
𝑖
−
1
) = (𝑖
−
1)𝑝𝑞 и
что величины 𝛼
𝑖
и 𝛼
1
+. . .+𝛼
𝑖
−
1
независимы, то по доказанному получаем
D(𝛼
1
+ . . . + 𝛼
𝑖
−
1
+ 𝛼
𝑖
) = (𝑖
−
1)𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 = 𝑖𝑝𝑞.
Осталось доказать независимость:
109 Величины 𝛼
1
+ . . . + 𝛼
𝑖
−
1
и 𝛼
𝑖
независимы.
◁ Нам надо доказать независимость событий 𝛼
1
+ . . . + 𝛼
𝑖
−
1
= 𝑥 и
𝛼
𝑖
= 𝑦. Но первое из них определяется результатами бросания первых 𝑖
−
1
монет, и вероятности этих результатов не изменятся, если добавить усло-
вие 𝛼
𝑖
= 𝑦, так что условные вероятности равны безусловным, что и даёт
независимость.▷
Наконец, последнее утверждение закона больших чисел легко следует из
неравенства Чебышёва: если среднее значение квадрата отклонения равно
𝑛𝑝𝑞, то вероятность того, что этот квадрат будет больше или равен 𝑘
2
(то
есть что отклонение достигнет 𝑘 в любую сторону) не больше 𝑛𝑝𝑞/𝑘
2
, что
и требуется. (Заметим, что квадрат отклонения всегда неотрицателен.)
Доказательство закона больших чисел закончено.
В заключение обсуждения закона больших чисел | замечание для чи-
тателей с философским складом мышления (возможно, загадочное, но зато
короткое). Иногда говорят, что закон больших чисел «обосновывает» при-
менение теории вероятностей к практике, поскольку «доказывает», что при
большом числе испытаний частота должна быть близка к вероятности. На
самом деле тут есть определённый порочный круг: закон больших чисел го-
ворит лишь, что большие уклонения частоты от вероятности маловероятны,
и если мы не принимаем заранее, что вероятность события близка к частоте
его появления или хотя бы что события с малой вероятностью практически
не происходят, то утверждение закона больших чисел ничего конкретного
нам не говорит.
Утверждение о том, что «события с малой вероятностью не происхо-
дят», так или иначе уточнённое, часто рассматривают как связующее звено
между математической теорией вероятностей и утверждениями о реальном
мире. Его иногда называют «принципом Курно» (по имени французского эко-
номиста и математика О. Курно, 1801{1877) или «принципом Бореля» (по
49

имени выдающегося французского математика Э. Бореля, 1871{1956). В сво-
ей книжке «Вероятность и достоверность» (русский перевод: М.: Физматгиз,
1961) Борель пишет: «не следует бояться применить слово достоверность
для обозначения вероятности, которая отличается от единицы на достаточ-
но малую величину». (И действительно, в практической жизни естественно в
большей степени принимать во внимание события, которым теория приписы-
вает большую вероятность, | и потому, если вычисленная нами вероятность
какого-то опасного события меньше вероятности попасть под метеорит, то
вряд ли стоит опасаться этого события. Но принцип этот следует применять
с осторожностью и не уподобляться профессору математики из анекдота, ко-
торый решил, что вероятность наличия бомбы в самолёте ещё недостаточно
мала, чтобы ей можно было пренебречь, но вероятность наличия двух бомб
уже достаточно мала | и потому одну возил с собой!)
24. Парадоксы теории вероятностей
С вероятностями и их оценкой связано множество парадоксов, которые
часто и подолгу обсуждают самые разные люди | от домохозяе[в/к] до
философов науки (и не всегда легко отличить тех от других). Большинство
недоразумений связано с нечёткой формулировкой изначальных предположе-
ний. Мы уже не раз говорили, что любой подсчёт вероятностей начинается
с некоторой гипотезы (все грани кубика встречаются одинаково часто, в по-
ловине случаев выпадает орёл и т. п.), и в случае неясностей стоит прежде
всего попытаться отчётливо сформулировать эту гипотезу (указать вероят-
ностное пространство и распределение вероятностей на нём, как сказали бы
математики).
Случайное направление. Некто приходит на станцию метро в слу-
чайный момент и садится в первый пришедший поезд (в ту или другую
сторону). Оказывается, что в одну сторону он едет гораздо чаще, чем в
другую. Как так может быть?
Конечно, можно допустить, что в одну сторону больше рейсов, чем в
другую (а обратно поезда перегоняют ночью или в обход по другой ветке).
Но нет ли более простого объяснения?
Оказывается, есть. Чтобы понять это, уточним слова «приходит на стан-
цию в случайный момент». Пусть, скажем, он приходит с 10:00 до 11:00, при
этом в одной шестидесятой всех случаев в первую минуту (с 10:00 до 10:01),
в одной шестидесятой | во вторую минуту и т. д. Если при этом поезда в
одну сторону идут в 10:00, 10:10, 10:20, . . . , а в другую | в 10:02, 10:12,
10:22, . . . , то в обе стороны они идут с десятиминутными интервалами, но
шансы поехать в ту и в другую сторону относятся как 8 к 2.
50

Какие автобусы переполнены? (Ю. Неретин). Двое кончают работу од-
новременно и идут к автобусной остановке вместе. Каждый уезжает на
первом подъехавшем автобусе: одному нужен 130-й автобус, другому |
103-й. При этом первый считает, что в среднем 130-е автобусы более
полные, а второй | что 103-е. Почему так может быть? (Речь не идёт
о зависти или о том, что каждый учитывает себя как лишнего пассажира.)
Дело тут в том, что каждый оценивает заполненность «своего» автобуса
по тому автобусу, в который он сел, а «чужого» | по проходящим до этого
автобусам. Представим себе для примера, что автобусы каждого маршрута
ходят парами: сначала долго нет, а потом сразу два с небольшим промежут-
ком. При этом первый автобус в каждой паре полный (накопился народ), а
второй почти пустой. Тогда ожидающий «своего» автобуса скорее всего ся-
дет в полный (вероятность попасть между двумя близкими автобусами пары
мала), а проезжающие «чужие» автобусы будут и полные, и пустые.
Телешоу. Ведущий приносит три одинаковых закрытых коробки, в од-
ной из которых лежит приз. Участник выбирает одну из коробок, после
чего ведущий (который знает, где на самом деле лежит приз) открывает
одну из двух оставшихся, показывает, что там приза нет, и предлагает
участнику подумать ещё и подтвердить или изменить свой выбор. Как
должен поступить участник?
Оказывается, что смена выбора вдвое увеличивает шансы выиграть приз.
Другими словами, игрок, который всегда меняет свой выбор, будет выигры-
вать вдвое чаще, чем игрок, который этого не делает. Хотя многим это ка-
жется парадоксальным, объяснение совсем простое. Пусть игрок решил, что
он выберет случайно одну из трёх коробок и затем будет стоять на своём.
Тогда вся процедура с открыванием других коробок роли не играет, и он вы-
играет, если сразу же укажет правильную коробку. Это будет происходить
примерно в трети всех игр (разумное предположение, если игрок не умеет
видеть сквозь коробки и выбирает коробку случайно).
Рассмотрим теперь другого игрока, который заранее решил, что после
открывания пустой коробки изменит свой выбор (и укажет на третью короб-
ку | не ту, которую открыл ведущий, и не ту, на которую игрок указал
изначально). В каком случае эта стратегия приведёт к успеху? Это случится,
если в изначально выбранной коробке приза не было, то есть примерно в
двух третях игр (при тех же предположениях).
Наш анализ предполагает, что игра проводится по одному и тому же
сценарию многократно | и что этот сценарий именно таков, как описано
(ведущий сначала кладёт приз в случайно выбранную коробку, а затем от-
крывает одну из пустых коробок). Но из этого анализа не следует никаких
практических выводов, если вы попали на телешоу первый и последний раз
в жизни и не знаете сценария шоу (хотя и верите, что ведущий вас не обма-
51

нывает и что действительно в одной из коробок есть приз).
В самом деле, представим себе такой сценарий: если игрок указал на ко-
робку с призом, то ведущий открывает одну из пустых коробок и предлагает
подумать ещё, а если игрок указал на пустую коробку, то ведущий немедлен-
но открывает её. При таком сценарии две трети игр сразу же кончатся без
выигрыша, а в трети случаев игроку будет предложено сделать второй ход
(и менять свой ход в этом сценарии означает отказываться от выигрыша).
Ещё одно замечание: мы не уточнили, как ведущий выбирает пустую ко-
робку (если есть выбор). Это не важно для нашего анализа | всё равно
игрок, всегда меняющий свой выбор, выигрывает в 2/3 всех игр. (Но услов-
ные вероятности в конкретных ситуациях могут быть другими: если, скажем,
мы знаем, что ведущий всегда выбирает левую из двух пустых коробок, мы
указали на среднюю, а он открыл правую, то приз наверняка в левой!)
Два конверта. Ведущий приносит два одинаковых конверта и говорит,
что в них лежат деньги, причём в одном вдвое больше, чем в другом. Двое
участников берут конверты и тайком друг от друга смотрят, сколько в
них денег. Затем один говорит другому: «Махнёмся не глядя?» (предлагая
поменяться конвертами). Стоит ли второму соглашаться?
Вообще-то тут дело ясное: игра симметрична, и никаких причин считать,
что у противника шансы лучше и меняться с ним, нет. С другой стороны,
игрок может рассуждать так: в моём конверте лежит сколько-то рублей,
скажем, 𝑎. Это значит, что у другого игрока либо 2𝑎 рублей, либо 𝑎/2
рублей. В первом случае, согласившись на обмен, я выиграю 𝑎 рублей; во
втором | проиграю 𝑎/2 рублей. Так как возможности выиграть и проиграть
равновероятны, а выигрыш превышает проигрыш, то обмен мне выгоден.
В чём ошибка? Как всегда, надо понять схему проведения опыта. До-
пустим, что такая игра проводится многократно. Условие неразличимости
конвертов означает, что примерно в половине случаев у первого игрока бу-
дет вдвое меньше денег, чем у второго, а в половине случаев наоборот. Но
чтобы проанализировать игру более детально, нам надо знать, как действует
ведущий, вкладывая деньги в конверты. Тут возможны разные варианты.
Пусть, например, ведущий всегда кладёт в один конверт рубль, а в дру-
гой | два. Тогда игрок, обнаруживший в своём конверте рубль, всегда про-
игравший, а игрок, обнаруживший два | всегда выигравший. И если игрок,
видя рубль, думает, что с вероятностью 1/2 (в половине случаев) он на
обмене выиграет рубль, а с вероятностью 1/2 (в другой половине случаев)
проиграет полтинник, то он неправ. Другими словами: вероятность выиграть
от обмена действительно равна 1/2, но вероятность выиграть при условии,
что в конверте данная сумма 𝑎, вовсе не равна 1/2, и вычисление среднего
выигрыша неверное. (При описанной схеме действий ведущего вероятность
выиграть от обмена равна единице при 𝑎 = 1 и нулю при 𝑎 = 2.)
52

Для большей убедительности можно рассмотреть какой-нибудь другой
способ действий ведущего. Предположим, например, что в половине случаев
он кладёт в конверты рубль и два, а в половине случаев | два и четыре.
Тогда есть четыре равновероятные возможности:
•
у первого игрока рубль, у второго | два;
•
у первого игрока два рубля, у второго | рубль;
•
у первого игрока два рубля, у второго | четыре;
•
у первого игрока четыре рубля, у второго | два.
На каждую из них приходится примерно четверть всех случаев. Что мож-
но сказать о выгодности обмена? Если первый игрок видит рубль, то с ве-
роятностью 100% обмен ему выгоден (+1 рубль при обмене). Если первый
игрок видит в своём конверте два рубля, то в половине этих случаев у его
противника рубль (
−
1 рубль), а в половине случаев у противника четыре
рубля (+2 рубля). Наконец, если у первого четыре рубля, то обмен с веро-
ятностью 100% невыгоден (
−
2 рубля).
Таким образом, при этой схеме рассуждение c +𝑎 и
−
𝑎/2 оказывается
правильным для случая, когда первый игрок видит у себя два рубля (при
этом шансы выиграть и проиграть равны, и в среднем обмен ему выгоден),
но неверным в двух других случаях.
Говоря математически, наш парадокс показывает лишь, что не существует
такого распределения вероятностей на конвертах (с конечным числом вари-
антов), при котором условные вероятности проиграть и выиграть при усло-
вии «в конверте первого игрока оказалось 𝑎 рублей» были бы равны при
любом 𝑎.
С практической точки зрения тот факт, что вероятность выигрыша при
условии наличия 𝑎 рублей зависит от 𝑎, придаёт задаче психологический
оттенок: игрок должен прикинуть, насколько его противник разбирается в
ситуации и что можно сказать про количество денег в конвертах, если про-
тивник предлагает обмен, считая его для себя выгодным.
(Более формальная версия парадокса, отчасти ставящая под сомнение
приведённое выше объяснение, такова. Рассмотрим распределение вероятно-
стей, при котором содержание конвертов может быть равно (1, 2), (2, 4),
(4, 8) и так далее до бесконечности, а вероятности этих вариантов убывают
как геометрическая прогрессия со знаменателем, близким к единице. Для
каждого из вариантов вероятность получить тот или другой конверт равна
1/2. Если у игрока на руках оказалось 𝑎 (и 𝑎
6
= 1), то вероятность того, что
у другого игрока 2𝑎, лишь немного меньше того, чем вероятность 𝑎/2. Если
же 𝑎 = 1, у другого игрока наверняка больше. Поэтому по математическому
ожиданию обмен выгоден при любом 𝑎. Нельзя ли прийти к противоречию,
заметив, что у каждого из игроков математическое ожидание (без условий)
меньше, чем у другого? Нет, так как у обоих игроков математическое ожи-
дание бесконечно.)
53

Удвоение ставок. Сыграем в орлянку (или любую другую честную игру
с равными шансами выиграть и проиграть) на рубль. Если мы выиграли,
уходим. Если проиграли, удваиваем ставки и так далее | до первого
выигрыша. В итоге к моменту ухода мы отыграемся и даже выиграем
рубль: (
−
1) + 2 = 1, (
−
1) + (
−
2) + 4 = 1, (
−
1) + (
−
2) + (
−
4) + 8 = 1 и
так далее. Получается, что мы гарантируем себе выигрыш, в то время
как в среднем в честной игре мы должны оставаться при своих. Как же
так?
Математики скажут, что этот парадокс демонстрирует, что к среднему
значению «суммы» бесконечно многих слагаемых надо относиться с осто-
рожностью: вполне может быть, что среднее каждого слагаемого нулевое, а
среднее всей суммы положительно.
Оставаясь в рамках здравого смысла, парадокс можно анализировать так.
Пусть мы приходим в казино каждое утро и играем по описанной схеме.
Примерно в половине всех случаев мы уйдём сразу, выиграв рубль. В другой
половине случаев мы проиграем рубль и поставим два: в четверти случаев
мы выиграем и снова уйдём с рублём, а в четверти проиграем 3 рубля. Таким
образом, после двух ставок суммарный результат такой: в 3/4 случаев мы
выигрываем рубль, в 1/4 случаев проигрываем 3 рубля. После трёх ставок
ситуация аналогична: в 7/8 случаев мы выигрываем рубль, а в 1/8 случаев
проигрываем 7 рублей. Так что средний выигрыш и после двух, и после трёх
ставок действительно нулевой. То же самое будет и при любом ограничении
на число ставок: несложно проверить, что если мы ставим максимум 𝑁 раз,
то с вероятностью 1
−
1/2
𝑁
мы выигрываем рубль, а с вероятностью 1/2
𝑁
проигрываем 2
𝑁
−
1 рублей, и среднее равно нулю.
Парадокс с положительным выигрышем получается, лишь если мы пред-
положим, что количество ставок не ограничено | но о математических труд-
ностях мы уже говорили, а практически, надо полагать, казино откажется
играть на большие суммы без соответствующего обеспечения со стороны
игрока.
Парадокс Бернулли. Лотерейный билет даёт право сыграть в такую
игру: в половине случаев (с вероятностью 1/2) мы выигрываем рубль, в
половине оставшихся (с вероятностью 1/4) мы выигрываем два рубля, в
половине из оставшихся (с вероятностью 1/8) мы выигрываем 4 рубля
и так далее (вероятности делятся пополам, а выигрыши удваиваются).
Какова «справедливая цена» такого билета?
Лотерею с такими правилами можно представлять себе так: бросают мо-
неты до первого появления орла и платят 2
𝑛
, где 𝑛 | число решек до
появления орла (каждая решка до орла удваивает ставку).
Вообще-то мы говорили, что «справедливая цена» лотерейного билета |
это математическое ожидание выигрыша, тогда мы будем в среднем оставать-
54

