Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

57 

Пример 39 

Решить дифференциальное уравнение  

 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 

0

9

6

2











 

Здесь можно вычислить дискриминант, равный нулю, и найти кратные корни. Но 

можно невозбранно применить известную школьную формулу 

2

2

2

)

(

2

b

a

b

ab

a









 

(которую, конечно, ещё нужно «увидеть»): 

0

)

3

(

2







 – получены два кратных действительных корня 

3

2

,

1





 

 

Ответ: общее решение: 

const

C

C

xe

C

e

C

y

x

x







2

1

3

2

3

1

,

где

,

 

 

Результат можно записать и в виде 

x

e

C

x

C

y

3

1

2

)

(





, который, кстати, удобен для 

проверки. Найдём первую производную: 

x

x

x

x

e

C

C

x

C

e

C

x

C

e

C

e

C

x

C

y

3

2

1

2

3

1

2

3

2

3

1

2

)

3

3

(

)

(

3

)

)

((





















, 

вторую: 

x

x

x

x

e

C

C

x

C

e

C

C

x

C

e

C

e

C

C

x

C

y

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

3

2

1

2

)

6

9

9

(

)

3

3

(

3

3

)

)

3

3

((

























 

– обратите внимание на рациональную технику дифференцирования – часть 

действий можно (и на данный момент уже нужно!) выполнять устно. 

 

Подставляем 

x

x

e

C

C

x

C

y

e

C

x

C

y

3

2

1

2

3

1

2

)

3

3

(

,

)

(













 и 

x

e

C

C

x

C

y

3

2

1

2

)

6

9

9

(









 

в левую часть уравнения, «собираем» всё под единой скобкой и проводим упрощения: 



























x

x

x

e

C

x

C

e

C

C

x

C

e

C

C

x

C

y

y

y

3

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

)

(

9

)

3

3

(

6

)

6

9

9

(

9

6

 

0

0

)

9

9

6

18

18

6

9

9

(

3

3

1

2

2

1

2

2

1

2























x

x

e

e

C

x

C

C

C

x

C

C

C

x

C

 – в результате 

получена правая часть исходного уравнения, значит, решение найдено правильно. 

Пример 40 

Решить дифференциальное уравнение 

0

2











y

y

y

 

 

Решаем самостоятельно. 

 

Случай третий.

 Характеристическое уравнение имеет сопряженные 

комплексные корни. Даже если вы не знаете, что такое 

комплексные числа

, этот 

случай можно освоить чисто формально. 

 

Если характеристическое уравнение 

0

2







q

p





 имеет сопряженные 

комплексные корня 

i











1

, 

i











2

 (дискриминант 

0



D

), то общее решение 

однородного уравнения принимает вид:  





x

C

x

C

e

y

x







sin

cos

2

1







, где 

2

1

, C

C

 – константы. 

 

Примечание:

 сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко 

следующим образом: 

i











2

,

1

 

 

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: 

i









2

,

1

, то 

общее решение упрощается:  

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

58 

Пример 41 

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка 

0

10

2











y

y

y

 

 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 

36

40

4

0

10

2

2















D





 

i

i

3

1

2

6

2

2

,

1











 – получены сопряженные комплексные корни 

 

Ответ: общее решение: 

 

«Тягать» производные и выполнять громоздкую подстановку тут уже, конечно, не 

хочется (хотя иногда приходится), и поэтому в качестве достаточно надежной проверки 

рациональнее перепроверить решение квадратного уравнения… 1-2-3 раза  

 

Аналогичный пример для самостоятельного решения: 

Пример 42 

Решить уравнение 

0

5

4











y

y

y

 

 

Иногда в заданиях требуется найти частное решение, удовлетворяющее заданным 

начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью 

сохраняется, но в конце задачи добавляется дополнительный пункт: 

Пример 43 

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее 

начальным условиям 

1

)

0

(



y

, 

2

)

0

(





y

 

0

4 





y

y

 

 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 

0

)

2

)(

2

(

0

4

2

















 

2

1







, 

2

2





 

Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение: 

const

C

C

e

C

e

C

y

x

x









2

1

2

2

2

1

,

где

,

 

 

Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным 

условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант 

2

1

,C

C

, 

чтобы выполнялись ОБА условия. Алгоритм нахождения частного решения будет 

отличаться от «отстрела» констант, который мы использовали ранее. 

  

Сначала используем начальное условие 

1

)

0

(



y

: 

2

1

0

2

2

0

2

1

)

0

(

C

C

e

C

e

C

y















 

Согласно начальному условию, получаем первое уравнение: 

1

)

0

(

2

1







C

C

y

 или 

просто 

1

2

1



C

C

. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

59 

Далее берём наше общее решение 

x

x

e

C

e

C

y

2

2

2

1







 и находим производную: 

 

 

Используем второе начальное условие 

2

)

0

(





y

: 

 

Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение: 

2

2

2

)

0

(

2

1











C

C

y

 или просто 

2

2

2

2

1







C

C

, или ещё проще – все члены уравнения 

можно сразу разделить на два: 

1

2

1







C

C

 

 

Составим и решим систему из двух найденных уравнений: 

















1

1

2

1

2

1

C

C

C

C

 

 

Здесь можно использовать «школьный» метод решения (выразить в каком-нибудь 

уравнении одну переменную через другую и подставить её во второе уравнение), но 

удобнее провести почленное сложение уравнений: 

2

2

0

||

||

||

1

1

2

2

1

2

1



















C

C

C

C

C

 

из уравнения 

2

2

2



C

 находим 

1

2



C

 и подставляем это значение в любое, 

например, первое уравнение системы:  

0

1

1

1

1









C

C

 

 

Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант 

1

,

0

2

1



 C

C

 

в общее решение 

x

x

e

C

e

C

y

2

2

2

1







: 

x

x

x

e

e

e

y

2

2

2

1

0













 

 

Ответ: частное решение: 

x

e

y

2



 

 

Проверка осуществляется по уже знакомой схеме: 

 

1) Сначала проверим, выполняется ли начальное условие 

1

)

0

(



y

: 

1

)

0

(

0

2







e

y

 – начальное условие выполнено. 

 

2) Находим первую производную от ответа: 

x

x

e

e

y

2

2

2

)

(









 и проверяем выполнения начального условия 

2

)

0

(





y

: 

2

2

)

0

(

0

2









e

y

 – второе начальное условие тоже выполнено. 

 

3) Находим вторую производную: 

x

x

e

e

y

2

2

4

)

2

(









 и подставляем её вместе с 

x

e

y

2



 в левую часть исходного уравнения: 

0

4

4

4

2

2











x

x

e

e

y

y

 – в результате получена правая часть.  

 

Вывод: частное решение найдено верно. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

60 

Пример 44 

 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее 

начальным условиям 

1

)

(







y

, 

4

2



















y

. Выполнить проверку. 

0

4 





y

y

 

 

Это пример для самостоятельного решения, 

справочно

: 

1

2

cos

,

1

cos

,

0

2

sin

,

0

sin



















 

 

Решение и ответ в конце книги. 

 

Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, 

главное, 

правильно решить квадратное уравнение.

 

 

Иногда встречаются «нестандартные» однородные уравнения, например уравнение 

в виде 

0











qy

y

p

y

r

, где при второй производной есть некоторая константа 

r

, 

отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не 

меняется: следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его 

корни. Если характеристическое уравнение 

0

2







q

p

r





 будет иметь два различных 

действительных корня, например: 

3

1

,

2

1

2

1











, то общее решение запишется по 

обычной схеме: 

const

C

C

e

C

e

C

y

x

x









2

1

3

2

2

1

,

где

,

.  

 

В ряде случаев из-за опечатки в условии или задумки автора могут получиться 

«нехорошие» корни, что-нибудь вроде 

2

6

3

,

2

6

3

2

1













. В подобной ситуации я 

рекомендую перепроверить решение квадратного уравнения (вдруг мы сами ошиблись?) 

и в случае «подтверждения» корней спокойно записать ответ: 

const

C

C

e

C

e

C

y

x

x

















 











 

2

1

2

6

3

2

2

6

3

1

,

где

,

 

 

С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие 

2

3

2

1

2

3

1

2

,

1

i

i











 тоже никаких проблем, общее решение: 















































2

3

sin

2

3

cos

2

1

2

x

C

x

C

e

y

x

  – и не так уж «плохо» оно и выглядит ;) 

 

То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое 

квадратное уравнение имеет два корня. 

 

И, как подсказывает интуиция, если существует однородное уравнение, то должно 

существовать и 

НЕ

однородное уравнение: 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

61 

2.3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка 

 

Оно отличается ненулевой правой частью: 

 

)

(x

f

qy

y

p

y











, где 

p

 и 

q

, как мы оговорили ранее – постоянные 

коэффициенты, а 

)

(x

f

 – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае 

)

(x

f

 может быть функцией-константой, отличной от нуля.  

 

Какая догадка сразу приходит в голову? Неоднородное уравнение решить труднее.  

И интуиция нас опять не подводит!  

 

Для решения данного диффура существует универсальный 

метод вариации 

произвольных постоянных

, но он отличается сложностью и громоздкостью, и поэтому на 

практике (если это возможно) обычно используют метод подбора, который я и 

рассмотрю в рамках настоящего курса.  

 

Алгоритм решения 

состоит из трёх этапов: 

 

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего 

однородного 

уравнения

. Да-да, взять уравнение 

)

(x

f

qy

y

p

y











, откинуть правую часть: 

0











qy

y

p

y

 – и найти общее решение, чем мы только и занимались в предыдущем 

параграфе. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой 

Y

. 

 

2) Наиболее трудный этап. Точнее говоря, замысловатый и даже приключенческий. 

Необходимо ПОДОБРАТЬ частное решение 

y

~

 неоднородного уравнения. Отсюда и 

название метода. Как подобрать? – об этом в практических примерах. 

 

Внимание!

 В ваших лекциях, методичках, практических занятиях общее решение 

однородного уравнения 

Y

 и подобранное частное решение неоднородного уравнения 

y

~

, 

скорее всего, обозначаются не так. В частности, популярна версия: 

OO

y

 – общее решение однородного уравнения; 

ЧН

y

 – частное решение неоднородного уравнения 

 

Я «намертво» привык к обозначениям 

Y

, 

y

~

, которые легче нарисовать, и буду 

использовать именно их. 

 

3) На третьем шаге надо составить общее решение 

y

  неоднородного уравнения. 

Это совсем легко: 

y

Y

y

~





. Совершенно верно – следует просто приплюсовать 

завоёванные трофеи. 

 

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, 

удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап: 

 

4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным 

условиям. Схема нахождения частного решения рассмотрена в 

Пример 43-Пример

 44

,

 и 

здесь её принципы сохраняются.  

 

По существу, вся новизна здесь состоит в Пункте 2, однако хватит лирики, …какой 

ужас – целая страница получилась! – срочно переходим к физике: 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

62 

Пример 45 

Решить дифференциальное уравнение  

x

y

y

16

8

4











 

 

Поначалу я буду нумеровать этапы решения: 

 

1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. 

Берём наш неоднородный диффур 

x

y

y

16

8

4











  и обнуляем правую часть: 

0

4









y

y

 

 

Составим и решим характеристическое уравнение: 

0

)

4

(

0

4

2

















 

4

,

0

2

1









 – получены различные действительные корни, поэтому общее 

решение: 

const

C

C

e

C

C

Y

x







2

1

4

2

1

,

где

,

 

 

2) Теперь нужно подобрать частное решение 

y

~

 неоднородного уравнения 

x

y

y

16

8

4











 

 

И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать 

частное решение 

y

~

?  

 

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: 

x

x

f

16

8

)

(





. Тут у нас многочлен 

первой степени и по идее, частное решение тоже следует искать в виде линейного 

многочлена 

B

Ax

y





~

, где 

B

A,

 – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). То есть, 

нам нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, 

но уже с неопределёнными коэффициентами.  

 

 

Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду 

называть очевидной или первоначальной версией подбора. Почему первоначальной? 

Потому что она может измениться. А может и нет. 

 

Теперь смотрим на нашу «заготовку» 

B

Ax

y





~

 и проверяем, НЕТ ЛИ таких 

слагаемых в найденном общем решении 

x

e

C

C

Y

4

2

1





? Члена вида 

x

С

*

 в нём нет, а вот 

одинокая константа  – УЖЕ ЕСТЬ: 

 

 

Образно говоря, в итоговом решении 

y

Y

~



  это место уже занято, и одинокая 

буква 

B

 в «очевидном» подборе – лишняя. Поэтому ВСЮ первоначальную версию 

следует домножить на «икс»: 

Bx

Ax

B

Ax

x

y









2

)

(

~

 

При этом степени пропускать нельзя! – даже если в правой части находится 

неполный многочлен. Так, если  

x

x

f

16

)

(





, то выдвигаем ту же версию 

B

Ax

y





~

;  

если 

2

3

)

(

x

x

f



, то …;  

если 

x

x

x

f





3

2

)

(

, то … – во всех случаях прописываем ВСЕ степени 

многочлена. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

63 

Итак, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде 

Bx

Ax

y





2

~

. 

 

Найдем первую и вторую производную: 

A

B

Ax

y

B

Ax

Bx

Ax

y

2

)

2

(

~

2

)

(

~

2























 

и подставим их в левую часть неоднородного уравнения 

x

y

y

16

8

4











: 

x

B

Ax

A

B

Ax

A

y

y

16

8

4

8

2

)

2

(

4

2

~

4

~























 – после максимальных 

упрощений сразу приравниваем 

B

Ax

A

4

8

2





 к правой части исходного уравнения. 

 

Теперь приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях: 

 

и составляем систему линейных уравнений. Уравнения обычно записывают в 

порядке убывания степеней, в данном случае – начиная с «иксовых» коэффициентов: 

















8

4

2

16

8

B

A

A

 

Система получилась устная, и из неё следует, что 

1

,

2







B

A

 – подставляем 

найденные коэффициенты в «заготовку» 

Bx

Ax

y





2

~

: 

 

x

x

y





2

2

~

 частное решение неоднородно уравнения. 

 

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения: 

const

C

C

x

x

e

C

C

y

Y

y

x















2

1

2

4

2

1

,

где

,

2

~

 

 

Ответ: общее решение: 

const

C

C

x

x

e

C

C

y

x











2

1

2

4

2

1

,

где

,

2

 

 

Ещё перед записью общего решения (пунктом 3) целесообразно провести 

«быструю» проверку. Сначала проверяем, правильно ли мы решили квадратное 

уравнение, после чего первая часть ответа 

x

e

C

C

4

2

1



 (общее решение однородного 

уравнения) будет гарантировано правильной.  

Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное 

решение) 

x

x

y





2

2

~

. Это тоже просто. Берём первую и вторую производную: 

4

~

,

1

4

~











y

x

y

 и подставляем их в левую часть исходного уравнения 

x

y

y

16

8

4











: 

x

x

x

y

y

16

8

4

16

4

)

1

4

(

4

4

~

4

~























 – в результате получена правая часть 

уравнения, значит, частное решение подобрано верно. 

 

Тренируемся самостоятельно! 

Пример 46 

Решить дифференциальные уравнения 

а) 

4

3

2











y

y

y

,  б) 

3

8

4

x

y

y







 

 

Здесь в явном виде присутствует функция «игрек» и в ходе подбора частного 

решения, помимо производных 

y

y



 ~

,

~

, в левую часть нужно подставлять и сам подбор 

y

~

.  

Если возникла какая-то загвоздка – не теряйте времени и сверяйтесь с образцом, 

который я постарался расписать максимально подробно. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

64 

 Перейдём к рассмотрению, может быть, самого распространенного случая – когда 

в правой части находится экспонента: 

Пример 47 

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения 

x

e

y

y

y













51

10

6

 

 

Решение начинается стандартно: 

 

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: 

0

10

6











y

y

y

 

 

Составим и решим характеристическое уравнение: 

4

40

36

0

10

6

2















D





 

i

i









3

2

2

6

2

,

1



 – получены сопряженные комплексные корни, которые лучше 

незамедлительно проверить. Опытные читатели могут подставить их в 

характеристическое уравнение, но более лёгкий способ – это просто ВНИМАТЕЛЬНО его 

перепроверить. Чтобы в общем решении наверняка не было ошибок:   

)

sin

cos

(

2

1

3

x

C

x

C

e

Y

x





 

 

2) На втором шаге выполняем подбор частного решения 

y

~

 неоднородного 

уравнения 

x

e

y

y

y













51

10

6

. 

 

Сначала выясним, в каком виде его нужно искать. Смотрим на правую часть 

уравнения и выдвигаем первоначальную гипотезу: раз в правой части находится 

экспонента, умноженная на константу: 

x

e



51

 – то частное решение, по идее, нужно искать 

в «родственном» виде 

x

Ae

y





~

, где 

A

 –  пока ещё неизвестный коэффициент. 

 

Теперь смотрим на общее решение 

)

sin

cos

(

2

1

3

x

C

x

C

e

Y

x





 – в нём НЕТ 

слагаемого 

x

e

C



*

, а значит, первоначальную версию 

x

Ae

y





~

 домножать на «икс» НЕ 

НУЖНО и она принимается в качестве «рабочей» версии. 

 

Найдём производные, они здесь простецкие: 

x

x

Ae

Ae

y















)

(

~

 

x

x

Ae

Ae

y















)

(

~

 

 

и подставим 

x

x

Ae

y

Ae

y













~

,

~

 и 

x

x

Ae

Ae

y















)

(

~

 в левую часть 

неоднородного уравнения 

x

e

y

y

y













51

10

6

: 

 

...

6

~

10

~

6

~



















x

x

Ae

Ae

y

y

y

  – после упрощений приравниваем результат к 

правой части неоднородного уравнения. 

 

Из последнего равенства 

51

17 

A

 следует, что 

3



A

. Таким образом, у нас 

нарисовалось частное решение 

x

e

y



 3

~

, которое тоже лучше сразу же проверить: 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

65 

Подставим 

x

e

y



 3

~

 с очевидными производными 

x

x

e

y

e

y















3

~

,

3

~

 в левую 

часть исходного уравнения 

x

e

y

y

y













51

10

6

: 

x

x

x

x

x

x

x

e

e

e

e

e

e

e

y

y

y









































51

30

18

3

3

10

)

3

(

6

3

~

10

~

6

~

 – получена 

правая часть уравнения, значит, частное решение найдено правильно. 

 

3) Осталось с лёгким сердцем записать итоговый результат: 

x

e

x

C

x

C

y

Y

y













3

)

sin

cos

(

~

2

1

 

 

Ответ: обще решение: 

const

C

C

e

x

C

x

C

y

x











2

1

2

1

,

где

,

3

)

sin

cos

(

 

 

Следующий пример для самостоятельного решения: 

Пример 48 

x

e

y

y

y

4

3

12

7











 

 

В случае затруднений сверяйтесь с образцом в конце книги. После чего рассмотрим 

ещё одну классику жанра: 

Пример 49 

Решить дифференциальное уравнение 

x

e

y

y

y

3

9

6











 

 

Алгоритм решения сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.  

И добавляется ещё кое-что ;) 

 

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: 

0

9

6

0

9

6

2





















y

y

y

 

 

Как раз тот случай «озарения» по формуле 

2

2

2

)

(

2

b

a

b

ab

a









:  

0

)

3

(

2







 

3

2

,

1





 – получены кратные действительные корни, поэтому общее решение: 

x

x

xe

C

e

C

Y

3

2

3

1





 

 

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение 

y

~

. Смотрим на правую 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: