«Қазіргі білім берудің даму тенденциялары» халықаралық ғылыми конференцияның материалдар жинағЫ
жүктеу/скачать 2,19 Mb. Pdf көрінісі
|
| T[°C]
20°C 150°C 250°C 350°C 450°C 550°C 650°C 750°C 850°C α [ 1 °𝐶 ]× 10 −6 12,1 13,5 15 15,8 16,7 18 18,8 22 25,9 Рассмотрим два случая: 1) (рис.-1, a). Когда на площади поперечного сечения левого жестко-защемленного конца (х=0) подведен тепловой поток – q; 2) (Рис.-1, б). На левом жестко-защемленном конце стержня (х=0) задана температура Т(х=0)= Τ 0 . Начнем с первого случая. В этом случае, исходя из физической сущности рассматриваемой задачи, поле распределения температуры по длине стержня Development trends of modern education 150 представим в виде кривой второго порядка т.е. 𝑇(𝑥) = 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑥 + 𝑎 3 𝑥 2 (0≤x≤L). Если считать, что 𝑇(𝑥 = 0) = 𝑇 𝑖 ; 𝑇 (𝑥 = 𝐿 2 ) = 𝑇 𝑗 и 𝑇(𝑥 = 𝐿) = 𝑇 𝑘 , то следуя [3-5, стр. 24] имеем 𝑇(𝑥) = 𝜑 𝑖 (𝑥) ∙ 𝑇 𝑖 + 𝜑 𝑗 (𝑥) ∙ 𝑇 𝑗 + 𝜑 𝑘 (𝑥) ∙ 𝑇 𝑘 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 (1) где 𝜑 𝑖 (𝑥), 𝜑 𝑗 (𝑥),𝜑 𝑘 (𝑥) функции формы для квадратичного конечного элемента с тремя узлами.[ 3-5, стр. 9]. 𝜑 𝑖 (𝑥) = 𝑙 2 −3𝑙𝑥+2𝑥 2 𝑙 2 ; 𝜑 𝑗 (𝑥) = 4(𝑙𝑥−𝑥 2 ) 𝑙 2 ; 𝜑 𝑘 (𝑥) = 2𝑥 2 −𝑙𝑥 𝑙 2 . (2) Теперь следуя [6,7] напишем выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию для первого случая рассматриваемой задачи 𝐽 = ∫ 𝐾 𝑥𝑥 2 𝑉 ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 2 𝑑𝑉 + ∫ 𝑞𝑇𝑑𝑠 𝑆(𝑥=0) + ∫ ℎ 2 𝑆(𝑥=𝑙) (𝑇 − 𝑇 ос ) 2 𝑑𝑠, (3) где V-объем стержня; 𝑆(х = 0) и 𝑆(х = 𝑙) -площади поперечных сечений концов стержня. Интегрируя, последнее получим 𝐽 = 𝐾 𝑥𝑥 𝐹 6𝑙 [7𝑇 𝑖 2 − 16𝑇 𝑖 𝑇 𝑗 + 2𝑇 𝑖 𝑇 𝑘 − 16𝑇 𝑗 𝑇 𝑘 + 16𝑇 𝑗 2 + 7𝑇 𝑘 2 ] + +𝑞𝐹𝑇 𝑖 + ℎ𝐹 2 [𝑇 𝑘 − 𝑇 ос ] 2 ( 3 ′ ) Минимизируя 𝐽 по 𝑇 𝑖 , 𝑇 𝑗 и 𝑇 𝑘 получим следующую разрешающую систему линейных алгебраических уравнений { 𝜕𝐽 𝜕𝑇 𝑖 = 0; 𝐾 𝑥𝑥 6𝑙 (14𝑇 𝑖 − 16𝑇 𝑗 + 2𝑇 𝑘 ) + 𝑞𝐹 = 0 𝜕𝐽 𝜕𝑇 𝑗 = 0; 𝐾 𝑥𝑥 6𝑙 (−16𝑇 𝑖 + 32𝑇 𝑗 − 16𝑇 𝑘 ) = 0 𝜕𝐽 𝜕𝑇 𝑘 = 0; 𝐾 𝑥𝑥 6𝑙 (2𝑇 𝑖 − 16𝑇 𝑗 + 14𝑇 𝑘 ) + ℎ𝐹𝑇 𝑘 − ℎ𝐹𝑇 𝑜𝑐 = 0 (4) Или после небольших упрощений имеем: { 7𝑇 𝑖 − 8𝑇 𝑗 + 𝑇 𝑘 = − 3𝑞𝑙 𝐾 𝑥𝑥 𝑇 𝑖 − 2𝑇 𝑗 + 𝑇 𝑘 = 0 𝑇 𝑖 − 8𝑇 𝑗 + (7 + 3ℎ𝑙 𝐾 𝑥𝑥 ) ∙ 𝑇 𝑘 = 3ℎ𝑙𝑇 𝑜𝑐 𝐾 𝑥𝑥 . (5) Қазіргі білім берудің даму тенденциялары 151 Принимая за исходные данные следующее: 𝑙 = 30см; 𝑟 = 1см; 𝑞 = −350 Вт см 2 ; ℎ = 8 Вт см 2 · °C ; 𝑇 𝑜𝑐 = 50°C; 𝐾 𝑥𝑥 = 72 Вт см · °C Решая систему (5) получим, что 𝑇 𝑖 =333,3°С; 𝑇 𝑗 =260,4°С; 𝑇 𝑘 =187,5°С. Тогда поле распределение температуры по длине стержня будет определятся согласно (1). Далее пользуясь таблицей-1 определим значение α=α(T(x)) в соответствующих узлах координаты которых тоже приводятся в таблице-2. Таблица 2. 𝑥 = 0см 𝑥 = 𝑙 2 = 15см 𝑥 = 𝑙 = 30см 𝑇 𝑖 =333,3°С 𝑇 𝑗 =260,4°С 𝑇 𝑘 =187,5°С 𝛼 𝑖 = 15,5 𝛼 𝑗 = 15,1 𝛼 𝑘 = 13,9 Аппроксимируя поле распределение α=α(x) по длине стержня полным квадратичным полиномом, имеем, что 𝛼(𝑇(𝑥)) = 𝜑 𝑖 (𝑥) ∙ 𝛼 𝑖 + 𝜑 𝑗 (𝑥) ∙ 𝛼 𝑗 + 𝜑 𝑘 (𝑥) ∙ 𝛼 𝑘 , (6) Тогда пользуясь (1) и (6) согласно [5, стр. 29, 8] определим величину удлинения стержня с учетом нелинейной зависимости коэффициента линейного расширения жаропрочного сплава ∆𝑙 𝑇 = ∫ 𝛼(𝑇(𝑥)) ∙ 𝑇(𝑥)𝑑𝑥 = 0,1165см. 𝑙 0 Здесь следует отметить, что если взять 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝛼(𝑇 = 20°С) = 125 × 10 −7 1 °С , удлинение стержня составляло бы ∆𝑙 = ∫ 𝛼𝑇(𝑥)𝑑𝑇 = 𝛼 ∫(𝑇(𝑥)) = 0,0675см. 𝑙 0 𝑙 0 Таким образом, в рассматриваемом примере при учете зависимости коэффициента линейного расширения от температуры удлинение стержня на 72,56% будет больше чем при 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 125 × 10 −7 1 °С Development trends of modern education 152 Здесь следует отметить, что при высоких температурах 𝑇 ∈ [400 ÷ 600°С] эта разница будет еще большим. Это показывает, что насколько важно учесть реальную зависимость коэффициента линейного расширения от поля распределения температур по длине из жаропрочного сплава стержня. Теперь переходим к решению второй задачи, т.е. необходимо определить поле распределения температуры и коэффициента линейного расширения по длине стержня, если на левом жестко защемленном конце теплоизолированного по боковой поверхности стержня задан не тепловой поток q, а температура T. Например, если взять, что Т(х = 0) = 𝑇 0 = 333,3°С , то в этом случае полная тепловая энергия описывается функционалом 𝐽 1 = ∫ 𝐾 𝑥𝑥 2 𝑉 ( 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ) 2 𝑑𝑉 + ∫ ℎ 2 𝑆(𝑥=𝑙) (𝑇 − 𝑇 ос ) 2 𝑑𝑠. (7) Подставляя (1) в (7) и минимизируя 𝐽 1 только по 𝑇 𝑗 и 𝑇 𝑘 (потому что 𝑇 𝑖 уже задано, т.е. 𝑇 𝑖 = 333,3°С ) получим разрешающую систему уравнений { 2𝑇 𝑗 − 𝑇 𝑘 = 𝑇 𝑖 = 333,3°С 8𝑇 𝑗 − (7 + 3ℎ𝑙 𝐾 𝑥𝑥 ) ∙ 𝑇 𝑘 = 𝑇 𝑖 − 3ℎ𝑙𝑇 𝑜𝑐 𝐾 𝑥𝑥 (8) Решая последнее также имеем, что 𝑇 𝑖 =333,3°С; 𝑇 𝑗 =260,4°С; 𝑇 𝑘 =187,5°С. Далее все расчеты совпадают. Это сравнение показывает, что при применении законов сохранения энергии можно с требуемой точностью решать задачу удлинения стержней изготовленных из жаропрочных сплавов при наличии всех видов источников тепла, теплоизоляции и теплообмена. Предлагаемый метод универсален также тем, что с ее помощью с требуемой точностью можно учесть зависимости коэффициента линейного расширения от поля распределения температур. Учет этого свойства приводит к обнаружению такого физического эффекта, как увеличение удлинения стержня. жүктеу/скачать 2,19 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|