Қазақстан республиасының білім және ғылым министрлігі

Дәріс № 1. Кіріспе.

«Термодинамика және статистикалық физика негіздері» курстың пәні мен әдістері.

Дәрістің мазмұны.

1. 
   Феноменологиялық термодинамика және статистикалық физика. Табиғат заңдарын танудың динамикалық және статистикалық әдістері.
   
2. 
   Макро- және микрокүйлер, олардың ықтималдылығы.
   
3. 
   Кездейсоқ шамалар. Таралу функциясы.
   

1. 
   Термодинамиканың да, статистикалық физиканың да қарастыратын нысаналары бір – ол макроскопиялық жүйелер. Макроскопиялық жүйе деп өте көп бөлшектерден тұратын (мысалы, N ~ 10²⁰) кез келген жүйені айтады. Бұл курстын мақсаты – макроскопиялық жүйелер беталысының жалпы заңдылықтарын зерттеу.
   

Макроскопиялық жүйелердің алғашқы зерттеулерін өткізгенде заттың атомдық-молекулалық құрылымы әрі белгісіз болған. Осындай заттың атомдық-молекулалық құрылымын ескермей, тәжірибелер негізінде ғана жалпы заңдардың қорытылуын термодинамикалық әдіс деп атайды. Сондықтан термодинамиканы, классикалық электродинамика сияқты, феноменологиялық (феномен-құбылыс) ғылым деп атауға болады.

Жылу табиғатын эксперимент жүзінде ХVIIІ ғасырдың аяғында ағылшын ғалымы Бенжамен Томпсон (1753-1814) ашты. Ол суға салған металл цилиндрді бұрғылау нәтижесінде суды қайнатып, жылу материяның қозғалыс формасы екендігін дәлелдеді. 1824ж. француз инженері және физигі Сади Карно (1796-1832) «Оттың қозғалтатын күші туралы» деген жұмысында жылу мәшіндердің жалпы теориясын құрып, термодинамиканы дамыта бастады. Ол бірінші болып, ғылымда циклдар әдісін қолданды, термодинамиканың бірінші және екінші заңдарының онша дәл емес анықтамаларын берді.

Термодинамиканың бірінші заңын (бастамасын) ХІХ ғасырдың 40-шы жылдарында бір-біріне тәуелсіз неміс дәрігері Ю.Майер (1814-1878), ағылшын ғалымы Т.Джоуль (1818-1889) және неміс физиологы Г.Гельмгольц (1821-1894) ашты.

Термодинамиканың екінші заңының дәл анықтамасын 1850ж. неміс физик-теоретигі Р.Клаузиус (1822-1888) берді. Онымен бірге ол қайтымды және қайтымсыз процесстер үшін екінші заңының математикалық өрнегін беріп, физикаға жаңа ұғымды – энтропияны енгізді. Клаузиуске тәуелсіз термодинамиканың екінші бастамасын атақты ағылшын физигі У.Томсон (1824-1904) ашты. У.Томсон (Кельвин) екінші текті мәңгі қозғалтқышты жасауға болмайтындығын дәлелдеді, физикаға абсолюттік температура мен температураның абсолюттік шкаласын енгізді.

Термодинамиканың үшінші бастамасын (Нернст теоремасын) 1906ж. заттың төменгі температуралардағы беталысын зерттеу нәтижесінде неміс физигі В.Нернст (1864-1941) ашты.

Термодинамикада заттың ішкі құрылысы ескерілмегендіктен, онда неге? деген сұрақтын ешқандай мәні болмайды. Термодинамиканың заңдары мен қатынастары статистикалық физикамен салыстырғанда қарапайым болып келеді, сондықтан ол бірқатар техникалық ғылымдардың негізінде жатыр (мысалы, техникалық термодинамиканың, теплотехниканың және т.б.).

Статистикалық физикада термодинамикада қолданатын макроскопиялық жүйелердің жалпы бейнелеудің орнына макрожүйелер табиғаты әртүрлі болатын бөлшектердің көпшілігінен (атомдардан, молекулалардан, электрондардан және т.б.) тұратындығы ескеріледі. Бұл термодинамиканың негізгі қатынастарын қорытуға мүмкіндік береді (мысалы, термодинамиканың негізгі тепе-теңдігін, бір атомды идеал газдың күй теңдеуін және т.б.), яғни неге? деген сұраққа жауап беріледі. Екіншіден, статистикалық әдіс термодинамика көмегімен табылмаған кейбір сұрақтарға жауап табуға мүмкіндік берді (мысалы, заттың жылусыйымдылықтарының толық теориясын, флуктуациялар теориясын құруға және т.б.).

ХІХ ғасырдың екінші бөлігінде статистикалық физика газдардың кинетикалық теориясында дамытыла бастады және бұл кезенде макрожүйелерді құрайтын бөлшектер қозғалысы механикалық заңдарына бағынады деп есептелді. Классикалық статистика дамуына Р.Клаузиустің, ағылшын физигі Д.К.Максвеллдің (1831-1879), австриялық физик-теоретигі Л.Больцманның (1844-1906) және американдық физик-теоретигі Д.У.Гиббстің (1839-1903) үлесі зор.

Классикалық механика толығымен себебтік принципке негізделген. Ньютон заңдары бойынша механикалық жүйенің алғашқы күйі, яғни жүйеге кіретін бөлшектердің координаттары мен жылдамдықтары белгілі болса, жүйенің келешектегі кез келген күйі бірмәнді анықталады. Сонымен бірге механикалық процесстер қайтымды. Мысалы, жерден кейбір денені лақтырсақ, ол анықталған траекториямен қозғалып, жерге анықталған жылдамдықпен түседі. Егер денені түскен нүктеден қайтадан лақтырсақ және оның жылдамдығының модулі түскен жылдамдықтың модуліне тең, ал бағыты қарама-қарсы болса, дене бұрыңғы траекториямен керісінші қозғалып, алғашқы нүктеге келеді. Бұл көзқарас бойынша ғылымда кездейсоқ деген ұғым мүлде болмау керек. Сөйтіп, механика даму нәтижесінде табиғатта динамикалық заңдылықтар ғана болу мүмкін деген көзқарас қоғамда қалыптасты, ғалымдар табиғаттын барлық құбылыстарын динамика заңдары негізінде түсіндіруге болады деп есептеді.

2. 
   Молекулалық теория мен термодинамика арасындағы байланысты табу үшін жүйе күйінің анықтамаларын дәлдеу керек. Жоғарыда айтылғандай, макроскопиялық денелердің беталысын қарастыратын термодинамика күй онша көп емес термодинамикалық параметрлермен анықталады. Ал микроәлемдегі жеке молекуланың қасиеттерін ескеретін молекулалық теорияда толық молекулалық жүйенің күйі анықталу үшін жүйеге кіретін әрбір молекуланың күйі белгілі болу керек. Жеке молекуланың еркіндік дәрежелер саны болсын делік, яғни еркін өзгеретін мүмкінді бар тәуелсіз параметрлері болсын делік. Сонда жеке молекуланың кеңістіктегі орны мен жылдамдығын сипаттау үшін 2 күй параметрлері белгілі болу керек, себебі әрбір еркіндік дәрежеге бір кеңістіктік координата мен жылдамдықтың (немесе импульстің) бір құраушысы сәйкес болады. Сөйтіп N молекулалардан тұратын молекулалық жүйенің күйі 2N параметрлермен анықталады. Сөйтіп, молекулалық теорияда жүйе күйі термодинамикаға қарағанда мүлдем басқаша анықталады, себебі термодинамикалық параметрлер молекулалық параметрлерден айырылады және біріншілердің саны аз, ал екіншілердің саны өте үлкен.
   

Әрбір микрокүй өзінің болу ықтималдығымен сипатталады. Бұл түсінікті, себебі молекулалар әрқашан қозғалады, бір-бірімен әсерлеседі және соқтығылсады. Молекулалық процесстердің ретсіздігін ескерсек, микрокүйдің параметрлерінің кейбір мәндері кездейсоқ пайда болады, сондықтан микрокүйде мына немесе ана ықтималдықпен орындалады. Бірақ кейбір макрокүйде әрқашан болмайды, ол да анықталған болу ықтималдылығымен сипатталады, себебі әрбір макрокүйдің артында молекулалардың кейбір ретсіз қозғалысы болады. Сонда біздің мақсатымыз – микро- және макрокүйлердің ықтималдылығын табу.

Бұл шамаларды есептеу үшін Больцман жалпы түрінде газдардың молекулалық статистикасының әртүрлі есептерін шешуге арналған ұяшықтар әдісін дамытты. Мұнда біз бұл әдісті дербес түрінде қолданамыз:

Газ нүктелік молекулалардан тұрады деп алсақ, әрі молекула ілгерілмелі қозғалыстың үш еркіндік дәрежелерімен сипатталады және оның жылдамдығы үш компонентпен беріледі. Ықтималдылықтарды есептегенде әрбір молекуланың күйін елестететін жылдамдықтардың үш өлшемді кеңістікте жеке нүкте ретінде көрсетейік. Қолайлы бөлу үшін бұл кеңістікті кішкентай ұяшықтарға бөлейік және әрбір ұяшықтың көлемі dω = dv_x dv_y dv_z болсын. Өз зерттеулінде Больцман әрбір ұяшықтағы молекулалардың күйлерін бірдей деп есептеу үшін олардың көлемдері жеткілікті кішкентай болу керек деген талапты қойды. Екінші жағынан, статистикалық әдісті қолдану үшін, ұяшықтарда молекулалар көп болу керек, сондықтан ұяшықтардың көлемі жеткілікті үлкен болу керек. Бұл талаптар, ұяшықтар көп болсада, газ үшін жақсы орындалады. Жылдамдықтар кеңістегі ұяшықтардың үлкен санын қарастырып, Больцман бойынша ықтималдықтар қорытылуын берейік.

3 + ... +

Бұл шама молекулалар жылдамдықтарының анықталған таралуының ықтималдылығы, сөйтіп бұл кейбір микрокүйдің ықтималдылығы деп алуға болады.

Енді макрокүйдің ықтималдылығын табайық. Ол үшін классикалық статистикада бірдей бөлшектерді айыруға болатындығын ескерейік. Молекулалардың ұяшықтар бойынша анықталған таралуына, яғни әрбір микрокүйге кейбір макрокүй сәйкес болады. Егер молекулалардың ұяшықтар бойынша таралу санын өзгертпей, ұяшықтардағы молекулалардың өзара орын алмастыруын өткізсек, жаңа микрокүй пайда болады, ал макрокүй өзгермейді. Сөйтіп, жалпы жағдайда бір макрокүйге көп микрокүйлер сәйкес болады. Бір макрокүйді туғызатын микрокүйлер бір-бірімен тең құқықты болу керек. Бұл Больцман тұжырымдаған негізгі қағидаға әкеледі: молекулалардың ұяшықтар бойынша берілген таралуымен сипатталатын барлық микрокүйлер тең ықтималды.

Сонда макрокүйдің ықтималдылығын табу үшін сол макрокүйге сәйкес n молекулалардың ұяшықтар бойынша таралуын өзгертпейтін барлық орын алмастырулар саның табу арқылы макрокүйге сәйкес барлық микрокүйлерді анықтап, олардың ықтималдылықтарын қосу керек. n молекулалар арасында n! орын алмастырулар жасауға болады. Мысалы, 3 молекулалар алсақ, олардың арасында 3! = 1·2·3=6 орын алмастырулар жасауға болады. Енді осы 3 молекулалардың 2 ұяшықтар бойынша таралуын қарастырайық. Әртүрлі таралулардың саны 6 болады, ал молекулалардың ұяшықтар бойынша таралудың екі түрі ғана болады: бірінші ұяшықта бір молекула, екіншігінде екі молекула және керісінше. Бір макрокүйге үш микрокүйлер сәйкес болады. Математикалық жағынан макрокүйге сәйкес микрокүйлердің саның былай табуға болады

Жалпы жағдайда бір макрокүйге сәйкес микрокүйлердің саны былай табылады: