Қабылбаев Қанат Ерсінбайұлы
Бір жыл бойына пайыздарды көптеп есептеу. е саны
жүктеу/скачать 1,32 Mb.
|
stud.kz-19239
| 2.2. Бір жыл бойына пайыздарды көптеп есептеу. е саны
Егерде банк салушыға бір жыл ішінде р% төлейді деп санайық, онда ол жарты жылдың ішінде -ін төлейді, бір айдың ішінде – және жылдың бөлігінде -ды төлейді. Егер пайыз бір жылдың ішінде бірнеше рет есептелетін болса, салушының есеп шоты қалай өзгеретінін анықтайық. Алдымен банктің жылына 100%-ды төлейтін жағдайларын қарастырып көрейік. Салушы банктегі өз есеп шотына бір жыл мерзіміне S0 теңге салды делік. Онда салушының есеп шотында бір жылдан кейін 2S0 сомасы болады. Егер банк пайыздарды әрбір жарты жылдан кейін, яғни жылына екі рет есептеп отыратын болса, бір жылдан соң есеп шотта 2S0 теңгеден көп сома болатынын анықтаған айлакер салушының есімін тарих бізге сақтамаған. Шындығында да бірінші жарты жылдыққа банк 50%-ды, демек, теңге төлейді және салушының шотында мынадай сома пайда болады: . Мысалы, егер, S0= 100 000 теңге болса, бірінші жартыжылдықтың соңында салушының есеп шотында S1=15 000 теңге болады. Біздің салымшымыздың тапқан кереметі мынада: ол бірінші жарты жылдыққа жинақталған соманы алуға болатындығын және оны бірден жаңа есеп шотқа бұрынғы жылына 100% қойылыммен тағы да жарты жылға салуға болатындығын түсінді. Екінші жартыжылдықтың аяғында банк бірінші жартыжылдықтағы S0 теңге сомасына емес, сомасына 50% есептейді. Осындай жолмен екінші жарты жылдыққа банк теңге есептейді. Екі жартыжылдықта, демек, бір жылда банк салымшыға бірінші теңге, содан кейін тағы да теңге, демек, сандық мәні (4) болатын шаманы есептеген. S0 теңге бастапқы салымымен біздің салымшымыз жылдың аяғында S2 теңгенің иегері болып шықты. Мұндағы (5) Біз енді S2 сомасы 2S0 сомасынан S0 –ге артық екенін көріп отырмыз. және (5) формулалары салым бірінші жарты жылдықта 1,5 есеге өсетіндігін, ал одан кейін жаңа, көбейген сома тағы да 1,5 есеге өсетіндігін көрсетеді, демек бастапқы салым 1,52=2,25 есеге өседі. Әрине, сипатталған әдісті орындау үшін бірінші есеп шотты бірінші жарты жылдықтан кейін жауып тастап, кейін жаңасын ашу міндетті емес. Бұның бәрі оңай жасалады – жарты жылдан кейін банк салымшының есеп шотын қайта рәсімдейді, сөйтіп барлық ақша бір шотқа түседі. Біздің салымшымызды одан әрі бақылайық. Енді банк әр тоқсан сайын, демек, жылына төрт рет әр тоқсанға 25%-дан есептеп отыратын болса, салымшының салымының көлемі қалай өзгеретінін анықтау қажет. Бірінші тоқсанның соңында салымшының есеп шотындағы сома S0 теңгеге өседі де мынаған тең болады: (теңге)-ге тең болады. Бұл бастапқы S0 салым бір тоқсанның ішінде есе өсті дегенді білдіреді. Екінші тоқсаның аяғында жаңа есеге өседі де, шотта теңге ақша болады. Соған сәйкес, үшінші тоқсанның аяғында шотта теңге болады, ал төртінші тоқсанның соңында, демек, бір жылдан кейін, салымшының есеп шотында S4 теңге болады. Мұндағы . S4 сомасы бір жылдан кейін банктен төленетін 2S0 сомасына қарағанда 1,22 есе көп екенін аңғару қиын емес. Біздің салымшымыздың одан кейінгі ойлары бәрімізге белгілі: банк пайыздарды айына -дан жылына 12 рет есептеп тұрсын. Сонда 12 есептен кейін, демек, бір жылдан кейін, салымшының есеп шотында S12 теңге болады. Пайыздарды күніне, демек, күніне -дан жылына 365 рет есептегенде, салымшының есеп шотында бір жылдан кейін мынадай сома болады: Егер пайыздар әр сағат сайын есептелініп отырса, демек, сағатына -дан жылына 365∙24=8 760 рет есептелініп отырса, салымшының есеп шотында бір жылдан соң негізінен, егер пайыздар мөлшері бойынша жылына n рет есептелетін болса, онда сіздің салымшыңыздың есеп шотында мынадай сома болады: (6) (6) формуладан анықтаушы рөлді көбейткіші ойнайтындығы көрініп тұр. n әртүрлі болған жағдайдағы оның кейбір мәндерін 2-кестеде көрсетеміз.
Егер біз кестені одан әрі жалғастырғымыз келсе, мынаны алатын едік: n=100 000 болған жағдайда болады. Ал n=1 000 000 болған жағдайда болады. 2-кестеден n санының өсуіне қарай ілеспелілігінің мүшесі өсетіндігі шығады. Бұл айғақтың нақты дәлелі математикалық талдауда көрсетіледі. Математикалық талдауда мүшесі n санының өсіміне байланысты математикада е әріпімен белгіленген және е=2,718281828459045…*-ке шексіз жақындайтындығы дәлелденген. Сонымен қатар n-нің барлық мәніне (7) теңсіздігі сәйкес келеді. Сонымен қатар, –тең болатын (аn) ілеспелілігінің шегі е санына n тең. (6) формула мен (7) тесіздіктен n=1,2,3,… (8) шығады. Алынған нәтижелердің экономикалық маңызы банк жыл бойына пайызды неғұрлым көбірек есептесе, салымшының есеп шотындағы ақша соғұрлым көбейетіндігінде. Бірақ, (8) теңсіздік банк S0 салымына жыл бойына пайызда қанша жиі есептегенмен Sn шамасы шексіз өсе алмайды - S0 шамасымен салыстырғанда Sn е-ден де өсіп кете алмайды. Екінші тұжырым мынадай: егер банк жылына 100%-ды төлеп тұруға келісіп және өз салымын қанша болса да қайта рәсімдеуге рұқсат етсе, банк салымшының жылдың аяғында S0 ∙е =2,7182 S0 теңге алатындығына және оның пайдасы 2,7182S0-S0=1,7182S0 теңге, демек, уәде етілген 100% пайданың орнына жылына алатындығына дайын болуы қажет. Әрине ешқандай банк бұнымен келісе алмайды, және төменде банктің бұндай тапқыр салымшылармен күресу әдісімен танысатын боламыз. Жылдық пайыз мөлшері 100%-дан өзгеше болып келетін жағдайларды қарастырайық. (төмендегі барлық жағдайларда ақша сомалары теңгемен беріледі және көпшілік жағдайда ол түсіп қалады). Салымшы өз шотына бір жыл мерзіміне S0 салымын салсын делік, және банк оған р%-ын төлеп отырады. Бір жылдан кейін есептелінген пайыздар құрайды, ал салымшының шотында мынадай сома болады: (9) Енді -ды әрбір жарты жыл сайын есептеп отырамыз. Сонда бірінші жарты жылдың соңында есептелген пайыздар S0 теңгені құрайды, және салымшының есеп шотындағы сома мынаған тең болады: Екінші жартыжылдықта -ы сомасына есептелетін болады, сондықтан есептелген пайыздар сомасы -ді құрайды. Бар болғаны бір жылдан кейін есеп шотта мынадай сома болады: (10) Мысалы, егер S0=250 000 теңге салымына банк жылына 60%-ды есептейтін болса, салымшы бір жылдан кейін мынаған ие болады: (теңге). Егерде пайыздар -бойынша жылына екі рет есептелетін болса, (10) формула бойынша салымшы бір жылдан кейін төмендегіге ие болады: теңге, демек, бір рет есептегенге қарағанда 22 500 теңгеге көбірек. (9) және (10) формулалардан бастапқы S0 сома жарты жылдан кейін есе өсетіндігін көруге болады және есеп шотта мынадай сома болады: теңге екінші жарты жылдық аяқталған кезде сомасы есеге өседі, демек, жылдың соңында салымшының есеп шотында S2 теңге болады. Мұндағы Енді егер S0 салымына мөлшеріндегі пайыздар жылына ара қашықтығы бірдей болып табылатын n реет есептелетін болса жылдың соңында салымшының есеп шотында мынадай сома болады: (11) Математикада n өсіміне қарай Sn шамасы көбейеді. Бұл банк жылына пайыздарды неғұрлым көп есептесе, салымшының есеп шотында соғұрлым көп сома жиналады. Бірақ Sn шамасы шексіз өсе алмайды. Математикада мынау дәлелденген: , Және сонымен қатар барлық n=1, 2, 3… мына теңсіздік сәйкес келеді: . (12) (12) теңсіздігі банк жылына қанша рет р%-ы бойынша S0 теңгеге пайызды есептесе де, S0 бастапқы салым -ден артық өспейтіндігін көрсетеді. Егер, р=25% болса, онда . Сондықтан банк бір жыл ішінде пайызды қаншалықты жиі есептесе де, S0 бастапқы салым 1,284-тен артыққа өспейді. 7-мысал. Есеп шоттағы 50 000 теңгеге бір жыл ішінде 4 рет жылдық мөлшері 50%-ға тең пайызды есептеу жүргізілді. а) жылдың аяғында есеп шотта қанша ақша болды? б) салым қанша пайызға өсті? Шешімі. а) S0 =50 000, р=50 n =4 болған жағдайда (11) формуланы қолданамыз. Сонда болады. б) өткен жылдың ішінде салым 30 090, 33 теңгеге өсті. Ол мынаны құрайды: . 8-мысал. Салымшы банкке бір жылға 75% мөлшерде 45 000 теңге енгізді. Салымшы пайыздардың жиі есептелуі есебінен бір жыл ішінде S сомасын қалайды. Ол бұған қол жекізе алады ма? Егер ол оған қол жеткізе алса, онда жылына қанша есептеулер жүргізу қажет болады? Егер: а)S=80 000 теңге б) S=130 000 теңге болса? Шешімі.а) р=75 болғандықтан, салым есе өсуі мүмкін. қатынасы жуықтап алғанда мынаған тең: 1,778<2,117. Сондықтан салымшы қалаған сомасын ала алады. Қанша рет пайыз есептеуін жүргізу үшін мына теңсіздікті шешіп көрейік: , немесе . n ≥2 б) болғандықтан, пайыздар қаншалықты жиі есептелгеніне қарамастан салымшы қалаған сомасын ала алмайды. жүктеу/скачать 1,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|