Қазақстан республиасының білім және ғылым министрлігі
§ 4. Өзіне түйіндес операторлардың өзіндік функциялары мен өзіндік мәндері. Өзіндік функциялардың негізгі қасиеттері
жүктеу/скачать 347,73 Kb.
|
| § 4. Өзіне түйіндес операторлардың өзіндік функциялары мен өзіндік мәндері. Өзіндік функциялардың негізгі қасиеттері.
Алдыңғы параграфтағы толқындық функцияның көмегімен есептелген орта мәннен орташа квадраттық ауытқуды қарастырайық. Жалпы жағдайда <  F2 > 0 , бірақ, біз қарастырып отырған  шама бір ғана мәнге тең күйді қарастырсақ, онда < F2 > 0 . Бұл күй үшін теңдікті келесі түрде жазамыз:
О =  2 d .
Интеграл астындағы шама – елеулі оң шама, сондықтан ол интеграл мына жағдайда ғана нөлге тең болады:  2 = О .
Комплекс санның модулі нөлге тең болады, егер санның өзі нөлге тең болса. Сонымен  = О ,
немесе Ψ функциямен сипатталатын күйде F бір ғана мәнге ие болатынын және 6 – параграфтағы орта мәннен ауытқуды ескере отырып, мынадай теңдеу жаза аламыз: (  - < F > ) Ψ = ( – F ) Ψ = О .
Осыдан
 = F (23)
Бұл теңдік белгісіз Ψ функцияға қатысты сызықтық теңдеу болып табылады, себебі анықтама бойынша - оператор. Көп жағдайда дифференциалдық оператор болады, сондықтан (23) теңдеу біртекті, сызықтық дифференциалдық теңдеу болады. Бұл теңдеудің мардымсыз емес шешімі болады, себебі нөлдік шешімнің физикалық мағынасы жоқ.
Үшінші параграфта қарастырылғандай, Ψ толқындық функция үзіліссіз, бірмәнді, ақырлы болу керек және белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандыру керек. Бұл талаптарды орындау, (23) операторлық теңдеудің шешімі F физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болатындығына келтіреді. Осы белгілі бір мәндерді Біз F шамаға мынадай талап қоя аламыз: тәжірибелерде Жоғарыда айтылғандай, операторлық теңдеудің шешімі F физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болады. Ол мәндер F1, F2, ..., Fn, ... үзікті қатар мәндерін немесе үзіліссіз қатар мәндерін құрайды. Оператордың өзіндік мәндер жиынтығы оның спектрі деп аталынады. Егер оператор үзікті өзіндік мәндерге ие болса, онда ол үзікті спектрге ие болады. Егер оператор біраз аралықта үзіліссіз өзіндік мәндерге ие болса, онда ол үзіліссіз (тұтас) спектрге ие болады. Оператордың өзіндік функцияларын бір-бірінен айыру үшін, олардың индекстері ретінде өзіндік мәндердің нөмірлерін алады. Мысалы, оператор үзікті спектрге ие болса, онда өзіндік мәндер F1, F2, ..., Fn, ... қатар, ал өзіндік функциялар Ψ1, Ψ2, ..., Ψn, ... қатар түзеді. Кванттық механикада, өзіндік мәндер мен өзіндік функцияларды анықтайтын n бүтін сандарды кванттық сандар деп атайды. Егер Fn өзіндік мәннің әрбіреуіне өзіндік функцияның бір ғана мәні сәйкес келсе, спектр тоғысқан емес болады. Егер өзіндік мәннің әрбіреуіне бірнеше өзіндік функциялар сәйкес келсе, онда спектр тоғысқан болады. Мысалы, Fn өзіндік мәнге Оператордың өзіндік мәні әрқашан да нақты болады. Өзіндік мән оператордың өзіндік функциясы сипаттайтын күйді анықтайтын физикалық шаманың орта мәніне сәйкес келеді, ал орта мән әрқашан да нақты: < F > =  * d = | = F | = *  d = * d = .
Теңдік бойынша < F > = < F > * , сондықтан F = F* . Енді өзіндік функциялардың негізгі қасиеттеріне тоқталайық. Біз қарастыратын оператор тоғысқан үзікті спектрге ие болсын, сонда мынадай операторлық теңдеуді жазуға болады:
Ψn = Fn Ψn .
Бұл теңдеудің комплекс түйіндісі * Ψn * = Fn* Ψn* = Fn Ψn * . (24)
Басқа толқындық функцияға арналған, екінші бір операторлық теңдеуді жазайық: Ψm = Fm Ψm (25)
мұндағы m n . Бесінші параграфтағы математикалық тәсілді пайдалана отырып, (24) теңдеуді сол жағынан Ψm , ал (25) теңдеуді Ψn * -ге көбейтіп, содан соң бір-бірінен алып, алынған қатысты көлем бойынша интегралдайық: жүктеу/скачать 347,73 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
өзіндік функциялар сәйкес келсе, онда тоғысудың еселігі деп аталынады. Егер = 2 болса, онда екіеселі тоғысу болады, яғни өзіндік мәннің әрбіреуіне екі толқындық функция сәйкес келеді.