Батырбек Қайрат Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы №61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі

1 

 

КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІ 

 

Батырбек Қайрат  

Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы  

№61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі 

 

Теорема: Кез келген нақты 

n

a

a

a

,...,

,

2

1

 және 

n

b

b

b

,...,

,

2

1

 сандары үшін 











2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

...

...

...

n

n

n

n

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a





















  

 

*

 

теңсіздігі  орындалады.  Бұл  теңсіздікті  Коши-Буняковский  теңсіздігі  деп 

атайды.  

 

Дәлелдеуі:  Берілген  теңсіздіктен 

2

2

2

2

1

...

n

a

a

a

A









, 

2

2

2

2

1

...

n

b

b

b

B









  деп 

белгілейік.  

Кез келген нақты 

y

x,

 саны үшін 





2

2

2

y

x

xy





 

теңсіздігі орындалатыны белгілі. Ендеше, осы теңсіздікті қолданамыз: 







































2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

...

...

B

b

A

a

B

b

A

a

B

b

A

a

AB

b

a

b

a

b

a

n

n

n

n

 









































































































































2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

...

2

1

2

1

B

b

A

a

B

b

A

a

B

b

A

a

n

n

 

.

1

1

1

2

1

...

...

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1



































B

b

b

b

A

a

a

a

n

n

 

Осыдан, 











2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

...

...

...

n

n

n

n

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a





















 

теңсіздігі алынады. Демек, теорема дәлелденді.  

Мұнда, 

n

n

b

a

b

a

b

a







...

2

2

1

1

 болғанда теңсіздік теңдікке айналады.  

Коши-Буняковский теңсіздігін көптеген есептерде мына теңсіздік 





2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

...

...

...

n

n

n

n

b

b

b

b

a

b

a

b

a

a

a

a





















  

 

*

*

 

түрінде қолдануға тура келеді. 

 

№1. Кез келген нақты 

c

b

a ,

,

 сандары үшін 

ca

bc

ab

c

b

a











2

2

2

 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  

Шешуі:  Коши-Буняковский  теңсіздігін  қолдану  арқылы  теңсіздікті 

дәлелдейміз:   

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

b

a

a

c

b

c

b

a

ca

bc

ab























 

Мұнда, 

c

b

a





 болғанда теңсіздік теңдікке айналады.  

2 

 

 

№2. Кез келген нақты 

c

b

a ,

,

 сандары үшін 





c

b

a

abc

a

c

c

b

b

a











2

2

2

2

2

2

 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  

Шешуі:  Берілген  теңсіздіктің  оң  жаңын  түрлендіріп,  оған  Коши-

Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:   





        



















bc

ca

ab

bc

ac

ab

abc

c

ab

bc

a

c

b

a

abc

2

2

2

 

     

     

.

2

2

2

2

2

2

bc

ab

ac

ca

bc

ab













 

Бұдан, 





.

2

2

2

2

2

2

a

c

c

b

b

a

c

b

a

abc











 

Мұнда, 

c

b

a





 болғанда теңсіздік теңдікке айналады.  

 

№3. Кез келген оң 

c

b

a ,

,

 сандары үшін 

1

2

2

2













b

a

c

a

c

b

c

b

a

 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  

Шешуі: Коши-Буняковскийдің мына  











2

3

3

2

2

1

1

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a















 

теңсіздігін қолданамыз.  

,

2

,

2

,

2

3

2

1

b

a

c

a

a

c

b

a

c

b

a

a













 













b

a

c

b

a

c

b

b

c

b

a

b

2

,

2

,

2

3

2

1













    болсын.  Осы  таңдап  алған 

айнымалыларды Коши-Буняковский теңсіздігіне орналастырсақ, онда 



 

 





 



.

2

2

2

2

2

2

2

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a







































 

Бұдан, 









.

3

2

2

2

2

ca

bc

ab

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a





















 

Енді, бұл теңсіздікті түрлендіріп, оған Коши теңсіздігін қолданамыз: 































ca

bc

ab

c

b

a

b

a

c

a

c

b

c

b

a

3

2

2

2

2

 

















.

1

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2









































ca

bc

ab

ca

bc

ab

ca

bc

ab

ca

bc

ab

ca

bc

ab

a

c

c

b

b

a

 

Демек, берілген теңсіздік дәлелденді. 

 

 

№4.  (Математика  Республикалық  Олимпиада-2009.    ІІ-кезең,  10-сынып) 

Кез келген оң нақты 

c

b

a ,

,

 және 

d

 сандары  үшін  

3 

 

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2









































bc

ab

da

b

a

d

ab

da

cd

a

d

c

da

cd

bc

d

c

b

cd

bc

ab

c

b

a

 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  

Шешуі:  Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз: 











.

2

2

2

2

2

2

2

cd

bc

ab

d

c

b

c

b

a















 

Бұдан, 











.

1

1

2

2

2

2

2

2

2

d

c

b

c

b

a

cd

bc

ab















 

Соңғы теңсіздікті берілген теңсіздікке қолданамыз: 



















2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d

c

b

c

b

a

c

b

a

cd

bc

ab

c

b

a

cd

bc

ab

c

b

a

































 

немесе 

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d

c

b

c

b

a

cd

bc

ab

c

b

a



















 

Осы теңсіздікке сәйкес қалған теңсіздіктерді жазамыз: 

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

d

c

d

c

b

da

cd

bc

d

c

b



















 

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

a

d

a

d

c

ab

da

cd

a

d

c



















 

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

b

a

b

a

d

bc

ab

da

b

a

d



















 

Бұл  теңсіздіктерді  берілген  теңсіздікке  орналастырып,  оған  Коши 

теңсіздігін пайдалансақ теңсіздік дәлелденеді. 









































bc

ab

da

b

a

d

ab

da

cd

a

d

c

da

cd

bc

d

c

b

cd

bc

ab

c

b

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 











































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

b

a

b

a

d

b

a

d

a

d

c

a

d

c

d

c

b

d

c

b

c

b

a

 

.

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2











































c

b

a

b

a

d

b

a

d

a

d

c

a

d

c

d

c

b

d

c

b

c

b

a

 

 

№5.  (Математика  Республикалық  Олимпиада-2010.    ІІ-кезең,  9-сынып) 

z

y

x

c

b

a











 теңдігі орындалатын теріс емес  

c

b

a ,

,

 және оң нақты 

z

y

x ,

,

 

сандары  үшін  

c

b

a

z

c

y

b

x

a











2

3

2

3

2

3

 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.  

4 

 

Шешуі:  Алдымен  берілген  теңсіздіктің  екі  жағын 











c

b

a

ге  көбейтіп, 

мына теңсіздік 









2

2

3

2

3

2

3

c

b

a

z

c

y

b

x

a

c

b

a

S





























 

түрінде  келтіреміз.  Осы  теңсіздіктің  сол  жағын  түрлендіріп,  оған  Коши-

Буняковский теңсіздігін қолданамыз: 

     

























































































2

3

2

3

2

3

2

2

2

z

c

y

b

x

a

c

b

a

S

 

.

2

2

2

2

2

3

3

3















































z

c

y

b

x

a

z

c

c

y

b

b

x

a

a

 

Енді, бұған Коши-Буняковскийдің 

 

*

*

 теңсіздігін қолданамыз: 









.

2

2

2

2

2

2

2

c

b

a

z

y

x

c

b

a

z

c

y

b

x

a

S



























































































 

Бұдан, 

c

b

a

z

c

y

b

x

a











2

3

2

3

2

3

 

теңсіздігі алынады. Демек, теңсіздік дәлелденді. 

 

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР: 

 

1. 

J.Micheal Steele. The Cauchy-Schwarz Master Class. An Introduction to 

the Art of mathematical inequalities. Cambridge University Press. – 2004. – 318 p. 

2. 

Соловьёв Ю.П. Неравенства. Серия:  «Библиотека “Математическое 

просвещение”» – М.: МЦНМО, 2005. – 16 с.: ил. 

3. 

Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства / 

Пер. с арм. Г.В. Григоряна. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 256 с.  

4. 

Radmila  B.M.,  JosenAntonio  G.O.,  Rogelio  V.D.  Inequalities.  A 

Mathematical Olympiad Approach. Birhauser. Basel  – Boston – Berlin. 2009. – 216 

p.