Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»



Pdf көрінісі
бет6/12
Дата28.10.2019
өлшемі1,54 Mb.
#50747
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
Байланысты:
diffury demo


Ответ: частное решение: 

x

e

y

x

2



 

 

Ещё раз повторим алгоритм проверки частного решения. Сначала проверяем, 



действительно ли выполняется начальное условие 

e

y

)



1

(



e

e

y



1

)

1



(

2

1



 – да, начальное условие выполнено. 

 

Теперь берём полученный ответ 



x

e

y

x

2



 и находим производную. Используем 

правило дифференцирования частного: 

2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



)

(

)



(

x

e

e

x

e

x

x

e

x

x

e

x

e

x

e

y

x

x

x

x

x

x

x















 

 



Подставим 

x

e

y

x

2



 и 

2

2



2

2

x



e

e

y

x

x



 в исходное уравнение 

0

2

2







x

e

x

y

y

0



2

2

0



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2







x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

e

e

e

x

x

e

x

e

e

 

0



0   – получено верное равенство, в чём и хотелось убедиться. 

Пример 19 

Найти решение задачи Коши 

3

)

1



(

1

2







x



x

y

y

2



1

)

0



(



y

 

 

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце книги. 



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

32 


Не знаю, обратили вы внимание или нет, но всех задачах я «объявляю» тип 

дифференциального уравнения. Это не случайность! 

 

В начале решения крайне желательно указать тип  уравнения  

 

Это опять же не является каким-то строгим правилом, но «голое» решение могут 



запросто «завернуть» со вполне обоснованным вопросом: А почему вы здесь провели 

такую замену? Риск незачёта серьёзно увеличивается, если в вашей работе «одни 

формулы». Поэтому 



решение нужно обязательно снабжать словесными 

комментариями

, пусть минимальными, в частности, указывать, что это за зверь. 

 

Перейдем к рассмотрению чуть более замысловатых уравнений: 



Пример 20 

Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения 

3

2

2





xy

y

x

1



)

1

(





y

 

 

Решение: в данном уравнении слагаемые снова не на своих местах, поэтому 



сначала максимально близко приближаем диффур к виду 

)

(



)

(

x



q

y

x

p

y





3

2

2





xy

y

x

 

 



Что в нём особенного? Во-первых, в правой части у нас константа 

3

)



(



x



q

. Это 


допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель 

2

x

, который зависит только 

от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает 

быть линейным. 

 

Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом 



начале. Проведем замену 

v

u

v

u

y

uv

y







3

2

)



(

2







xuv

v

u

v

u

x

 

 



Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит 

каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам 

слагаемых недоступно: 

 

 



Вот теперь проводим вынесение множителя скобки: 

 

 



Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию  

но еще и «икс». Всё, что можно вынести за скобки – выносим. 

 

Составим и решим систему: 







3



0

2

2



v

u

x

v

v

x

 

 



 

 

 



Из первого уравнения найдем  

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

33 


2

ln

ln



ln

2

ln



2

2

x



v

x

v

x

dx

v

dv

v

dx

dv

x





 

2



x

 – подставим во второе уравнение системы: 

 

3

2



2



 x

u

x

 

4



3

x

dx

du 

 

3



4

1

3



x

C

x

dx

u



 



 

Таким образом, общее решение:  



const

C

x

Cx

x

x

C

uv

y







 


где



,

1

1



2

2

3



 

 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: 



0

1

1



1

1

1



)

1

(



2









C

C

C

y

 

 



Ответ: частное решение: 

x

y

1



 – проверка тут чуть ли не устная.  

 

Самостоятельно щёлкаем следующий орешек: 



Пример 21 

Найти частное решение ДУ 



x

e

x

y

x

y

x





2

3

)



1

(



0

)

1



(



y

 

 

Какие трудности встречаются в ходе решения линейного неоднородного  



уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно 

сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении 

функции   (в то время как с нахождением функции   обычно проблем не возникает). 

 

Второй момент касается вообще всех диффуров, а именно их «внешнего вида». Он 



зачастую обманчив: 

 

не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным,  



а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы 

 

Ну вот, например: 



2

3

2



2

y

x

xy

y



 …это простое уравнение? Как вы думаете? 

 

Вперёд! – оно нас уже заждалось =) 



 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

34 


1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли 

 

Не путать с методом Бернулли. Данное уравнение по общей структуре напоминает 



линейное неоднородное уравнение первого порядка: 

 

n



y

x

q

y

x

p

y

)

(



)

(





 с теми же частными разновидностями: 

)

(x



p

 или 


)

(x



q

 может 


быть числом, а у производной может присутствовать множитель 

)

(x



r

 



Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, 

является наличие функции «игрек» в степени «эн»: 



n

y

,  при этом 

1



n



 (иначе получится 

уравнение с разделяющимися переменными

) и 

0



n

 (т.к. получится как раз 



линейное 

неоднородное ДУ

).  

 

Степень   может быть не только положительной, но и отрицательной, например: 



y

y

1

1



, а также обыкновенной дробью, например: 



y

2

1



 

Если 



0



n

, то уравнение Бернулли имеет очевидное решение 

0



y

, которое 

«теряется» в ходе использования типового алгоритма: 

Пример 22 

Найти  частное  решение    дифференциального  уравнения,  соответствующее 

заданному начальному условию. 

2

3



2

2

y



x

xy

y



1



)

0

(





y

 

 



И вопрос на засыпку: с чего начать решение? С проверки нельзя ли 

разделить 

переменные

! Нельзя. Так же очевидно, что уравнение не 

однородно

, и по причине 

множителя 

2

y

 – не 

линейно


. Данный диффур имеет «классический» вид 

n

y

x

q

y

x

p

y

)

(



)

(



 уравнения Бернулли.  



 

Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?

 

 

Уравнение Бернулли сводится к 



линейному неоднородному уравнению

 с 



помощью замены, и алгоритм решения незамысловат: 

 

На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого 



сбрасываем 

2

y

 в низ левой части и проводим почленное деление: 

3

2



2

2

x



y

xy

y



 – вот здесь-то как раз и теряется решение 

0



y



. Но в нашем случае 

это не имеет особого значения, поскольку требуется решить задачу Коши: 

3

2

2



2

x

y

x

y

y



 

 



Теперь надо избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: 

 


© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

35 


Для этого проводим замену: 

)

(



1

x

z

y

, то есть меняем дробь с «игреком» на 



функцию «зет». Найдём её производную, распишу очень подробно: 

2

2



1

)

(



1

y

y

y

y

y

y

z

















, откуда выразим 



z

y

y



2



 

 

Таким образом, в результате замены 



z

y

y

z

y





2

,

1



 уравнение 

3

2



2

x

y

x

y

y



 

превращается в уравнение: 



3

2

2



x

xz

z



 



из эстетических соображений сменим знаки: 

3

2



2

x

xz

z



 



 

В результате получено 

линейное неоднородное уравнение

 с той лишь разницей, что 

вместо привычного «игрека» у нас буква «зет». Дальше алгоритм работает по накатанной 

колее, проводим стандартную замену 

v

u

v

u

z

uv

z





: 



3

3

2



)

2

(



2

2

x



xv

v

u

v

u

x

xuv

v

u

v

u









 

 



Составим и решим систему: 







3

2



0

2

x



v

u

xv

v

 

 



Из первого уравнения найдем  

2

ln



2

2

x



v

xdx

v

dv

xv

dx

dv







 

2

x



e

v



 – подставляем найденную функцию во второе уравнение: 

 

3



2

2

x



e

u

x





 

2

3



2

x

e

x

dx

du



 

 

(*)



2

2

3







dx

e

x

u

x

 

 



Этот интеграл берётся по частям, и вместо занятых   и  , я буду  использовать 

буквы «а» и «бэ»: 

2

2

2



2

)

(



2

2

2



2

2

x



x

x

x

e

x

d

e

dx

xe

b

dx

xe

db

xdx

da

x

a











 

 

и по формуле: 



 

...


2

(*)


2

2

2



2

2







x

x

x

e

x

dx

xe

e

x

 


© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

36 


Таким образом: 

1

)



(

2

2



2

2

2



2









x

Ce

e

C

e

e

x

uv

z

x

x

x

x

 

 



Но это ещё далеко не всё, вспоминаем, что 

z

y

1



 и выполняем обратную замену: 

 

const



C

x

Ce

z

y

x





где


,

1

1



1

2

2



 – общее решение. 

 

Обратите внимание, что решение 



0



y

 в это семейство не вошло, но сейчас 

данный факт не актуален, поскольку нам нужно решить задачу Коши, а именно найти 

частное решение, удовлетворяющее начальному условию 

1

)



0

(



y

0



1

1

1



1

0

1



)

0

(



2

0









С

C

Ce

y

 

 



Ответ: частное решение: 

2

1



1

x

y



 

 

Проверка здесь весьма простА: 



 

1) 


1

0

1



1

)

0



(

2





y

 – начальное условие выполнено. 

2) Найдём 

2

2

2



2

2

2



2

2

)



1

(

2



)

2

0



(

)

1



(

1

)



1

(

)



1

(

1



1

1

x



x

x

x

x

x

x

y

















 и 

подставим 

2

2

2



)

1

(



2

,

1



1

x

x

y

x

y





 в исходное уравнение 

2

3



2

2

y



x

xy

y



2



2

3

2



2

3

2



2

3

2



2

2

2



2

3

2



2

2

)



1

(

2



)

1

(



2

2

2



)

1

(



2

)

1



(

)

1



(

2

2



1

1

2



1

1

2



)

1

(



2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

















 

2

2



3

2

2



3

)

1



(

2

)



1

(

2



x

x

x

x



 – верное равенство. 

 

Таким образом, частное решение найдено верно. При желании можно проверить и 



общее решение – с более громоздкими, но не сверхъестественными выкладками. 

 

Самостоятельно: 




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет