Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары және олардың қасиеттері Тексерген: Талипова М. Ж

Тексерген: Талипова М.Ж.

Дайындаған: Наурызбаева М.Ж.

Қ.Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік университеті

Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

• 
  Сандық сипаттамаларының маңыздыларының біріне математикалық күтім M(X), дисперсия D(X) және орта квадраттық ауытқу (Х) жатады.
  
• 
  Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын оның математикалық күтімі деп атайды.
  
• 
  M(X) белгіленеді:
  

  M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=

Математикалық күтімнің қасиеттері:

• 
  1) Тұрақты шаманың математикалық күтімі тұрақты шаманың өзіне тең:
  
• 
  M(C)=C;
  
• 
  2) Тұрақты көбейткішті математикалық күтім белгісінің сыртына шығаруға болады: M(CX)=CM(X);
  
• 
  3) Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың ақырлы санының көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең:
  
• 
  M(X·Y·Z)=M(X)·M(Y)·M(Z);
  
• 
  1. Кездейсоқ шамалардың ақырлы санының қосындысының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең:
  
• 
  M(X+Y+Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
  
• 
  2. Егер Х кездейсоқ шамасының барлық мәндерін бірдей С санына кемітсе (арттырса) , онда оның математикалық күтімі де сол С санына кемиді (артады):
  
• 
  M(C-X)=M(X)-C
  

Х дискретті кездейсоқ шамасының дисперсиясы (шашырау) дегеніміз, Х пен математикалық күтімінің квадратының математикалық күтімнен ауытқуын атайды: D(X)=M[X-M(X)]2

• 
  Х дискретті кездейсоқ шамасының дисперсиясы (шашырау) дегеніміз, Х пен математикалық күтімінің квадратының математикалық күтімнен ауытқуын атайды: D(X)=M[X-M(X)]2
  
• 
  Дисперсияны есептеу үшін келесі формуланы қолданған қолайлы: D(X)=M(X2)-[M(X)]2
  
• 
  Дисперсияның қасиеттері:
  
• 
  1.Тұрақты шама С-ның дисперсиясы 0-ге тең: D(C)=0;
  
• 
  2.Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадрат дәрежесін шығаруға болады. D(CX)=C^2D(X);
  
• 
  3. Бірнеше өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең: D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z);
  
• 
  4. Екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың айырмасының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:
  

  D(X-Y)=D(X)+D(Y);

• 
  5. Х кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы деп дисперсиядан алынған квадрат түбірді атайды: σ(X)= ;
  

  Дисперсияның өлшемі кездейсоқ шаманың квадратының өлшеміне тең. Себебі, орта квадраттық ауытқуы дисперсиядан алынған квадрат түбірге тең болғандықтан, онда σ(Х) өлшемі Х-тің өлшеміне тең. Сондықтан шашырау бағасы дұрыс болуы үшін орта квадраттық ауытқуды есептейді.

• 
  Мысалы,
  

  егер Х сызықтық метрде өрнектелетін болса, онда σ(Х) сызықтық метрде өрнектеледі, ал D(X) – квадрат метрде.

• 
  Мысалы,
  

  үлестіру заңымен берілген Х дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын есептеңіз:

• 
  X -5 2 3 4
  
• 
  P 0,4 0,3 0,1 0,2
  
• 
  Шешуі:
  
• 
  Математикалық күтімін табайық:
  
• 
  М(Х)=-5·0,4+2·0,3+3·0,1+4·0,2=-0,3.
  
• 
  Дисперсияны есептеу үшін мына формуланы қолданған жөн:
  
• 
  D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2
  
• 
  Х^2 үлестіру заңын құрастырайық:
  
• 
  Х2 25 4 9 16
  
• 
  P 0,4 0,3 0,1 0,2
  
• 
  М(Х^2)=25·0,4+4·0,3+9·0,1+16·0,2=15,3.
  
• 
  D(X)=M(X^2)- [M(X)]^2=15,3-(-0,3)2=15,21
  
• 
  σ(X)= = =3,9.
  

Теорема. А оқиғасының көріну санының М(Х) математикалық күтімі n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиға санын оқиғасының көрінуінің ықтималдығына көбейткенге тең:

• 
  Теорема. А оқиғасының көріну санының М(Х) математикалық күтімі n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиға санын оқиғасының көрінуінің ықтималдығына көбейткенге тең:
  
• 
  M(X)=n·p.
  
• 
  Теорема. А оқиғасының D(Х) дисперсиясы n тәуелсіз тәжірибелерде, олардың әрқайсысында р ықтималдығы тұрақты болатын көріну тәжірибелер санын оқиғаның бір тәжірибеде көрінбеу санына көбейткенге тең:
  
• 
  D(X)=n·p·q