ся при своих. Здесь математическое ожидание получается бесконечным, если
пытаться вычислять его как сумму произведений вероятностей на выигрыш:
1
2
·
1 +
1
4
·
2 +
1
8
·
4 + . . . =
1
2
+
1
2
+
1
2
+ . . .
Между тем вряд ли кто согласится дорого покупать такой билет. (Прикиньте,
стали ли бы вы платить за него, скажем, 1000 рублей? Скорее всего нет.)
Этот парадокс обсуждался в статье Даниила Бернулли, опубликованной в
журнале Санкт-Петербургской академии наук в 1738 году, поэтому получил
называние «петербургского парадокса». С тех пор философы и экономисты
написали про это множество статей, и среди их соображений немало разум-
ных. Например, сам Даниил Бернулли предлагал такое объяснение: субъ-
ективная полезность денег не пропорциональна их количеству, и лишняя
тысяча сильно обрадует бедняка и почти безразлична богачу, а при расчёте
справедливой цены надо учитывать именно эту самую полезность.
Можно предложить и другое объяснение: поскольку общее количество
денег в мире не так велико (ну, или количество товаров | если допускать
безналичные деньги), то обязательства организаторов лотереи не могут быть
выполнены при большом числе решек и реально в сумме для математическо-
го ожидания остаётся совсем немного членов (если оценить с запасом число
рублей в мире как 2
100
, математическое ожидание будет не больше 50 ру-
блей).
Наконец, можно отметить и следующее соображение: говоря о математи-
ческом ожидании как «справедливой цене», мы обосновывали это тем, что
в среднем при большом числе игр игрок будет оставаться при своих. Но
чтобы малая вероятность повлияла на среднее, необходимо большое число
испытаний. Скажем, чтобы на деле воспользоваться обещанием выплатить
2
20
рублей, если до первого орла будет 20 решек, нам нужно, чтобы та-
кое хоть раз произошло. На это разумно рассчитывать, лишь если число игр
сравнимо с 2
20
, так что соображения о среднем становятся осмысленными
лишь при нереально большом числе игр.
Вероятностный вариант парадокса лжеца. Известный «парадокс лжеца»
состоит в следующем. Некто говорит «Это моё утверждение ложно.» Будет
ли его утверждение истинным или ложным? (Любой ответ приводит к про-
тивоположному.) Парадокс лжеца имеет забавный вероятностный вариант
(twitter.com/#!/jbrownridge, 28 октября 2011):
Если вы выберете ответ на этот вопрос случайно, какова вероят-
ность правильного ответа?
(а) 25%;
(б) 50%;
(в) 60%;
(г) 25%.
55

25. Коротко о разном
В этом разделе собраны задачи и короткие заметки на разные темы; во
многих случаях они выходят за рамки схемы подсчёта частот, о которой
мы говорили (скажем, множество возможных исходов эксперимента беско-
нечно), но всё же выглядят достаточно разумно с точки зрения здравого
смысла.
Математическое ожидание числа бросаний
Будем бросать честную монету, пока не выпадет орёл; как только вы-
падет, останавливаемся. Каково математическое ожидание числа бросаний
(включая последнее, с орлом)?
Одного бросания достаточно с вероятностью 1/2, двух | с вероятностью
1/4, трёх | с вероятностью 1/8 и так далее, поэтому надо искать сумму
ряда
∑
𝑛/2
𝑛
. Это несложно, но удобно объяснить вычисление в терминах
теории вероятностей.
Пусть искомое среднее (математическое ожидание) равно 𝑆 . В половине
случаев достаточно одного бросания (среднее в этой части равно 1), а в
половине случаев первое бросание не помогает и мы начинаем всё с нуля (в
этой половине среднее равно 1 + 𝑆 ). Получаем уравнение
𝑆 =
1
2
·
1 +
1
2
·
(1 + 𝑆 ),
из которого мы находим, что 𝑆 = 2.
Можно предложить и другое объяснение. Будем повторять опыт (броса-
ние монеты до первого орла) много раз, записывая подряд результаты всех
бросаний. Другими словами тот же процесс можно описать так: мы разреза-
ем случайную последовательность орлов и решек (результаты бросаний) на
участки, заканчивающиеся орлом, то есть присоединяем к орлу все предше-
ствующие ему решки. Число таких групп будет равно числу орлов, то есть
примерно половине общего числа бросаний. Следовательно, средний размер
группы (общее число бросаний, делённое на число групп) примерно равен 2.
110 Найдите среднее число бросаний игрального кубика, если мы оста-
навливаемся, получив шестёрку.
111 Найдите среднее число бросаний монеты, если мы останавливаемся,
получив двух орлов (не обязательно подряд).
Немного сложнее найти среднее число бросаний монеты, если мы оста-
навливаемся, получив двух орлов подряд. Усредняя отдельно в зависимости
от итогов первого бросания, получаем, что
𝑆 =
1
2
·
(1 + 𝑆 ) +
1
2
·
(1 + 𝑆
0
),
56

где 𝑆
0
| среднее число бросаний монеты до появления двух орлов подряд,
если только что был орёл (считаются бросания после этого орла). Теперь
надо написать уравнение для 𝑆
0
: в половине случаев выпадает орёл и хватает
одного бросания, а в половине случае выпадает решка, и задача сводится к
исходной. Получаем, что
𝑆
0
=
1
2
·
1 +
1
2
·
(1 + 𝑆 ),
Решая эту систему уравнений, получаем 𝑆 = 6, 𝑆
0
= 4.
112 Найдите среднее число бросаний монеты, если мы останавливаемся,
получив решку сразу за орлом (комбинация 01). [Ответ: 4.]
Может показаться парадоксальным, что в этой задаче получается мень-
ший ответ, чем в предыдущей: при бросании двух монет вероятности полу-
чить 00 и 01 одинаковы, но среднее время ожидания 01 меньше, чем для
00. (Если вдуматься, то это не так и удивительно: ведь если выпал 0, то из-
бежать появления 01 можно только с одними нулями, а избежать появления
00 можно несколькими способами (111 . . . и 1010 . . ., например.)
Нечестная игра
Давайте сыграем в такую игру: вы называете одну из восьми комбинаций
001, 010, 010, 011, 100, 101, 110, 111, я называю другую, потом мы бросаем
монету до тех пор, пока в последовательности нулей и единиц (результаты
бросаний) не появится одна из двух наших комбинаций. Тот, чья комбинация
появится, выиграл.
(Из предыдущего обсуждения мы знаем, что некоторые комбинации тре-
буют в среднем меньшего числа бросаний, чем другие, но первый игрок
может выбрать любую | так в чём же подвох?)
Тем не менее игра нечестная, и даже удивительно, насколько нечестная:
шансы второго игрока в ней по крайней мере вдвое выше. Дело в том, что
он выбирает свою комбинацию, уже зная комбинацию первого, и может вы-
брать её так, чтобы она появилась раньше с вероятностью по крайней мере
2/3. Например, если вы выберете 010, то я могу назвать 001 и выиграю с
вероятностью 2/3.
Чтобы убедиться в этом, обозначим через 𝑝
00
, 𝑝
01
, 𝑝
10
, 𝑝
11
вероятности
вашего выигрыша при последних цифрах 00, 01, 10, 11 (в предположении,
что раньше никто не выиграл). Их можно найти из системы уравнений
𝑝
00
=
1
2
𝑝
00
+
1
2
·
0, 𝑝
01
=
1
2
·
1+
1
2
𝑝
11
, 𝑝
10
=
1
2
𝑝
00
+
1
2
𝑝
01
, 𝑝
11
=
1
2
𝑝
10
+
1
2
𝑝
11
.
(Первое уравнение: если после двух нулей появляется ещё нуль, то мы
остаёмся в ситуации двух нулей; если появляется единица, то я выигрываю.
57

Второе: если после 01 появляется 0, то вы выигрываете; если появляется 1,
то мы переходим в ситуацию 11, и так далее.)
Первое уравнение показывает, что 𝑝
00
= 0 (и это понятно: пока про-
должаются нули, никто не выигрывает, а при первой единице выигрываю
я); далее легко находим 𝑝
01
= 2/3, 𝑝
10
= 𝑝
11
= 1/3. Поскольку при пер-
вых двух бросаниях все четыре варианта равновероятны, общая вероятность
вашего выигрыша равна 1/3.
113 Покажите, что 000 появляется раньше 100 с вероятностью 1/8.
[Указание: если три нуля не выпали сразу, то раньше комбинации 100 они
появиться уже не смогут.]
114 Найдите выгодные ответы для других вариантов первого хода.
Случайные блуждания
Представим себе прямую дорогу между двумя лужами; человек стоит
на этой дороге и случайным образом движется в одну и в другую сторону:
будем считать, что раз в секунду он делает шаг и что направление этого
шага определяется бросанием честной монеты. Когда он попадает в лужу,
прогулка заканчивается. Вопрос: с какой вероятностью он попадёт в ту и в
другую лужу, если до одной из них 𝑘 шагов, а до другой 𝑙 ? (Время движения
не ограничено.)
Довольно ясно, что сумма этих вероятностей равна единице, так как ве-
роятность не угодить ни в одну из луж стремится к нулю с увеличением
времени движения. И, видимо, больше та из двух вероятностей, где лужа
ближе. Но насколько?
Пусть расстояние между лужами равно 𝑁 шагов. Обозначим через 𝑝
𝑛
вероятность попасть в (скажем) левую лужу, если до неё 𝑛 шагов (а до пра-
вой, соответственно, 𝑁
−
𝑛). Ясно, что 𝑝
0
= 1 (уже), а 𝑝
𝑁
= 0 (попадание
в лужу заканчивает движение).
Если движение началось в точке 𝑖 , то в половине случаев мы перейдём
в 𝑖
−
1, а в половине | в 𝑖 + 1. Поэтому
𝑝
𝑖
=
1
2
𝑝
𝑖
−
1
+
1
2
𝑝
𝑖 +1
.
Это значит, что числа 𝑝
0
, 𝑝
1
, . . . , 𝑝
𝑁
образуют арифметическую прогрес-
сию. Зная в ней первый и последний члены, можно определить любой:
𝑝
𝑖
= 1
−
𝑖/𝑁 . Другими словами, шансы попасть в ту и другую лужи обратно
пропорциональны расстояниям до них.
Что будет, если лужа есть только с одной стороны? Оказывается, что с
единичной вероятностью мы в неё попадём независимо от расстояния до неё.
В самом деле, пусть это расстояние 𝑘. Если с другой стороны есть лужа
на расстоянии 𝑙 , то вероятность попасть в первую лужу равна 𝑙/(𝑘 + 𝑙 ).
58

Если вторую лужу убрать, то эта вероятность может только увеличиться
(попадание во вторую лужу может лишь помешать), так что вероятность
попадания в первую больше 𝑙/(𝑘 + 𝑙 ) = 1
−
1/(𝑘 + 𝑙 ) при любом 𝑙 | а
значит, равна единице.
115 Найдите математическое ожидание числа шагов (до попадания в
одну из луж) для всех начальных положений. [Указание: обозначим его 𝑚
𝑖
для начала на расстоянии 𝑖 от левой лужи; тогда 𝑚
𝑖
= 1 + (𝑚
𝑖
−
1
+ 𝑚
𝑖 +1
)/2,
откуда можно заключить, что 𝑚
𝑖
есть квадратный трёхчлен от 𝑖 .]
116 (Несимметричное блуждание.) Мы находимся в 𝑘 шагах справа от
лужи и двигаемся влево и вправо с вероятностями 𝑝 и 𝑞 (при этом 𝑝 +
+ 𝑞 = 1; движение на следующем шаге не зависит от предыстории). Какова
вероятность (рано или поздно) попасть в лужу? [Указание: при 𝑝 = 𝑞 = 1/2
эта вероятность равна 1; отсюда можно заключить, что при 𝑝 > 1/2 она тоже
равна 1, но при 𝑝 < 1/2 она оказывается строго между нулём и единицей.]
117 В клетках по краям доски 8
×
8 написаны числа. Докажите, что
можно так заполнить остальные клетки доски числами, чтобы каждое число
равнялось среднему арифметическому четырёх соседей. [Указание: начнём
случайное блуждание из клетки, когда дойдём до края, остановимся и по-
смотрим, какое там число. Математическое ожидание этого числа запишем
в исходную клетку.]
Задача о шляпах
Трёх игроков отведут в комнату, где наденут на них (случайно и неза-
висимо) белые или чёрные шляпы. Каждый видит цвет двух других шляп и
должен написать на бумажке одно из трёх слов: «белый», «чёрный» и «пас»
(не советуясь с другими и не показывая им свою бумажку). Команда вы-
игрывает, если хотя бы один из игроков назвал правильный цвет и ни один
не назвал неправильного. Как им сговориться действовать, чтобы увеличить
шансы?
Если какой-то заранее выбранный игрок пишет (скажем) «белый», а все
остальные | «пас», то вероятность успеха 1/2 (этот игрок угадает с вероят-
ностью 1/2, а остальные не помешают). Удивительным образом эта страте-
гия не оптимальна. Вот лучшая: если игрок видит шляпы разного цвета, то
он пишет «пас», а если одинакового | то указывает противоположный цвет.
Проигрышные ситуации | когда все шляпы одного цвета (вероятность 1/4).
Аналогичный вопрос можно задать и для большего числа игроков; как ни
странно, вероятность выигрыша может быть и большей; скажем, для 7 игро-
ков есть стратегия, успешная в 7/8 всех случаев (и это связано с так назы-
ваемым кодом Хемминга из теории кодирования).
59

Недоверчивые игроки
Два игрока хотят сыграть в орлянку, но не доверяют друг другу: ка-
ждый подозревает, что монета противника несимметричная. Как быть? Мож-
но предложить такой способ: они одновременно бросают монеты (каждый
свою): если обе монеты выпали орлом или обе решкой, то выиграл первый
игрок, если по-разному | то второй. Этот способ основан на том, что ес-
ли монеты независимы и хотя бы одна из них симметрична, то вероятность
выигрыша в такой игре равна 1/2.
118 Как можно имитировать бросание честного кубика, если каждый из
двух игроков сомневается в качестве кубика у его противника?
В сущности, нет необходимости производить бросания монеты (или ку-
бика) публично. Можно разрешить каждому игроку принести запечатанный
конверт, внутри которого лежит бумажка «орёл» или «решка». Конверты
вскрывают, и если там одно и то же, то выиграл первый, а если разное |
то второй. Тогда каждый из игроков может сам заранее бросить честную мо-
нету и быть уверенным в честности пари (если только противник не может
подсмотреть заранее результат бросания или подменить конверт в последний
момент, уже зная содержимое конверта противника).
Специалисты по теории игр говорят об игре с неполной информаци-
ей; каждый из игроков делает свой ход, не зная хода противника, и после
этого уже не может его изменить. В этой игре у каждого из игроков есть
вероятностная стратегия (заранее бросить честную монету), которая га-
рантирует вероятность выигрыша 1/2 при любых действиях противника.
119 Рассмотрим такую игру с неполной информацией: я зажимаю в
кулаке рублёвую или двухрублёвую монету, а вы пытаетесь отгадать, что
именно. Если угадали, то получаете эту монету, если нет | платите штраф
в полтора рубля. Кто из игроков имеет в этой игре преимущество? Как надо
изменить размер штрафа, чтобы игра была «честной»?
120 Согласно утверждению «Новой газеты» (номер от 26.02.2007), при
проведении жеребьёвки (в каком порядке партии расположатся в бюллетене
для выборах в 14 регионах России; в каждом из регионов в выборах участвует
от 5 до 8 партий) «в восьми из четырнадцати регионов на первом месте
h
. . .
i
оказалась партия "Единая Россия\». Докажите, что вероятность такого
события (при честной жеребьёвке данная партия получила первое место в 8
или более регионах из 14) не превосходит 0,003.
7
На самом деле можно предложить несложную процедуру, гарантирую-
щую честное проведение жеребьёвки, если бы такое желание вдруг возникло.
7
В этой задаче было бы опрометчиво применять принцип Курно { Бореля (см. также работу
Г. Андерсена «Новое платье короля»).
60

Эта процедура гарантирует, что если хотя бы одна из партий соблюдает пра-
вила, то результат жеребьёвки будет честным.
121 Предложите такую процедуру. [Указание. Каждая из партий прино-
сит в запечатанном конверте некоторую перестановку; эти конверты одновре-
менно вскрываются в присутствии всех участников и затем последовательно
(скажем, в алфавитном порядке названий партий) выполняются указанные в
них перестановки.]
Свои и чужие места
В 𝑛 конвертах, пронумерованных от 1 до 𝑛, лежат карточки с соответ-
ствующими номерами (номер на карточке совпадает с номером конверта).
Карточки вынимают, перетасовывают (все перестановки равновероятны) и
вкладывают обратно в конверты.
122 Найдите математическое ожидание числа карточек, которые ока-
жутся в своих старых конвертах. [Указание: ответ можно получить практи-
чески без вычислений.]
123 Найдите вероятность того, что ни одна карточка не окажется в
своём старом конверте. [Ответ: 1
−
1+1/2
−
1/6+1/24
−
. . .
±
1/𝑛!
≈
1/𝑒.]
124 Подсчитайте среднее число циклов в случайно выбранной переста-
новке. (Цикл 𝑖
→
𝑗
→
𝑘
→
. . .
→
𝑖 означает, что 𝑖 попало на место 𝑗 ,
которое попало на место 𝑘 и так далее по кругу без повторений до 𝑖 . Кар-
точка в своём собственном конверте считается за цикл длины 1.) [Указание:
пусть 𝑆
𝑛
| среднее число циклов в перестановке 𝑛 элементов. Тогда можно
понять, что 𝑆
𝑛
=
1
𝑛
(𝑆
𝑛
−
1
+ 1) +
𝑛
−
1
𝑛
𝑆
𝑛
−
1
; первое слагаемое соответствует
случаю, когда первая карточка попала в свой конверт, а второе | случаям,
когда она попала в какой-либо другой конверт.]
125 Из клубка с 𝑛 верёвочками выходит 2𝑛 концов. Свяжем их попар-
но в случайном порядке; получится несколько (зацепленных друг за друга)
верёвочных колец разной длины. Найдите математическое ожидание числа
колец.
126 (Н. Н. Константинов) Каждый из 𝑛 пассажиров купил по билету
на 𝑛-местный самолет. Первой зашла сумасшедшая старушка и села на слу-
чайное место. Каждый следующий вошедший занимает своё место, если оно
свободно; если нет, занимает случайное. Какова вероятность того, что по-
следний пассажир займет своё место? [Указание: с точки зрения занятых мест
ничего не изменится, если вновь пришедший пассажир занимает своё место
(а если на нём сидела старушка, то она пересаживается на случайное сво-
бодное место). Вероятность коллизии на последнем шаге не изменится, и
61

произойдёт она в том случае, если старушка будет на одном из двух равно-
вероятных оставшихся мест. Ответ: 1/2.]
Частоты букв и цифр
На практике частоты разных объектов (букв алфавита, цифр и др.) редко
оказываются одинаковыми, и знание частот часто бывает полезным.
Вот что показал подсчёт частоты букв в тексте этой брошюры (точнее,
в одной из предварительных версий | описание результатов меняет эти
результаты!): чаще всех встретилась буква О (10,6%), следующей была буква
Е (8,7%), затем И (8,0%), затем Т (7,3%), затем А (7,3%), затем Н (6,1%),
затем С (5,4%) и так далее. Самой редкой буквой оказался твёрдый знак
(0,02%), а второй по редкости | Ф (0,25%). Примерно такие же результаты
получаются и для других достаточно длинных текстов.
127 Возьмём два разных текста одинаковой длины и напишем их в строч-
ку друг под другом, подсчитав число совпадений (тех 𝑖 , при которых 𝑖 -я бу-
ква первого текста совпала с 𝑖 -й буквой второго текста). Как оценить долю
таких совпадений, зная частоты букв? [Указание: математическое ожидание
числа совпадений равно сумме ожиданий для всех 𝑖 ; считая 𝑖 -е буквы в двух
текстах независимыми, можно оценить вероятность совпадения как сумму
квадратов частот.]
Сведения о частотах можно использовать для расшифровки сообщений,
в которых одни буквы заменены на другие, | надо посмотреть, какие буквы
встречаются чаще всего в шифрованном тексте, и прикинуть, что бы могло
стоять на их месте в исходном сообщении.
Знание частот полезно также для экономного кодирования | ещё Морзе,
составляя свою знаменитую азбуку, старался выбрать для часто встречаю-
щихся букв короткие коды.
А что можно сказать о цифрах? Можно было бы ожидать, что цифры
должны быть равноправны и в среднем встречаться одинаково часто. Однако
это, как правило, не так. Эксперимент с текстом этой брошюры показал, что
самая частая цифра | единица, и она встречается почти в пять раз чаще,
чем самая редкая цифра (семёрка). В другом оказавшемся под рукой файле
единица также оказалось самой частой, а семёрка | самой редкой.
Неравномерность появления разных цифр была замечена давно | ещё в
XIX веке С. Ньюкомб обратил внимание, что первой значащей цифрой чаще
других оказывается единица (рассказывают, что он обратил внимание, что
начальные страницы таблиц логарифмов, использовавшихся для вычисле-
ний, замусолены больше других); более того, он высказал предположение,
что частота цифры 𝑑 (среди первых значащих цифр) должна быть близка
к lg(𝑑 + 1)
−
lg 𝑑 . Впоследствии аналогичное наблюдение (уже в XX ве-
62

ке) сделал Ф. Бенфорд, проанализировавший более 20 тысяч чисел в разных
источниках, поэтому иногда говорят о «законе Бенфорда».
В некоторых ситуациях этот закон можно обосновать математически: на-
пример, он верен для первых цифр степеней двойки (и вообще любого це-
лого числа, кроме степеней 10). Это связано с тем, что lg 2 иррационален и
дробные части его кратных равномерно распределены на единичном отрез-
ке. Аналогичный (но другой) закон можно получить для вторых слева цифр
в степенях двойки; их распределение более близко к равномерному, но не
совсем равномерно.
Предполагается (но никем не доказано), что в разных математических
константах (вроде 𝜋, 𝑒,
√
2 и др.), записанных в виде бесконечных десятич-
ных дробей, все цифры встречаются примерно поровну (каждая с частотой
1/10). Более того, предполагается, что и группы из двух цифр встречаются
с одинаковой частотой, аналогично для любого числа цифр. Такие числа
называют иногда нормальными.
Хорошо перетасованная колода карт
Сейчас во время карточных игр обычно пользуются одной и той же ко-
лодой, тасуя её перед сдачей, но так было не всегда. В «Беседах о русской
культуре» Ю. М. Лотман так описывает карточную игру пушкинских времён:
Каждый из игроков получает колоду карт. Во избежание шулер-
ства, колоды выдаются новые, нераспечатанные. Их распечаты-
вают тут же особым специально отработанным жестом: крест-
накрест заклеенная колода карт резко сжимается левой рукой, в
результате чего заклейка с треском лопается. Дважды играть од-
ной и той же колодой не разрешается, и после полной прокидки
всей колоды (талии) карты бросают под стол, и игроки получают
новые карты. . .
Расход карт был неодинаковым и зависел от форм их употребле-
ния. Это вызвало специализацию. Принятые в России «француз-
ские» карты (несмотря на название, изготовлялись они в середине
XVIII века в Германии, а позже для игральных карт было орга-
низовано русское производство) производились в трёх видах: га-
дальные карты, дорогие, художественно оформленные карты для
неазартных игр и преферанса, предназначавшиеся для многократ-
ного использования, и карты для азартных игр. Расход послед-
них был огромен, и поэтому печатались они довольно небрежно
в расчете на одноразовое использование. . .
В ходе азартных игр требовалось порой большое количество ко-
лод. При игре в фараон банкомет и каждый из понтёров (а их мог-
63

ло быть более десятка) должен был иметь отдельную колоду. . .
Использованная («пропонтированная») колода тут же бросалась
под стол. Эти разбросанные, часто в огромном количестве, под
столами карты позже, как правило, собирались слугами и прода-
вались мещанам для игры в дурака и подобные развлекательные
игры.
Если уж продавать запечатанные колоды, то логично их тасовать на фа-
брике, перед упаковкой. Соответственно на фабрике нужна тасовочная ма-
шина, а также контроль качества на её выходе, проверяющий, что вышедшая
из машины колода хорошо перетасована. Логично? На первый взгляд да, но
если задуматься, что должен делать контролёр качества, то это уже не так
ясно. Может ли он посмотреть на порядок карт в колоде и отвергнуть её
как «плохо перетасованную»? Если нет, то он вообще не нужен. А если он
отвергает некоторые колоды и пропускает некоторые другие, то как это со-
гласуется с тем, что в хорошо перетасованной колоде карт все расположения
одинаково вероятны?
Можно сказать, что карты | дело несерьёзное, но тот же вопрос возни-
кает и в других ситуациях. Скажем, имеются книги с «таблицами случайных
чисел» (мы приводим фрагмент из такой таблицы с миллионом случайных
цифр, выпущенной в 1955 году издательством The Free Press и переизданной
в 2001 году; левая колонка | не случайные цифры, а номера строк):
Спрашивается, может ли такая таблица быть «качественной» и «некаче-
ственной»? Наверное, да: обнаружив в такой книге целую страницу из одних
девяток, читатель скорее всего будет недоволен. Но как это согласуется с
тем, что все комбинации по-настоящему случайных цифр, в том числе и эта,
одинаково вероятны?
Этот философский вопрос (как и вообще философские вопросы) не имеет
однозначного ответа. Один из вариантов ответа даёт алгоритмическая теория
вероятностей: предлагается считать, что таблица хорошая, если её нельзя
сжать, то есть нельзя задать более коротким описанием, чем сама таблица.
(Конечно, это требует уточнений, и при этом возникает много проблем.)
64

Геометрические вероятности
Иногда говорят о равномерном распределении вероятностей на бесконеч-
ном множестве | скажем, о случайно выбранной точке, равномерно распре-
делённой по окружности. Что имеется в виду, например, когда говорят, что
игра типа рулетки честная?
8
Если на окружности выбрана некоторая дуга, то
вероятность того, что точка попадёт внутрь этой дуги, должна быть пропор-
циональна длине дуги и не зависеть от положения этой дуги на окружности.
Другими словами, доля случаев, в которых точка попадает внутрь дуги в 𝛼
градусов, должна быть (при большом числе опытов) близка к 𝛼/360. От-
сюда следует, что аналогичное утверждение верно и для нескольких дуг:
если в рулетке суммарная длина чёрных участков составляет 18/38 длины
окружности,
9
то вероятность выиграть, поставив на чёрное, равна 18/38.
Аналогично говорят о случайной точке, равномерно распределённой на
отрезке | имея в виду, что вероятность попасть в какую-либо часть отрез-
ка пропорциональна длине этой части. Когда говорят, что случайная точка
равномерно распределена в квадрате, имеют в виду, что вероятность попасть
в какую-либо часть квадрата пропорционально площади этой части. (Чтобы
получить такую точку, можно расстелить квадрат в чистом поле и посмо-
треть, в какую точку попадёт первая капля дождя.)
Математическая теория вероятностей для бесконечного числа исходов
далеко выходит за рамки этой брошюры, тем не менее на некоторые вопросы
можно дать правдоподобный ответ, исходя просто из здравого смысла.
128 Рулетку запускают дважды и получают две независимые равномер-
но распределённые точки на окружности. Каково математическое ожидание
величины дуги между ними? (Величина дуги | угол между радиусами, про-
ведёнными в её концы, от 0 до 180
◦
.) [Указание. Довольно ясно, что можно
фиксировать первую точку и искать математическое ожидание длины ду-
ги от фиксированной точки до случайной. Если эту фиксированную точку
взять двумя диаметрально противоположными способами, то сумма дуг бу-
дет 180
◦
, а математическое ожидание суммы равно сумме математических
ожиданий, так что математическое ожидание длины одной дуги равно 90
◦
.]
С другой стороны, некритическое отношение к правдоподобным аргу-
ментам легко приводит к парадоксам. Знаменитый парадокс Бертрана спра-
шивает, какова вероятность того, что случайно выбранная хорда окружно-
8
Пример с рулеткой на самом деле неудачен, так как она поделена на ячейки, в которых
может остановиться шарик. Более подходящим примером является аналогичное устройство, ко-
торое показывали в телеигре «что? { где? { когда?»; там по окружности двигался конец стрелки.
9
В «американской рулетке» окружность разделена на 38 равных частей | 18 красных, 18
чёрных и 2 зелёных; попадание в зелёный сектор (0 или 00) означает, что игроки теряют свои
ставки в пользу казино. В первоначальном варианте рулетки (1842, Франция) была одна зелёная
часть 0; в Америке добавили вторую, чтобы сделать игру более невыгодной для игроков.
65

сти будет длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окруж-
ность. Ответ зависит от того, как мы представляем себе случайный выбор.
Если один из концов хорды фиксирован, а другой равномерно распределён
по окружности, то хорда будет длиннее стороны на дуге в 120
◦
, то есть
вероятность получится равной одной трети. Если мы случайно выбираем
расстояние от центра круга до хорды (равномерно на отрезке от 0 до ради-
уса круга 𝑟), то длинные хорды соответствуют расстояниям меньше 𝑟/2, и
вероятность равна 1/2.
129 Третий способ, рассмотренный Бертраном, таков: выбираем слу-
чайно точку внутри круга (вероятность попадания в некоторую часть круга
пропорциональна её площади) и проводим хорду с серединой в этой точке.
Какова вероятность получить длинную хорду (длиннее стороны вписанного
правильного треугольника) в этом случае?
Хочется надеяться, что для читателя этот парадокс не выглядит парадок-
сальным | мы уже привыкли к тому, что постановка вопроса о вероятности
должна чётко описывать процедуру случайного выбора.
Игла Бюффона
В двух следующих примерах можно математически корректно описать
распределение вероятностей, но это не так просто, и мы ограничимся прав-
доподобными разговорами.
На тетрадный лист «в линейку» (проведены параллельные линии через
равные промежутки) много раз бросают иголку, длина которой равна рассто-
янию между линиями. Какова вероятность того, что иголка пересечёт одну
из линий? Оказывается, что эта вероятность равна 2/𝜋 (так что при большом
усердии можно использовать этот опыт для экспериментального измерения
числа 𝜋).
Вот нестрогое, но достаточно правдоподобное объяснение такого отве-
та. Чтобы пересечь две линии, иголка должна лечь строго перпендикулярно
линиям, так что это событие имеет нулевую вероятность. Поэтому вероят-
ность пересечь линию равна математическому ожиданию числа пересечений.
Это математическое ожидание складывается из суммы ожиданий для частей
иголки. Поэтому если иголку изогнуть, то математическое ожидание не из-
менится, а если её удлинить в 𝛼 раз, то и математическое ожидание увели-
чится в 𝛼 раз. Удлиним иглу в 𝜋 раз и изогнём её по окружности. Тогда
диаметр этой окружности будет в точности равен расстоянию между линия-
ми, и она будет пересекать их ровно два раза (кроме того случая, когда она
в точности коснётся линий | что имеет нулевую вероятность). Из пропор-
циональности находим, что для исходной игры математическое ожидание и
вероятность равны 2/𝜋.
66

Вероятностные доказательства
В следующем примере мы используем теорию вероятностей для реше-
ния задачи, в формулировке которой ничего о вероятности не говорится.
Вот эта задача: 10% поверхности шара (по площади) выкрашено в чёрный
цвет, остальные 90% | белые. Докажите, что можно вписать в шар
куб таким образом, чтобы все вершины куба попали в белые точки.
Решение обманчиво просто: впишем куб 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴
0
𝐵
0
𝐶
0
𝐷
0
в шар случай-
ным образом. Тогда вероятность того, что данная вершина (скажем, верши-
на 𝐴) окажется чёрной, составляет 1/10. Вероятность того, что хотя бы одна
из восьми вершин куба окажется чёрной, не превосходит 8/10 (объединение
восьми событий вероятности 1/10). Значит, бывают случаи (они составляют
по крайней мере 2/10 всех вариантов), когда все вершины белые!
(Трудность в строгом обосновании этого решения состоит в определе-
нии понятия «случайный поворот куба». Соответствующее математическое
понятие называется «мерой Хаара» на группе всех поворотов.)
Вот ещё один пример вероятностного доказательства существования ис-
комого объекта. Дан граф, состоящий из некоторого количества точек
(вершин); некоторые пары вершин соединены линиями (рёбрами). До-
кажите, что можно раскрасить вершины в два цвета таким образом,
чтобы не менее половины рёбер были «разноцветными», то есть соеди-
няли вершины разных цветов.
Вероятностное решение тут совсем простое: будем выбирать цвет вершин
случайно, подбрасывая монету. Тогда для каждого ребра вероятность ока-
заться разноцветным равна 1/2, и поэтому математическое ожидание числа
разноцветных рёбер равно половине общего числа рёбер. А если среднее
по всем раскраскам равно половине числа рёбер, то хотя бы в одном случае
число разноцветных рёбер должно быть не меньше половины (среднее ариф-
метическое чисел, каждое из которых меньше какого-то 𝑋 , будет меньше 𝑋 ).
Значит, искомая раскраска существует.
(Тут, правда, можно обойтись и без всяких вероятностей: добавляя вер-
шины по одной, будем выбирать для новой вершины цвет, отличный от цвета
большинства её соседей.)
В следующей задаче обойтись без вероятностей гораздо сложнее. В метро
есть ограничение на перевозимые предметы: сумма «измерений» (длины, вы-
соты и ширины) не должна превосходить некоторого значения (максимально-
го разрешённого). Возникает такой вопрос: нельзя ли схитрить и обойти это
ограничение, поместив прямоугольную коробку, у которой сумма измерений
слишком большая, внутрь другой, у которой она меньше? Оказывается, что
нет: если один прямоугольный параллелепипед целиком помещается внутри
другого, то сумма измерений первого не больше суммы измерений второго.
67

𝑙
𝐴
𝑋
Казалось бы, при чём тут вероятности? Тем не менее, они
оказываются весьма полезными, и вот каким способом. В сте-
реометрии определяется понятие проекции точки 𝐴 на пря-
мую 𝑙 | это такая точка 𝑋 , что 𝐴𝑋 перпендикулярно 𝑙 .
Можно также говорить о проекции тела на прямую | надо
спроектировать все точки этого тела. Например, проекцией прямоугольного
параллелепипеда будет отрезок. Длина этого отрезка зависит от направления
прямой, её можно назвать толщиной тела в направлении прямой. (Можно
представить себе, что тело зажимают между двумя параллельными плоско-
стями, как между губками штангенциркуля, и измеряют его толщину.) Будем
рассматривать среднюю толщину тела | математическое ожидание длины
его проекции на случайную прямую.
Лемма: средняя толщина прямоугольного параллелепи-
педа пропорциональна сумме его измерений.
Доказательство: как видно из картинки, толщина парал-
лелепипеда складывается из трёх отрезков, каждый из ко-
торых представляет собой проекцию одного из направлений
(длины, ширины и высоты). По свойству линейности матема-
тического ожидания заключаем, что средняя толщина парал-
лелепипеда равняется сумме средних толщин этих отрезков.
(Средняя толщина отрезка, как и для любого тела, определяется как мате-
матическое ожидание длины его проекции на случайную прямую.) Среднюю
толщину отрезка длины 𝑢 можно вычислить, зная математический анализ,
но нам достаточно понимать, что она пропорциональна 𝑢 с каким-то коэф-
фициентом, а сам этот коэффициент не важен. (Пропорциональность ясна:
увеличив длину отрезка во сколько-то раз, мы увеличим длину проекции в
то же самое число раз, и потому математическое ожидание тоже увеличит-
ся во столько же раз.) Таким образом, средняя толщина параллелепипеда
пропорциональна сумме его измерений, что и требовалось доказать.
Остаётся заметить, что если одна коробка вложена в другую, то проекция
первой коробки на любую прямую целиком покрывается проекцией второй
коробки на ту же прямую, и потому имеет меньшую (или такую же) дли-
ну. Раз это верно для любой прямой, то это верно и для математического
ожидания, а потому и для пропорциональной ему суммы измерений.
Вероятность и психология
В своё время в СССР была популярна игра «Спортлото»: в карточке с
49 номерами (от 1 до 49) можно было закрасить 6 цифр и опустить её в
специальный ящик. Во время тиража из «лототрона» выбирали шесть шаров
с цифрами; если они совпадали с закрашенными, игрок получал большой
выигрыш, если совпадали пять из шести | то меньший, и так до трёх со-
68

впадений. (Определённая доля выручки от продажи билетов делилась между
выигравшими по некоторым правилам.)
Вопрос: есть ли (с точки зрения теории вероятностей и в предположе-
нии честности организаторов) разница, какие числа закрашивать? С первого
взгляда кажется, что нет: теория вероятностей учит, что кажущаяся «неслу-
чайной» комбинация цифр, скажем, 1, 2, 3, 4, 5, 6, имеет ту же вероятность
появления, что и любая другая. Однако важна и психология: если игроки
избегают ставок на подобные «красивые» комбинации, считая их «неслучай-
ными», то та же самая сумма денег распределится на меньшее число игроков
в случае выпадения «красивой» комбинации (Н. Венда, Н. Гуревич, Психоло-
гия «Спортлото», Наука и жизнь, 1980, Ђ 1).
Вот ещё один пример, соединяющий теорию вероятностей с психологи-
ей. Предположим, что мы хотим провести опрос общественного мнения по
какому-то деликатному вопросу (типа «всегда ли вы платите за проезд в
электричке» или «как вы относитесь к пятому сроку президента»), так что
опрашиваемые (респонденты, как сказали бы социологи) могут стыдиться
своих (честных) ответов или опасаться последствий. Тогда можно попросить
опрашиваемого тайно от социолога бросить монету; если выпадет орёл, то
опрашиваемый честно отвечает на вопрос, а если решка, то он тайно бросает
монету ещё раз и даёт случайный ответ (результат второго бросания). Лег-
ко подсчитать, что если доля утвердительных ответов на интересующий нас
вопрос на самом деле равна 𝑝, то социолог получит (𝑝 +0,5)/2 утвердитель-
ных ответов, так что легко восстановить истинное 𝑝 с небольшой потерей
точности. С другой стороны, отвечающий всегда может оправдываться, что
у него первый раз выпала решка, его ответ случайный (второе бросание) и
ничего такого плохого он в виду не имел.
Вероятность и экономика
Когда говорят о вероятностях в реальном мире, обычно имеют в виду
какие-то повторяющиеся испытания (хотя бы в принципе). Скажем, говоря
о вероятности орла для данной монеты, мы подразумеваем, что её можно
бросать много раз и смотреть на долю орлов. Другой пример: что мы имеем
в виду, говоря о вероятности того, что стакан разобьётся, если уронить его
(с данной высоты) на пол? Здесь уже нельзя повторять опыт с одним и тем
же стаканом, если он разобьётся. Поэтому вопрос имеет смысл, лишь если
у нас есть много одинаковых стаканов, и мы можем бросать их и смотреть,
какая доля среди них разбилась.
Но бывают случаи, когда ситуацию в принципе нельзя повторить. Допу-
стим, нас спрашивают, с какой вероятностью завтра будет дождь. Что это
значит | мы ведь не можем дождаться завтрашнего дня, посмотреть, будет
ли дождь, потом отыграть назад, попробовать ещё раз и так далее? Или, до-
69

пустим, речь идёт о вероятности выигрыша любимой команды в завтрашнем
футбольном матче | что это такое? Можно, конечно, посмотреть на стати-
стику игр с тем же соперником, но ведь ясно, что это не то | в прошлом
команда могла играть сильнее или слабее.
Тем не менее в некоторых ситуациях понятию вероятности можно при-
дать «экономический» смысл. Представим себе, что завтра должны состоятся
скачки с тремя лошадьми 𝐴, 𝐵 , 𝐶 и одна из них выиграет. Организаторы
скачек пустили в оборот три «финансовых инструмента» | обязательства за-
платить рубль в случае выигрыша соответствующей лошади. Купив сегодня
такую бумагу на лошадь 𝐴, мы можем дождаться окончания скачек; если
лошадь 𝐴 выиграет, то мы по этой бумаге сможем получить рубль (а ес-
ли не выиграет | ничего не получим). Такие бумаги можно и продавать:
продавая такую бумагу, мы обязуемся заплатить покупателю рубль в случае
выигрыша соответствующей лошади. (Точнее, обязательство берёт на себя
эмитент бумаги.)
Конечно, не факт, что кто-то вообще захочет покупать или продавать
такие бумаги. Но удивительным образом такие люди часто находятся, и до-
вольно много, так что складывается некоторое равновесие: цена продажи и
цена покупки становятся близкими.
10
Эту общую цену и считают вероят-
ностью указанного в бумаге события (выигрыша соответствующей лошади,
если вернуться к нашему примеру). Если событие становится по каким-то
причинам более правдоподобным, то желающих купить такую бумагу стано-
вится больше, и цена её растёт.
Понятно, почему цена такой бумаги имеет вероятностный смысл. Ска-
жем, если мы бросаем кубик, то бумага на право получить рубль при выпа-
дении шестёрки будет срабатывать примерно в одной шестой всех случаев.
Значит, чтобы остаться в среднем «при своих», следует покупать или про-
давать такие бумаги по 1/6 рубля за штуку. (Если их продают дешевле,
выгодно их покупать, а если покупают дороже | то продавать.) Что не так
понятно | почему находятся желающие играть в эти игры. Видимо, тако-
во свойство человеческой психологии (и без него бы не могли существовать
биржи, рынки ценных бумаг, фьючерсов, опционов, деривативов и прочих
«финансовых инструментов»).
Возникает такой вопрос: мы определили вероятность выигрыша каждой
из лошадей как рыночную цену соответствующей бумаги. Но выполняют-
ся ли при этом те же законы теории вероятностей, что и раньше? Скажем,
можно ли утверждать, что сумма вероятностей для трёх лошадей равна еди-
10
В момент написания этого текста (16.03.2012) на сайте intrade.com можно купить или
продать бумагу на право получить $10.00 в случае победы Барака Обамы на президентских
выборах 2012 года в США; купить её можно за $6.05, а продать | за $6.01, так что разница
в цене покупки и продажи невелика. Соответственно можно сказать, что вероятность победы
Обамы на выборах составляет в данный момент 60{61%.
70

нице: Pr
𝐴
+ Pr
𝐵
+ Pr
𝐶
= 1? На первый взгляд нет: кто его знает, по какой
цене будут торговаться эти бумаги. Но если подумать, то становится ясным,
что тут есть механизм, обеспечивающий это равенство. Пусть, скажем, ока-
залось, что Pr
𝐴
+ Pr
𝐵
+ Pr
𝐶
< 1. Тогда можно купить пакет из трёх таких
бумаг (по одной для каждой лошади), заплатив меньше рубля. Но такой па-
кет означает гарантированный выигрыш одного рубля: как бы ни кончились
скачки, ровно одна бумага сработает и мы получим рубль. Финансовые спе-
кулянты своего не упустят, и начнут скупать такие пакеты, повысив спрос,
и тем самым вызовут повышение цен. Наоборот, если Pr
𝐴
+ Pr
𝐵
+ Pr
𝐶
> 1,
то есть резон продать по одной бумаге каждого типа, зарезервировав рубль
для выплат (при любом исходе придётся заплатить ровно рубль) | разница
будет прибылью. Желающие продать понизят рыночную цену. Таким обра-
зом, в равновесном состоянии сумма Pr
𝐴
+ Pr
𝐵
+ Pr
𝐶
равна 1 с точностью,
определяемой разницой между ценой продажи и покупки (и, как заметили
бы практики, расходами на участие в торгах).
Такое понимание позволяет говорить о вероятностях индивидуальных
(неповторимых) событий. Но даже и в этом случае нельзя разумно истолко-
вать вероятность событий, про которые мы уже знаем, случились они или нет
(типа возникновения жизни на Земле) или событий, про которые нет обще-
принятного способа это узнать (скажем, отравил ли Сальери Моцарта). Так
что нужно проявлять осторожность, и всегда спрашивать себя, что имеется в
виду под той или иной вероятностью. Не всегда это имеет разумное уточне-
ние. Скажем, если вас спросят: «В серии из 10 000 бросаний монеты выпало
5217 орлов; какова вероятность, что эта монета честная?» | не торопитесь
что-то вычислять, этот вопрос смысла не имеет. (Возможно, спрашивающий
хочет узнать, какова вероятность того, что при бросании честной монеты
будет 5217 или более орлов, или какова вероятность получить ровно 5217
орлов, или ещё что-нибудь | но это другие вопросы.)
Несколько книг по теории вероятностей
•
Бернулли Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986.
•
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероят-
ностей. М.: Наука, 1976.
•
Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. М. Введение в теорию
вероятностей. (Библиотечка Кванта, вып. 23.) 2-е изд. М.: Физматлит, 1995.
•
Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. Пер. с англ. М.: Мир,
1969.
•
Мостеллер Ф., Пятьдесят занимательных вероятностных задач с реше-
ниями. М.: Наука, 1975.
71

•
Реньи А. Трилогия о математике. Перевод с венг. М.: Мир, 1980.
•
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статисти-
ке. Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 240 с.
•
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её применения. Пер. с
англ. Том 1. М.: Мир, 1967.
•
Ширяев А. Н. Вероятность. 2-е изд. М.: Наука, 1989. 3-е изд. (в двух
книгах). М.: МЦНМО, 2004.
•
Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация. 3-е изд. М.: Нау-
ка, 1973.
Оглавление
1. Вероятность в природе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2. Математическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3. Подсчёты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4. Подсчёты: продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5. Математика и жизнь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6. Формула суммы вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7. Логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8. Формула включений и исключений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10. Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11. Независимость в природе и в теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . 23
12. Среднее арифметическое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13. Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
15. Гистограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
16. Линейность математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
17. Неравенство Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
18. Неравновероятные исходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
19. Независимые испытания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
20. Дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
21. Закон больших чисел: формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
22. Закон больших чисел и жизнь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
23. Доказательство закона больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
24. Парадоксы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
25. Коротко о разном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
72