Алғашқы математикалық ұғымдардың пайда болуы Ерте тас ғасырындағы адамдардың сана сезімі «бір күндік өмірдің»

Ерте тас ғасырындағы адамдардың сана сезімі «бір күндік өмірдің» айналасында ғана тұрақталған.Неолит және энеолит дәуірлерінде адам санасында өте үлкен төңкерістер болды.Садақ- жебе,аң ұстайтын дұзақтар,қайық- ау,дәнүккіштер осы секілді жаңалықтар адам баласын санауға ,математиканың алғашқы ұшқынының шығуына әкеліп тіреді.

Сан туралы ұғым адамзат мәдениетінің тууымен және оның дамуымен тығыз байланысты. Шынында, егер осы ұғым болмаса, өзіміздің рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді тиісті дәрежесінде көрсете алмас едік. Есеп-қисап жүргізу, уақыт пен қашықтықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін емес. Сан – математика ғылымының іргетасы.

Алғашқы қауымдық құрылыс аңшылары өздерінің иттерінің түгел екенін санап білген жоқ, жай ғана көзінің ұшқырлығымен қай иттің жоқ екенін анықтай алған. Мұндай «сезімдік есеп» сонымен қатар өзінің балапандарының санын біле алмайтын үйрекке де тән қасиет және бұл негізгі санақтан бұрын пайда болған. Нақты бір санды анықтайтын эталондар жиынының пайда болуы сан ұғымының пайда болуына әкелді.

Мұндай эталондар табиғи болды, яғни адам айдың біреу екендігін, адамда 2 қол, 2 аяқ, 5 саусақ бар екенін білетін. Сондықтан 1, 2, 5 сандарын осындай салыстырулармен көрсету таңқаларлық жайт емес. Санақ үшін өте тиімді эталондар қолдың саусақтары болды. Сондықтан болар, абипондар тайпаларында 5 деген бір қол, 10 деген 2 қол 20 деген қол және аяқ деген ұғымдар пайдаланылды. Сан есімдер соңғы замандарда шыққан,олар зат есім,сын есім,есімдік сөздерінің негізінде туындаған.Бір санның алғашқы мағынасы қазіргі біз түсінетін «1» емес, «бір қол» әдетте «оң қол». «2» санының алғашқы мағынасы «екі қол», «екі көз», «құстың екі қанаты».Мыңдаған жылдар бойы сан ұғымы саналатын заттардан айырылмай келген.Мәселен , ХVI ғасырда Африканың кейбір тайпаларында «3» санының дербес атауы болмаған.Олар «3 адам», «3 ағаш», «3 жолбарыс» деп атай берген.Ертедегі Рим империясына қарасты Батыс Европа елдерінде онға дейінгі сандар «латынша дигитус-саусақ сандары» деп,дөңгелек ондар буын сандары –артикули деп,басқа сандар –композити(құрастырылған) деп аталған.Бірталай халықтар саусақ жетпейтін сандарды ұсақ тастар, шыбықтар,сызықтар,ағашқа кертіліп түсірілген таңбалар арқылы санаған.

Орыстың ұлы саяхатшысы Миклухо-Маклай Жаңа Гвинея аралдарындағы папуастардың санау өнерін зерттеген.Папуасша 1-бе, 2-бе-бе, 3-бе-бе-бе, 4-бе-бе-бе-бе, 5-ибон-бе, 10-ибон-али, 15-самбе-бе, 20-самба-али.Мұнда бе--бір саусақ,ибон-бе-- бір қол,самба-бе--бір аяқ,самба-али—екі аяқ.

Аргентинада Абипон индеецтері ХIХ ғасырда былай санаған: 1-инитара,2-инь-оака,3-инь-оака-инитара,4-түйе құстың табаны сияқты,5-бір қолдың саусағы,10-екі қолдың саусағы,20-екі қолдың саусақтары мен екі аяқтың бақайлары. Санаудың ерте замандарда қандай дәрежеде болғанын әртүрлі халықтардың тілдерінде сақталып келе жатқан ескілікті сөздерден аңғаруға болады.Мәселен,қытай тілінде екі ұғымы «пу» деген сөз екі құлақ мағынасын береді.Орыс тілінде «пять»сөзі «пядь» сөзімен тектес, «пядь»-қарыс,яғни бармақ пен шынашақ ұштарының арақашықтығы.

Танзанияны мекендейтін хадза тайпасындағылар үшке дейін санайды.

Сан немесе геометриялық фигуралардың математикалық ұғымы, математикалық текстерден едәуір ерте пайда болған. Бізге оңай болып көрінген сан және геометриялық фигуралар ұғымы негізінде абстрактілі ұғымдар болған. Бірақ өте ұзақ және тиянақты ойлау жұмыстардан кейін бұл ұғымдар қалыптасты

Геометриялық фигуралардың пайда болуы әртүрлі денелер мен орнаменттегі әдемі суреттермен тығыз байланысты.

Көне Мысырдың ертедегі әріптері сурет пішіндес әріптер болған, соңынан ретке келтіріліп демотикалық жазу пайда болған. Осы екі кітаптан басқа да кітаптар теріге, тастарға ойылып жазылған, олар қазір дүнйенің түкпір-түкпірінде сақтаулы. Математика ғылымының кіндігі де, тұсауыда кесілген жері ертедегі шығыс(Қытай, Үнді, Бабилон, Мысыр). Онан кейін, ол Бабилон мен Египет, Грекияға ауысады. Грекия математиктері математиканы өзінің нәтижелері мен түпкі қағидаларын логикалық қортынды арқылы келтіріп шығаратын дедукциялық ғылымға айналдырды. Гректер әсіресе бастапқы геометрияға жататын мәселелерді түгел зерттеді деуге болады. Сандардың ондық системасын Үндиялықтар алтыншы VІ ғасыырда игерді. ІХ ғасырға келгенде математик Махавира нөлді бір сан деп қарайды. Содан бастап ондық система одан ары кемелдене түседі. Қазіргі күнде бүкіл дүние жүзі қолданатын арғы түп төркіні Үндістан екендігі математика тарихынан азда болса хабары бар адамға белгілі болса керек. . Хорезми өзінің «Китап әл-джам уат тафрих би хисап әл-үнді» атты кітабын үнеділердің үлгісімен жазады. Онда санау тіртібі, сандардың он сифыры арқылы жазылуы, аталуы, төрт амал, түбір шығару, жәй бөлшектерді есептеу айтылған. Бұл кітап 1150-жылы латын тіліне аударылған. Еуропалықтар Үнді сифырларын араб тіліндегі кітаптардың аудармаларынан көргендіктен араб цифры деп атағаны мәлім. 

Өлшеулер жүргізу қажеттілігі оң рационал сандарға әкеп соқтырды. Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”), “жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген. Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған. Мысалы, бұл ережені үнді математиктері былай тұжырымдаған: “Екі мүліктің қосындысы мүлік болады, екі қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен қарыздың қосындысы бұлардың айырмасына тең болады”.

Үндістаннаң , Таяу және Орта шығыстың , ал кейініректе Европаның математиктері иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең праволы сан ретінде қабылдамай келген. Оларды қабылдауға Декарттың “Геометриясының ” шығуы ықпал жасады . Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен кескінделеді, және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді. Иррационал сандар ендірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық “бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны (рационал сандар жиынынан айырмашылығы) үздіксіз болып табылады делінеді. Пифагор оқуы бойынша: “Бәрі -сан” яғни дүниедегінің бәрі – саннан жаратылған және саннан тұрады. Ал сандар – тақтар мен жұптардың бірлестігі. Сандардың гармониялық үйлесімінен әуенді ән, әсем әлпеттемелер туындайды.