Қазақстан республиасының білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 347,73 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 5В072300- «Техникалық физика» мамандығы үшін «Кванттық механика» ПӘНІНІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР
- Семей 2013
5В072300- «Техникалық физика» мамандығы үшін «Кванттық механика» ПӘНІНІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР Семей 2013 Дәріс №1 Кіріспе. Кванттық механиканың қысқаша даму тарихы, негізгі ұғымдары мен математикалық аппараты. Дәріс мазмұны 1.Кванттық механиканың қысқаша даму тарихы 2.Толқындық функция және оның физикалық мағынасы 3. Физикалық шамалардың операторлары, олардың сызықтылығы мен эрмиттілігі 4. Өзіне түйіндес операторлардың өзіндік функциялары мен өзіндік мәндері. Өзіндік функциялардың негізгі қасиеттері. 1. XIX ғасырдың аяғындағы физиктердің көпшілігі физика дамуы бітіп қалуы, оның ғимаратына бірнеше кірпіш салу ғана жеткілікті деп жүрді. Атақты ағылшын физигі Вильям Томсон (лорд Кельвин) физика аспанында екі ғана кішкентай бұлт бар деп айтқан: абсолютті қара дене сәулеленуінің тәжірибелік заңдылықтарын теориялық жағынан түсіндіруге болмайтындығы және Майкельсон-Морли тәжірибесінің теріс нәтижесі.Бірақ келешекте осы екі бұлттағы екі іргелі физикалық теория пайда болды: біріншісінен кванттық механика, ал екіншісінен арнайы салыстырмалылық теориясы. Тарихи тұрғыдан қарастырсақ, кванттық теория жылулық сәулеленудің классикалық теориясының кемшілігін түсіндіруден басталды. Ішкі энергияның әсерінен заттың электромагниттік сәуле шығаруы жылулық сәулелену деп аталынады. Жылуылық сәулеленудің сәуле шығару процесінің басқа түрлерінен айырмашылығы- ол затпен термодинамикалық тепе-теңдікте болады және тепе-теңдік сәулелену деп аталады. 1859 жылы неміс физигі Г. Кирхгоф осы тепе-теңдік сәулеленудің (кейде қара сәуле шығару деп аталады) қасиеттері тек Т температураға тәуелді болатынын анықтды. Кирхгаф қара дененің тұжырымдамасын ұсынып, оның моделін жасады. 1893 жылы неміс физигі В.Вин температура мен энтрпия ұғымдарын жылулық сәулеленуге қолдана отырып, температура өскенде абсолютті қара дене спектріндегі сәулеленудің (Виннің ығысу заңы). 1896 жылы Вин классикалық көзқарастар негізінде қара дене спектріндегі энергия тарату заңын қорытты, бірақ бұл заң қысқа толқындар жағдайында ғана тәжірибемен сәйкестік көрсетті. 1990 ж. ағылшын физигі Дж. Рэлей және оған тәуелсіз 1905 ж. ағылшын физигі және астрофизигі Дж. Джин классикалық көзқарастар негізінде ұзын толқындар облысында ғана дұрыс болатын қара дене спектрінде энергия таралу заңын шығарды. (Рэлей-Джинс заңы). 1900 ж. желтоқсанында неміс физигі Макс Планк қара сәуле шығару қасиеттері заттын, қасиеттерін тәуелсіз болуын негізге ала отырып, сәуле шығаратын затты жиіліг ге тең атомдық осцилляторлардың жиынтығы ретінде қарастырады Тәжірибелерді қанағаттандыру үшін, Планк мүлде жаңа болжамды ұсынды: осциллятордың энергиясы минимальды энергиясы h -ге тең шамаға тең емес болу керек, яғни  (1)
Мұндағы 0,1,2,3..., 6,62*10Дж.с,- Планк тұрақтысы, кей жағдайда ол мына түрде өрнектеледі.h=h/2π Планк тұрақтысының өлшемдігі әрекет өлшемдігімен сәкес келеді, сондықтан h-ты әрекет кванты деп атайды. (Планк бұл атауды 1906 ж. ұсынған.) Микро нысананы сипаттайтын кейбір физикалық шамалар квантталады, (үзіктіліктің) өлшемі қызметін атқарады. Сонда осциляторлар бір күйден көршілес күйге ауысқанда, (1)-ші өрнекті негізге ала отырып, Планк тепе-теңдік сәулеленудің спектрлік тығыздығын тапты:  (2)
Мұндағы k=1.38*10 Дж k- Больцман тұрақтысы. Физиктердің көпшілігі алдымен Планк идеясына назар аударған жоқ. Бес жылдан кейін ғана 26 жастағы Альберт Эйнштейн Планк идеясын одан әрі дамыта отырып, фотоэффект теориясын құрды. 1907 ж. ол квант ұғымына негізделіп, қатты денелер жылушымдылығының бірінші теориясын құрды. Қатты денелер жылушымдылығының екінші, толық теориясын 1912 ж. неміс физигі Дебай құрды. Бұл кезенде Эйнштейн Планк идеясы негізінде бір қатар басқа құбылыстарды да түсіндірді. Ол электрмагниттік сәулеленуді кеңістікте таралатын жеке энергия порциялар – кванттар ретінде қарастырды. Бұл энергия кванттарың сонаң соң фотондар деп атады. Кванттық механика дамуының екінші кезені 1913 ж. басталды. Бұл жылы дат физик-теоретигі Нильс Бор атом құрылысының өзінің жартылай классикалық - жартылай кванттық моделін ұсынды. 1911 ж. ағылшын физигі Э.Резерфорд ұсынған планетарлық моделі бойынша атомдағы электрондар өте кішкентай және ауыр ядро қасында шенбер орбитасы бойынша қозғалады. Бірақ бұл модель классикалық электродинамика көзқарасынан орнықсыз болу керек, себебі үдемелі қозғалысындағы электрон тоқтамай электрмагниттік толқындарды шығару керек және сондықтан ядроға тез құлау керек. Ал біз атом өте орнықты жүйе екендігін білеміз. Көрсетілген қайшылықтан құтылу үшін, Бор физикаға екі постулат енгізді. Біріншіден, электрондар атом ішіндегі стационарлық орбиталар бойынша қозғалғанда электрмагниттік толқындарды шығармайды және олардың импульс моменттері квантталған болады.
Кванттық механика дамуының үшінші кезені 1923 ж. басталды деп есептеуге болады. Бұл жылы Комптон эффектісі ашылды және француз физик-теоретигі Луи де Бройль тыныштық массасы болатын бөлшектердің корпускулалық-толқындық дуализмі туралы болжам айтты. Оның пікірі бойынша қозғалыстағы әрбір микробөлшекпен толқындық процесс байланысқан. Бұл процесстің толқын ұзындығы былай анықталады. λ = 2. Классикалық механикада қолданатын ең қарапайым модель – ол материялық нүкте. Сонда классикалық механикада материялық нүктенің қозғалыс күйін анықтау үшін оның координаталары мен жылдамдығы белгілі бөлу керек. Жалпы жағдайда механикалық жүйенің күйі оның жалпыланған координаталары мен жалпыланған импульстер жиінтығымен анықталады. Бірақ кванттық механикада микробөлшектің күйін олай анықтауға болмайды, себебі Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатысы бойынша оның координатасын және импульсін бірмезгілде дәл өлшеуге болмайды, яғни кванттық механикада бөлшектің траекториясы деген ұғым мүлдем жоқ. Сондықтан кванттық механикада бөлшек күйі басқаша анықталады. Де Бройль идеясы бойынша бөлшектердің толқындық қасиеттері болады. Осыған байланысты, кванттық механикада мынадай постулат енгізілген: бөлшектің күйі толқындық функция Ақырсыз кішкене аймақты х, х + dх, у, у + dх, z, z + dz қарастырайық, оның көлем элементін dV = dхdуdz деп белгілейік. Ықтималдық теориясы бойынша dV көлемдегі бөлшекті табу ықтималдығы мынаған тең: dW = |  (х, у, z, t) |² dV = ρ (х, у, z, t) dV (6)
мұндағы ρ (х, у, z, t) =  =  = (х, у, z, t) * (х, у, z, t) (7)
ықтималдық тығыздығы деп аталынады. Енді t уақыт мезетінде V көлемдегі бөлшекті табу ықтималдығын қарастырамыз. W (V, t) =  =  =   (8)
Егер бөлшектің  көлемдегі шың орналасқандығын білсек, біз (8) 1-ге теңестіруіміз керек:
= 1 (9)
Сонымен біз нормалау шартын алдық. Осы шартты қанағаттандыратын функциясы нормаланған деп аталынады. Жалпы айтқанда, толқындық функцияның жарамдылық критериін мына түрде көрсетуге болады
 2 = С ,
мұндағы С – ақырлы сан. Сонымен, бұл шарт бойынша кез келген функцияның модулінің квадраты интегралданатын болу керек. Егер бұл шарт орындалмаса, онда ықтималдықты нормалауға болмайды.
Толқындық функция материялық нысананың күйін сипаттайтың шама, сондықтан ол стандартты деп аталатын келесі шарттарды қанағаттандырады: функция біртекті ортада өзінің бірінші туындыларымен бірге үзіліссіз болу керек;
функция кеңістіктің барлық нүктелерінде ақырлы және бірмәнді болу керек;
функция белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандырады, себебі кванттық теңдеулердің шешімі математикалық физиканың кейбір есептерінің шешімін еске түсіреді. Егер осы үш шарт орындалса ғана толқындық функция кванттық теңдеудің жалғыз шешімі болып табылады.
3.Кванттық механиканың классикалық механика қарағанда бір негізгі айырмашылығы бар – ол физикалық шамаларды анықтауда. Кванттық механикада әрбір физикалық шамаға (бақыланатын шамаға) кейбір операторлар салыстырылады. Бұл қағида кванттық механиканың негізгі бір постулаты болып саналады. Классикалық механиканың математикалық аппараты дифференциалдық және интегралдық қисап екені белгілі. Кванттық механика дами бастағанда, оның математикалық аппараты дайын болды, ол – сызықтық операторлар теориясы. Оператор – бір толқындық функцияны басқа функцияға ауыстыратын математикалық символ, яғни кез келген әрекет. Операторды бү ркеншігі бар әріппен белгілейді. Мысалы:  Ψ = φ (10)
Бұл теңдіктегі оператор ретінде арифметикалық, дифференциалдық және т.б. операторларды қарастыруға болады.
2 · Ψ = 2Ψ , · Ψ =  ,
 · Ψ =  .
Кванттық механикада пайдаланылатын операторлардың тобы шектелген, себебі, кванттық механика суперпозиция принципіне негізделген. Бұл принципті бұзбас үшін, операторлар сызықтық түрде болу керек. Сызықтық операторлардың математикалық анықтамасын келтіруге болады: (сΨ) = с Ψ; (Ψ1 + Ψ2) = Ψ1 + Ψ2 (11)
Бұл екі шартты біріктіруге болады: (с1 Ψ1 + с2 Ψ2) = с1 Ψ1 + с2 Ψ2 (12)
мұндағы с, с1, с2 – тұрақты сандар. Физикалық шамалардың операторлары сызықтық ғана емес, өзіне түйіндес болу керек. (10) қатысты мына түрде жазуға болады: Ψ = F Ψ (13)
Бұл операторлық қатыстағы F тұрақты шама, оның кейбір мәндері (13) қанағаттандырады, олар оператордың өзіндік мәндері деп аталынады. Өзіндік мәндерге сәйкес келетін толқындық функциялар өзіндік функциялар деп аталынады. Кванттық механикада өзіндік мәндер әрқашан бақыланатын физикалық шамалар болып табылады. Ал, бақыланатын физикалық шамалар нақты сандар болу керек, яғни F = F*. Мұндағы
F* ― F шаманың түйіндес мәні. Өзіндік мәндердің нақты шамалар болу шарты, операторлардың өзіне түйіндес болуына келтіреді. Өзіндік функция Ψ және оның түйіндесі Ψ*-ге арналған екі қатысты жазайық: Ψ = F Ψ (14)
* Ψ* = F *Ψ* (15)
(14) қатысты сол жағынан Ψ* , (15)-ні Ψ-ге көбейтіп бір бірінен алайық: Ψ* Ψ ― Ψ * Ψ* = (F ― F *) Ψ* Ψ
Бұл қатысты d көлем бойынша интегралдайық  Ψ* Ψ ― Ψ * Ψ* ) d = (F ― F *)  Ψ d
Нормалау шарты және F = F* екенін еске түсірейік. Нәтижесінде: Ψ* Ψ d =  * Ψ* d (16)
Бұл теңдік келесі теңдіктің дербес жағдайы болады: Ψ*  d =  * Ψ* d (17)
Сонымен, біз операторлардың өзіне түйіндес шартын алдық. (17) теңдікті мына түрде жазуға болады: Ψ* (17) және (18) салыстыра отырып, операторлардың өзіне түйіндес болу шартын қысқаша түрде көрсетейік: = + , (19)
мұндағы «+» символын эрмиттік түйіндес амалы ретінде түсіну керек, яғни оны (17) теңдіктің сол жағындағы интегралдың оң жағындағы интегралға ауысуы деп қарастырамыз. + - эрмиттік оператор деп аталынады.
Кванттық механикада операторлардың көбейтіндісі үлкен рөл атқарады, ол мына ретте орындалады:   Ψ = ( Ψ) . (20)
Бұл қатыс бойынша, бастапқы операторы Ψ-ге әрекет жасайды, содан кейін оператор Ψ - функциясына әрекет етеді. Осы сияқты, операторының орнына, операторын алайық. Осы екі оператордың Ψ функцияға әрекетінің нәтижесі бірдей болады. Бұл фактіні мына түрде көрсетуге болады:
 = - = 0 , (21)
мұндағы - және операторларының коммутаторы, ал  операторлар коммутациялаушы операторлар деп аталынады. Егер және операторлар коммутацияланбаса, онда мынадай теңдік орындалады:
= - = i  , (22)
мұндағы (21) және (22) коммутациялаушы және коммутациялаушы емес қатыстардың физикалық мағынасына тоқталайық. Егер операторлар коммутациялаушы болса, онда бірмезетте бұл операторлар анықталған мәндерге ие болады. Егер операторлар коммутациялаушы емес болса, онда бірмезетте бұл операторлар анықталған мәндерге ие бола алмайды (мысал ретінде, Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатыстары). жүктеу/скачать 347,73 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||
- ге тең энергияны шығарады немесе жұтады, яғни сәулелену және жұтылу процесстер дискретті өтеді.
= 
(5)
(