Дәріс Тақырып: Матрица және оған қолданылатын амалдар. Мақсаты

1. 
   СТЖ.
   
2. 
   Біртекті СТЖ.
   
3. 
   Біртекті емес СТЖ.
   
4. 
   Біртекті СТЖ шешу жолдары.
   
5. 
   Біртекті СТЖ шешудің Крамер әдісі.
   

Екіншіден, бас анықтауыш нөлге тең болғанда және белгісіздер саны теңдеулер санымен сәйкес келмесе Крамер әдісі қолданыла алмайды. Сондықтан, бірте-бірте белгісіздерді жою әдісі (Гаусс әдісі) қолданылады, ал бұл әдіс матрицаларды қолдану арқылы кеңейтіледі.

Белгісіздер саны мен теңдеулер саны бірдей болған жағдай үшін Гаусс әдісін қарастырамыз

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁



а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + a_2nx_n = b₂

…………………………………..

а_n1х₁ + а_n2х₂ + … + a_nnx_n = b_n

1

(а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁) = х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁ . (*)

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂

және дәл осылай жалғастырамыз, соңында (*) теңдеуін (-а_n1)-ге көбейтіп соңғы теңдеуге қосамыз, сонда

′ ′ ′ ′

Сонымен, (n-1) белгісіздігі жаңа теңдеулер жүйесін аламыз

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂ ,

а₃₂х₂ + а₃₃х₃ + … + a_3nx_n = b₃ , (7)

…… …… …… …… ……

′ ′ ′ ′

(7) жүйе (6) жүйеден теңдеулерді сызықтық түрлендірулер арқылы алынғандықтан, бұл жүйе (6) жүйемен мәндес, яғни (7) жүйенің шешімдері берілген теңдеулер жүйесінің де шешімдері болады.

Үшінші, төртінші және т.б. n-і теңдеулердегі х₂ – ден құтылу үшін (7) жүйенің бірінші теңдеуін а₂₂ санына бөлу қажет және осы теңдеуді х₂ – нің кері таңбасымен алынған коэффициентіне көбейтіп және оларды қосып мына жүйені аламыз:

′ ′ ′ ′

а₃₃⁽²⁾ х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽²⁾,

а_n3⁽²⁾ х₃ + … + a_nn⁽²⁾ x_n = b_n ⁽²⁾ .

′ ′ ′ ′

х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽³⁾,

а_nn ⁽ⁿ⁾ х_n = b_n ⁽ⁿ⁾ .

Соңғы теңдеуден x_n –і табамыз, оның мәнін алдындағы теңдеуге қойып x_n-1-ің мәнін аламыз, осылай жоғары қарай жылжи отырып x₁-ің мәнін табамыз. Бұл Гаусстың классикалық әдісі. Енді n белгісізі бар m теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁ ,

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + a_mnx_n = b_m .

(8) теңдеулер жүйесінің белгісіздерінің коэффициенттерінен құрылған матрица негізгі матрица деп аталады.

Егер осы матрицаға бос мүшені (n+1) тік жолы (бағаны) етіп алатын болсақ, онда ол кеңейтілген матрица деп аталады:

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

A = … … … … .

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

Матрица жолдарына сызықтық амалдар қолдануға болады:

• 
  жолдарды ауыстыру;
  
• 
  жолды кез келген санға көбейтуге және оны басқ жолдың сәйкес элементтеріне қосуға;
  
• 
  бағандарды ауыстыру (қай белгісізге олар сәйкес келетінін есте сақтау керек);
  
• 
  баған элементтеріне амалдар (қосуға, көбейтуге және т.б.)қолдануға болмайды.
  

0 1 … 0 с₂

… … … … … .

0 0 … 1 с_m

Сонда, егер тік жолдар орындарын ауыстырмаса, онда жүйенің шешімі:

х₁= с₁; х₂ = с₂;…; х_m = с_m

Қайталау сұрақтары:

1. 
   Алдын ала нөлдерге келтіру
   
2. 
   Тура жүру әдісі
   
3. 
   Кері қадам
   
4. 
   Элементар түрлендіру
   

1. Вектор. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

2. Вектордың проекциясы

3. Вектордың координаталарымен анықталуы