Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»



Pdf көрінісі
бет4/12
Дата28.10.2019
өлшемі1,54 Mb.
#50747
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
Байланысты:
diffury demo


Пример 12 

Решить уравнение 

0

2





y

xy

y

x

 

 



И перед тем, как решать, СТОП, не торопимся, а мысленно либо на черновике 

анализируем: нельзя ли разделить переменные? Нет, нельзя. 

 

Проверим уравнение на однородность, для этого ВМЕСТО   подставляем  x



 и 


ВМЕСТО 

y

 подставляем 



y

 : 


0

2

0



2

0

2



2











y



xy

y

x

y

xy

y

x

y

y

x

y

x







 



выносим «лямбду» за скобки 

, после чего она ликвидируется: 



0

2

0



)

2

(









y



xy

y

x

y

xy

y

x

 



 

В результате получено исходное ДУ, значит, оно является однородным. 

 

Следует отметить, что на чистовике такую проверку проводить не нужно (если 



специально не просят), и очень быстро вы приноровитесь выполнять её устно. 

 

Проведём типовую замену, а именно подставим  



tx

 и 


t

x

t

y



 в исходное 



уравнение: 

0

2



)

(







tx



tx

x

t

x

t

x

 

Выносим «икс» из-под корня и за скобки: 



0

)

2



(

0

)



2

(

0



2

)

(













t

x

t

x

t

t

t

x

t

x

tx

t

x

t

x

t

x

 

И вот здесь нас подстерегает первый опасный момент: сейчас мы разделим обе 



части на  , после чего он исчезнет. Поэтому нужно проконтролировать, не является ли 

0



x

 решением ДУ. Подставляем 

0



x



 исходное уравнение: 

0

0



0





y

 – получено неверное равенство, значит, 

0



x



 не является решением и 

от него можно смело избавляться: 

0

2





t



x

t

 

 



Разделяем переменные: 

t

dx

dt

x

2



 

 



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

21 


x

dx

t

dt



2

 

 



И сейчас произошло второе опасное событие:   мы сбросили в знаменатель, 

поэтому нужно проверить, не является ли 

0



t



 решением ДУ. Поскольку 

x

y

, то речь 

идёт о функции 

0



y

 – подставляем её вместе с производной 

0

)

0



(





y

 в исходное 

уравнение 

0

2





y

xy

y

x

, где всё очевидно: 

0

0

0



0



 – получено верное равенство, значит, 

0



y



 – это одно из решений 

ДУ, и мы его рискуем потерять

 

Берём это на заметку и продолжаем решение. Интегрируем обе части: 



C

x

t

x

dx

t

dt





ln



2

 

Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену 



x

y



C



x

x

y



 ln

 – константу лучше записать без логарифма, поскольку результат 

мы уже без напоминаний представим в виде 

C

y

x

F

)



;

(

. Хотя, тут можно выразить и 



общее решение 

x

C

x

y

2

ln



, определив таки константу под логарифм. Но зачем лишние 

действия? – условие никак не оговаривает вид ответа.  

 

А теперь вспоминаем о решении 



0



y

. В общий интеграл оно не вошло, и 

поэтому его нужно дополнительно указать в ответе: 

 

Ответ: общий интеграл: 

const

C

C

x

x

y



где


,

ln

, ещё одно решение: 



0



y

 

 

Потеря решения будет серьёзным недочётом



 и основанием для незачёта задачи! 

 

Следует отметить, что если по условию требуется найти только частное 



решение, удовлетворяющее, например, условию 

1

)



1

(



y

, то за «опасными» действиями 

можно особо не следить, быстренько находим общий интеграл 

C

x

x

y

 ln



 и нужное 

решение: 

1

ln

1



0

1

1



ln

1

1











x

x

y

C

C

C

 – искомый частный интеграл. 

 

Но, тем  не менее, остаётся пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно то 



решение, которое нужно. Или не маленький – зависит от злого гения автора задачника :) 

 

Продолжаем, сейчас будет становиться 



всё жарче

 

и жарче!

 

 


© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

22 


Пример 13 

Решить дифференциальное уравнение 

0

)

2



(

2

2





dy

x

dx

xy

y

 

 



Это очень интересный пример, прямо целый триллер! Сначала убеждаемся в том, 

что переменные тут 

разделить

 нельзя, после чего проводим проверку на однородность: 



0



)

2

(



0

)

2



(

0

)



2

(

0



)

(

)



2

)

((



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2













dy

x

dx

xy

y

dy

x

dx

xy

y

dy

x

dx

xy

y

dy

x

dx

y

x

y







 



0

)

2



2

2





dy



x

dx

xy

y

 – в результате получено исходное ДУ, значит, оно является 

однородным. 

 

Особенность этого уравнения состоит в том, что оно содержит готовые 



дифференциалы, и его можно решить модифицированной заменой: 

tdx

xdt

dy

tx

y



 



 

Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая 

китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения 

выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим все члены 

уравнения на  dx 

 

0



2

0

)



2

(

2



2

2

2









y

x

xy

y

dx

dx

dy

x

dx

dx

xy

y

 

 



И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Контролируем ситуацию: 

уравнению 

0



dx



 соответствует 

С

 – семейство прямых, параллельных оси  OY 

Являются ли они решениями нашего ДУ? Подставим в него 

С

 и  


0

)

(



 С



d

dx

0



0

0

)



2

(

2



2

2







dy

C

dy

C

Сy

y

 

 



Данное равенство справедливо, если 

0



С

, то есть, при делении на  dx  мы 

рисковали потерять корень 

0



x

и мы его потеряли – так как он УЖЕ не 



удовлетворяет полученному уравнению 

0

2



2

2





y

x

xy

y

 



Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение 

0

2



2

2





y

x

xy

y

, то о корне 

0



x



 речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя 

«отловили». Продолжаем решение стандартной заменой 



t

x

t

y

tx

y



 ,



0

)



(

2

)



(

2

2







t

x

t

x

tx

x

tx

 

 



после подстановки упрощаем всё, что можно упростить: 

 

 



 

 

 



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

23 


Разделяем переменные: 

x

dx

t

t

dt

t

t

dx

dt

x



)



1

(

2



 

 

И вот здесь снова СТОП: при делении на 



)

1

(



t

t

 мы рискуем потерять сразу две 



функции. Так как 

x

y

, то это функции: 



x

y

x

y

t

y

x

y

t









1

0

1



0

0

0



 

Очевидно, что первая функция является решением уравнения 

0

2

2



2





y



x

xy

y

Проверяем вторую – подставляем 



x

 и её производную 

1

)

(







x

y

0



2

0

1



2

2

2



2

2

2









x



x

x

x

x

x

x

 

0



0   – получено верное равенство, значит, функция 

x

 тоже является 

решением дифференциального уравнения. 

 

И при делении на 



)

1

(



t

t

 мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут 



войти в общий интеграл. Но могут и не войти. 

 

Берём это на заметку и интегрируем обе части: 







x

dx

t

t

dt

)

1



(

 

 



Интеграл левой части можно решить методом выделения полного квадрата, но в 

диффурах удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов.  

 

Разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: 



1

)

1



(

)

1



(

1

1









Bt

t

A

t

t

t

B

t

A

 

1



1

0









B



A

B

A

 

Таким образом: 



1

1

1



1

1

1



)

1

(



1







t



t

t

t

t

t

 – удобнее так.  

 

Берём интегралы: 



C

x

dt

t

t

ln

ln



1

1

1









 



C

x

t

t

ln

ln



1

ln

ln





 – так как у нас нарисовались одни логарифмы, то 

константу тоже заталкиваем под логарифм. 

 

 



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

24 


Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить

C

t

x

t

C

x

t

t

ln

)



1

(

ln



ln

ln

1



ln





 

Сбрасываем цепи: 



C

t

x

t

 )



1

(

 



И вот только теперь обратная замена 

x

y

 



 

 

 



 

 

 



 

Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение 

0



y



 вошло в общий интеграл при 

значении 

0



C



, а вот 

x

 – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. 

Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном 

решении 


0



x

, которое, к слову, тоже оказалось внизу 

 

Ответ: общий интеграл. Ещё решения: 



x

y

x

 ,



0

 

 



Здесь не так трудно выразить общее решение: 

1

)



1

(

2



2

2

2













Cx



Cx

y

Cx

y

Cx

Cx

y

Cxy

Cx

Cxy

y

Cx

x

y

y

, хотя 


лично я сторонник общего интеграла (за исключением каких-то совсем простых случаев). 

 

Однако, для проверки оно весьма удобно, найдём производную: 



2

2

2



2

2

2



)

1

(



)

1

(



2

)

1



(

)

1



(

)

1



(

)

(



1





















Cx



С

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

y

  

и подставим 



2

2

2



2

)

1



(

1

2



,

1







Cx

x

C

Cx

Cx

y

Cx

Cx

y

 в левую часть уравнения: 

























2

2



2

2

2



2

2

2



2

)

1



(

1

2



1

2

1



2

Cx

x

C

Cx

Cx

x

Cx

Cx

x

Cx

Cx

y

x

xy

y

 

0



)

1

(



1

2

1



2

)

1



(

2

4



2

3

3



2

4

2









Cx

x

C

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

x

C

 – в результате получена правая часть 

уравнения, что и требовалось проверить. 

 

 



 

 

 



 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

25 


Тренируемся! 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет