Дәлелдеуі: 5n+2=(5n+10)-8 теңдігін ескеріп өрнекті түрлендіріп жазайық:
n(n2-1)(5n+2)=5n(n2-1)(n+2)-8n(n2-1)= 5(n-1)n * (n+1)(n+2) -8 (n-1)n(n+1). (n-1)n(n+1)(n+2) өрнегі төрт тізбектес натурал санның көбейтіндісі болғандықтан , әрі 3-ке бөлінеді, әрі 8-ге бөлінеді. 8 бен 3 өзара жай сан болғандықтан бұл өрнек 24-ке бөлінеді.
8(n-1)n(n+1) өрнегі де 24-ке бөлінеді , себебі (n-1)n(n+1) көбейтіндісі 3-ке бөлінеді.
Дирихле тәсілі.
Теорияның негізі : Егер n-торда m- қоян болса және m>n,онда 1 торда 2 қоян болуы мүмкін.
Мысал : Сыныпта 37 оқушы бар. Кем дегенде 4 оқушының туған күні 1 айда болуын дәлелде.
n-12 ай , m-37 оқушы ,-37 оқушы , 37>12
3712*3+1
Инвариантар: санның жұп,тақ белгісі немесе бөлудің қалдықтарына байланысты есептер.
Мысал : 101 ат 15 атқораға орналастырғанда бір қора тақ саны ат болатынын дәлелде.
Дәлелдеуді кері жору мен дәлелдейік. 101 саның қосылғыштары жұп сандар болсын . Ал біз білеміз жұп сандардың қосындысы жұп сан . Сондықтан бір қосылғыш тақ сан болады.
Теңдеулердің бүтін шешімін табу:
Мысал:
21x+48y=6|:3
7x+16y=2
16=7*2+2 ; 2=16-7*2
7=2*3+1; 1=7-2*3
1=7-(16-7*2)*3
1=7-16*3+7*6
1=7*7-16*3 |*2
2=2*7*7-2*16*3
2=7*14+16(-6); x0=14 ;y0=-6
X=14-16*k,
Y= -6+7*k, kZ
Арифметикалық есептер:
13+132 +133 +134+...+132012 +132013 +132014 осы санды өрнек 7-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.
13(1+13) +133(1+13)+…+132013(1+13)= (1+13)(13+133+…+132013)=14(13+133+…+132013)
14:7=2
Алгебралық есептер:
(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=3 ( 1мен 4 және 2 мен 3 көбейткіштерді бір-біріне көбейтеміз)
(x2+5x+4)(x2+5x+6)=3
t= x2+5x
(t+4)(t+6)-3=0
t+10t+21=0
t=-3; t=-7
x2+5x=-3
x2+5x+3=0
x2+5x+7 =0- шешімі жоқ
Жауабы:
Мәтінді есептер:
Мысал: Аулада үректер мен иттер жүр. Егер үйректер мен иттердің аяқтарының саны 44 , ал бастары 17-ге тең екені белгілі болса, онда неше үйрек ,неше ит бар?
Теңдеулер жүйесін құру арқылы шешу тәсілін қолданамыз.
Геометриялық есептер:
ACEВD жұлдыздың А,В ,Е,С төбелеріндегі бұрыштары тең , АС ,ВЕ кесінділері тең болса , АД мен ВД тең екенін дәлелде.
В
А С
М
К
Е Д
Үшбұрыштары тең ACK= BEM
Сондықтан бұрыштар AKC=BME және AK=BM
Онда бұрыштар MKD=KMD өзара тең
KMD теңбүйірлі үшбұрыш.
KD=MD
AK+KD=BM+MD
AD=BD
Графтар :
Асханада І тағам – борщ ,рассольник, ІІ – гуляш,котлет,палау
ІІІ – шай мен сусын . Неше тәсілмен ас мәзірін дайындауға болады?
Б-Г-С ,Б-Г-Ш
Б-К-Ш, Б-К-С
Р-П-С, Р-П-Ш
Р-Г-С ,Р-Г-Ш
Р-К-Ш, Р-К-С
Р-П-С, Р-П-Ш, 12 тәсіл
Комбинаторика есептері:(орналастыру, алмастыру,теру)
Би үйірмесіне 6 ұл бала және 6 қыз бала қатысады. Оларды қанша әдіспен ұл-қыз жұптарына бөлуге болады?
Бірінші ұл 6 кез келген қызбен билейді, екінші ұл қалған 5 қызбен т.с.с.
Сондықтан (алмастыру)Р6=6!=1*2*3*4*5*6=720
Теңсіздіктерді дәлелдеу.
І. Қарапайым теңсіздіктерді дәлелдеу
Мектеп көлемінде қарапайым теңсіздіктер дәлелденеді, сол теңсіздіктер арқылы күрделі теңсіздіктерде дәлелденеді.
№1 а2 + b2 ≥ 2ab.
Дәлелдеуі:
a2+ b2 - 2аb = (а – b)2 ≥ 0.
№2
кез келген a және b үшін.
Дәлелдеуі:
Берілген теңсіздіктен , біз мына теңсіздікті аламыз бұдан немесе соны мына түрде жазамыз бұдан
II. Штурм әдісін қолданып теңсіздікті дәлелдеу
Бұл әдісті неміс математигі Р.Штурм ұсынған. Бұл әдістің көмегімен бірнеше теңсіздікті дәлелдейік:
№3 Егер қосындысы 1-ге тең болса, онда дәлелдеу керек
Дәлелдеуі:
Егер онда .
Қаралатын сандардың ішінде ең болмағанда екі сан бір-біріне тең болмаса, онда сандардың ішінен екі сан табылады, сонын біреуі - нан үлкен болады, ал екіншісі кіші болады. Осы сандар болсын, және де болсын, онда - ді -ні - мен алмастырып, мынандай теңсіздік аламыз және олардың қосындысы 1-ге тең.
болғандықтан, осыдан
.
Осы амалды бірнеше рет қайталап, шыққан тізбектің кез келген мүшесі -ге тең, ал олардың квадраттарының қосындысы берілген сандардың квадраттарының қосындысынан кіші болады.
Достарыңызбен бөлісу: |