Комплекс айнымалы функцияны интегралдау
Комплекс облысында L контуры бойынша үзіліссіз функциясының қисық сызықты интегралы интегралдық қосындының шегі арқылы анықталады
(1)
Егер
болса, онда (1) мына түрде жазуға болады
(2)
Кошидің интегралдық теоремасы. Егер бірбайланысты G облысында аналитикалық функция болса, онда осы облыста жатқан кез келген L тұйық контур бойынша алынған интеграл нөлге тең, яғни
(3)
(3) формула көпбайланысты облыс үшін де орынды.
Кошидің интегралдық формуласы. Егер контуры тұйық L мен шектелген G облысында бірмәнді аналитикалық функция болса, онда кез келген нүктесі үшін
(4)
(4) формуладан аламыз
(5)
Аналитикалық функцияның n-ші ретті туындылары келесі формуламен анықталады
(6)
Мысал. интегралды есептеңіз.
Шешуі. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша
Мысал. интегралды есептеңіз.
Шешуі. L қисығын мына түрде жазамыз:
-
Интегралдау жолы сағат бағытына кері. болса, онда , мұнда
|
|
Мысал. интегралды есептеңіз.
Шешуі. L қисығы - центрі радиусы 2 тең шеңбер. ерекше нүктелердің тек біреуі, яғни шеңбердің ішінде жатады. Интеграл астындағы функцияны келесі түрде қарастырамыз:
,
мұндағы функциясы L контурының ішіндегі аналитикалық функция. (4) Кошидің интегралдық формуласы бойынша
Мысал. интегралды есептеңіз.
Шешуі. L қисығы - центрі радиусы 3 тең шеңбер. Интеграл астындағы функция нүктелерден өзге осы қисықпен шектелген барлық нүктелерінде аналитикалық функция.
Б ерілген облыс - үшбайланысты облыс - L, L1, L2, мұндағы L1, L2 центрлері 0 және –2 нүктелерінде жататың радиустары мейлінше кіші шеңберлер.
|
L
L2 L1
|
Коши теоремасынан
Бірінші интегралға (5) формуланы қолданамыз
Екінші интегралды (6) формуламен есептейміз
,
|
2
|
