Батырбек Қайрат Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы №61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі



Pdf көрінісі
Дата11.02.2020
өлшемі334,5 Kb.
#57687
Байланысты:
0-56052400-1394257876
    Бұл бет үшін навигация:
  • Шешуі

 

КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІ 

 

Батырбек Қайрат  

Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы  

№61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі 

 

Теорема: Кез келген нақты 



n

a

a

a

,...,


,

2

1



 және 

n

b

b

b

,...,


,

2

1



 сандары үшін 







2

2

2



2

1

2



2

2

2



1

2

2



2

1

1



...

...


...

n

n

n

n

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a







  



 

*

 



теңсіздігі  орындалады.  Бұл  теңсіздікті  Коши-Буняковский  теңсіздігі  деп 

атайды.  



 

Дәлелдеуі:  Берілген  теңсіздіктен 

2

2



2

2

1



...

n

a

a

a

A





2

2

2



2

1

...



n

b

b

b

B



  деп 



белгілейік.  

Кез келген нақты 



y

x,

 саны үшін 



2



2

2

y



x

xy



 

теңсіздігі орындалатыны белгілі. Ендеше, осы теңсіздікті қолданамыз: 















2

2



2

1

1



2

2

2



1

1

...



...

B

b

A

a

B

b

A

a

B

b

A

a

AB

b

a

b

a

b

a

n

n

n

n

 















































2

2



2

2

2



2

2

1



2

1

2



1

...


2

1

2



1

B

b

A

a

B

b

A

a

B

b

A

a

n

n

 


.

1

1



1

2

1



...

...


2

1

2



2

2

2



1

2

2



2

2

1



















B



b

b

b

A

a

a

a

n

n

 

Осыдан, 







2



2

2

2



1

2

2



2

2

1



2

2

2



1

1

...



...

...


n

n

n

n

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a







 



теңсіздігі алынады. Демек, теорема дәлелденді.  

Мұнда, 


n

n

b

a

b

a

b

a



...


2

2

1



1

 болғанда теңсіздік теңдікке айналады.  

Коши-Буняковский теңсіздігін көптеген есептерде мына теңсіздік 



2

2

2



2

1

2



2

2

1



1

2

2



2

2

1



...

...


...

n

n

n

n

b

b

b

b

a

b

a

b

a

a

a

a







  



 

*

*



 

түрінде қолдануға тура келеді. 



 

№1. Кез келген нақты 

c

b

,

,

 сандары үшін 



ca

bc

ab

c

b

a





2

2

2



 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  



Шешуі:  Коши-Буняковский  теңсіздігін  қолдану  арқылы  теңсіздікті 

дәлелдейміз:   

.

2

2



2

2

2



2

2

2



2

c

b

a

a

c

b

c

b

a

ca

bc

ab









 

Мұнда, 


c

b

a



 болғанда теңсіздік теңдікке айналады.  

 

 



№2. Кез келген нақты 

c

b

,

,

 сандары үшін 





c



b

a

abc

a

c

c

b

b

a





2

2

2



2

2

2



 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  



Шешуі:  Берілген  теңсіздіктің  оң  жаңын  түрлендіріп,  оған  Коши-

Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:   



        









bc

ca

ab

bc

ac

ab

abc

c

ab

bc

a

c

b

a

abc

2

2



2

 

     



     

.

2



2

2

2



2

2

bc



ab

ac

ca

bc

ab





 

Бұдан, 



.



2

2

2



2

2

2



a

c

c

b

b

a

c

b

a

abc





 

Мұнда, 


c

b

a



 болғанда теңсіздік теңдікке айналады.  

 

№3. Кез келген оң 



c

b

,

,

 сандары үшін 



1

2

2



2







b

a

c

a

c

b

c

b

a

 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  



Шешуі: Коши-Буняковскийдің мына  







2

3

3



2

2

1



1

2

3



2

2

2



1

2

3



2

2

2



1

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a





 



теңсіздігін қолданамыз.  

,

2



,

2

,



2

3

2



1

b

a

c

a

a

c

b

a

c

b

a

a





 







b



a

c

b

a

c

b

b

c

b

a

b

2

,



2

,

2



3

2

1







    болсын.  Осы  таңдап  алған 

айнымалыларды Коши-Буняковский теңсіздігіне орналастырсақ, онда 

 


 



 

.



2

2

2



2

2

2



2

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a













 



Бұдан, 



.



3

2

2



2

2

ca



bc

ab

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a







 



Енді, бұл теңсіздікті түрлендіріп, оған Коши теңсіздігін қолданамыз: 













ca

bc

ab

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a

3

2



2

2

2



 







.

1

3



2

3

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2

















ca



bc

ab

ca

bc

ab

ca

bc

ab

ca

bc

ab

ca

bc

ab

a

c

c

b

b

a

 

Демек, берілген теңсіздік дәлелденді. 



 

 

№4.  (Математика  Республикалық  Олимпиада-2009.    ІІ-кезең,  10-сынып) 

Кез келген оң нақты 

c

b

,

,

 және 



d

 сандары  үшін  



 

4



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2

















bc



ab

da

b

a

d

ab

da

cd

a

d

c

da

cd

bc

d

c

b

cd

bc

ab

c

b

a

 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  



Шешуі:  Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз: 







.

2

2



2

2

2



2

2

cd



bc

ab

d

c

b

c

b

a





 



Бұдан, 







.

1

1



2

2

2



2

2

2



2

d

c

b

c

b

a

cd

bc

ab





 



Соңғы теңсіздікті берілген теңсіздікке қолданамыз: 









2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

d

c

b

c

b

a

c

b

a

cd

bc

ab

c

b

a

cd

bc

ab

c

b

a











 



немесе 

.

2



2

2

2



2

2

2



2

2

d



c

b

c

b

a

cd

bc

ab

c

b

a







 

Осы теңсіздікке сәйкес қалған теңсіздіктерді жазамыз: 



,

2

2



2

2

2



2

2

2



2

a

d

c

d

c

b

da

cd

bc

d

c

b







 

,



2

2

2



2

2

2



2

2

2



b

a

d

a

d

c

ab

da

cd

a

d

c







 

.



2

2

2



2

2

2



2

2

2



c

b

a

b

a

d

bc

ab

da

b

a

d







 

Бұл  теңсіздіктерді  берілген  теңсіздікке  орналастырып,  оған  Коши 



теңсіздігін пайдалансақ теңсіздік дәлелденеді. 















bc

ab

da

b

a

d

ab

da

cd

a

d

c

da

cd

bc

d

c

b

cd

bc

ab

c

b

a

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

 















2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

c



b

a

b

a

d

b

a

d

a

d

c

a

d

c

d

c

b

d

c

b

c

b

a

 

.



4

4

4



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2

















c

b

a

b

a

d

b

a

d

a

d

c

a

d

c

d

c

b

d

c

b

c

b

a

 

 



№5.  (Математика  Республикалық  Олимпиада-2010.    ІІ-кезең,  9-сынып) 

z

y

x

c

b

a





 теңдігі орындалатын теріс емес  

c

b

,

,

 және оң нақты 



z

y

,

,

 



сандары  үшін  

c

b

a

z

c

y

b

x

a





2

3

2



3

2

3



 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  



 

Шешуі:  Алдымен  берілген  теңсіздіктің  екі  жағын 







c



b

a

ге  көбейтіп, 

мына теңсіздік 



2



2

3

2



3

2

3



c

b

a

z

c

y

b

x

a

c

b

a

S















 

түрінде  келтіреміз.  Осы  теңсіздіктің  сол  жағын  түрлендіріп,  оған  Коши-

Буняковский теңсіздігін қолданамыз: 

     

































2



3

2

3



2

3

2



2

2

z



c

y

b

x

a

c

b

a

S

 

.



2

2

2



2

2

3



3

3























z

c

y

b

x

a

z

c

c

y

b

b

x

a

a

 

Енді, бұған Коши-Буняковскийдің 



 

*

*



 теңсіздігін қолданамыз: 



.



2

2

2



2

2

2



2

c

b

a

z

y

x

c

b

a

z

c

y

b

x

a

S







































 

Бұдан, 



c

b

a

z

c

y

b

x

a





2

3

2



3

2

3



 

теңсіздігі алынады. Демек, теңсіздік дәлелденді. 



 

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР: 

 

1. 



J.Micheal Steele. The Cauchy-Schwarz Master Class. An Introduction to 

the Art of mathematical inequalities. Cambridge University Press. – 2004. – 318 p. 

2. 

Соловьёв Ю.П. Неравенства. Серия:  «Библиотека “Математическое 



просвещение”» – М.: МЦНМО, 2005. – 16 с.: ил. 

3. 


Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства / 

Пер. с арм. Г.В. Григоряна. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 256 с.  

4. 

Radmila  B.M.,  JosenAntonio  G.O.,  Rogelio  V.D.  Inequalities.  A 



Mathematical Olympiad Approach. Birhauser. Basel  – Boston – Berlin. 2009. – 216 

p. 


 


Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет