Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»



Pdf көрінісі
бет7/12
Дата28.10.2019
өлшемі1,54 Mb.
#50747
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
Байланысты:
diffury demo


Пример 23 

0

1



2





y

x

y

y

1



)

0

(





y

 

 

Здесь перед решением целесообразно представить уравнение в «стандартном» виде 



уравнения Бернулли 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

37 


Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до 

неузнаваемости, например, то же уравнение

0

1

2







y



x

y

y

0



)

(

)



1

(

)



1

(

)



1

(

1



1

2

2



2

2

2















dx

y

xy

ydx

dy

x

dx

x

y

ydx

dy

x

dx

y

x

ydx

dy

y

x

y

dx

dy

 

 



И поэтому, 

если предложенное вам уравнение «по виду» не подпадает ни под 

один распространённый тип

, то имеет смысла пораскрывать скобки, попереставлять 

слагаемые и т.д. – глядишь, и вообще переменные разделить удастся! 

 

А теперь предлагаю вашему вниманию ещё один «триллер»: 



Пример 24 

Найти решение ДУ 



y

x

x

y

y

2

2





, соответствующее начальному условию 

1

)



1

(



y

 

 



Корни, куда же без них 

 

Решение: данное ДУ имеет «классический» вид 



n

y

x

q

y

x

p

y

)

(



)

(





 уравнения 

Бернулли с той особенностью, что множитель 



n

y

 «замаскирован» под корень. 

 

Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на  



x

x

y

y

y

y

y

x

y

x

y

y

2

2



2

2





 



здесь потеряно тривиальное решение 

0



y

, но оно нас сильно не интересует. 

 

Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: 



 

 

и из вышесказанного следует замена: 



z

  

 

Найдем производную: 



y

y

y

z





2

1



)

(

, откуда выразим:  



z

y

y



2  


 

 

 



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

38 


Таким образом, получаем уравнение: 

x

x

z

z

2

2



2



 

каждое слагаемое которого можно «безболезненно» разделить на «двойку»: 



x

x

z

z



 

 



И чтобы вы не заскучали, я расскажу о Методе вариации произвольной 

постоянной. Да не пугайтесь так! – это прикольнее замены 

uv

 :) 


 

1) Сначала найдём общее решение соответствующего линейного однородного 

уравнения. Грубо говоря, это то же уравнение с «отброшенным» членом 

)

(x



q

0





x

z

z

 

Данное ДУ допускает разделение переменных, и мы без труда отыскиваем его 



общее решение: 

...


...

ln

~



ln

ln

ln









z



z

C

x

z

x

dx

z

dz

x

z

dx

dz

 

 



2) Далее вместо константы записываем пока ещё неизвестную функцию: 

x

x

u

z



)

(

  



(это и называется варьировать постоянную), находим производную: 

u

x

u

x

u

x

u

ux

z









)

(



)

(

)



(

 и подставляем 



u

x

u

z

ux

z



 ,



 в неоднородное 

уравнение 



x

x

z

z





x



x

ux

u

x

u



 



Если всё сделано правильно, то два слагаемых должны испариться, как оно и 

происходит в нашем случае: 



x

x

u

x

u

u

x

u





 

тут ещё и «иксы» исчезают: 



1



dx



du

 

в результате получилось примитивное уравнение с очевидным решением: 



C

x

u

dx

du





 

 

Теперь вспоминаем, что 



x

C

x

ux

z

)

( 



, и в результате обратной замены 



y

 

получаем общий интеграл 



x

C

x

y



)

(



, из которого легко выразить и общее решение: 

const

C

x

C

x

x

C

x

y





где



,

)

(



)

)

((



2

2

2



 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

39 


Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию 

1

)



1

(



y

1



1

)

1



(

)

1



(

2





C

y

 

…вот тебе и раз. Уравнение 



1

)

1



(

2



 C

 имеет два корня 

0

,

2





C

C

 и в 


результате получаются… два частных решения?  

 

Нет! Когда мы выражали общее решение, то выполнили возведение в квадрат, из-за 



чего у нас появился посторонний корень. Поэтому начальное условие 

1

,



1

 y



x

 лучше 


подставить непосредственно в общий интеграл 

x

C

x

y



)

(



1

)



1

(

1





C

 

0



1

1





C

C

 – и помещаем этот ноль уже в общее решение 

2

2

)



(

x

C

x

y



4



2

2

)



0

(

x



x

x

y



 



 

Легко видеть, что значению 

2





C

 соответствует частный интеграл 



x

x

y



)

2



(

, и он не удовлетворяет начальному условию 

1

)

1



(



y

, ибо 

1

1





 

Вот так-то оно бывает! – в 

однородных уравнениях

 мы «теряли» решения, а здесь 

наоборот – «приобрели». 

 

Ответ: частное решение 

4

x

 – проверку выполните сами, она тут устная. 

 

Но кино ещё не закончилось, и следующий факт должен быть понятен, даже если 



вы не знаете, как выглядит график многочлена 4-й степени. Семейство кривых 

2

2



)

(

x



C

x

y



 (общее решение ДУ) расположено в верхней полуплоскости и касается  

прямой 

0



y

 в каждой её точке. Более того, множество графиков 

2

2

)



(

x

C

x

y



 (при 



всех значениях константы) своими точками касания порождает решение 

0



y

, которое, 

как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло. 

 

Такое необычное решение называют особым решением дифференциального 



уравнения. В общем случае особое решение тоже является кривой, которая огибает 

«основное семейство». В рассмотренном же примере оно представляет собой прямую, 

которая ассоциируется с «подставкой» под графики функций 

2

2



)

(

x



C

x

y





Пример 25 

Решить дифференциальное уравнение 

y

x

y

y

x

2

4 



 



 

После сведения к неоднородному уравнению я использовал метод вариации 



произвольной постоянной, но, разумеется, там годится и замена 

ux

 



Иногда в уравнениях Бернулли встречаются и другие степени «игрека», например:  

3

3



3

y

x

x

y

y



 с заменой  или  

1

2

)



cos

3

2



(

cos


3

2









y



x

e

x

y

y

x

 с заменой. Решения 

эти диффуров можно найти в 

соответствующей статье

 сайта, но они не столь актуальны, 

поскольку есть более насущный материал: 

 

 



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

40 


1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 

 

Сначала быстренько вспомним, что такое 



частные производные

 и полный 



дифференциал функции двух переменных. Рассмотрим простую функцию: 

y

x

xy

y

x

y

x

F

z





2

2



)

;

(



 

 

и найдём её частные производные первого порядка: 



y

F

F

x

F

F

y

x







,

 – в диффурах 

больше «в почёте» их дробные обозначения. Повторяем основное правило: 

 

– если мы берём производную по «икс», то «игрек» считается константой: 



1

2

0



1

0

2



)

(

2



2













y



x

y

x

y

x

xy

y

x

x

F

x

 

 



– если мы берём производную по «игрек», то константой уже считается «икс»: 

1

2



1

0

2



0

)

(



2

2













x

y

x

y

y

x

xy

y

x

y

F

y

 

 



Полный дифференциал имеет вид: 

dy

y

F

dx

x

F

dF





, в данном случае: 



dy

x

y

dx

y

x

dF

)

1



2

(

)



1

2

(







 

Пример 26 

Решить дифференциальное уравнение 

0

)

1



2

(

)



1

2

(







dy

x

y

dx

y

x

 

 



Не ожидали? =) 

 

То есть, данное дифференциальное уравнение является полным дифференциалом 



функции 

C

y

x

xy

y

x

y

x

F





2

2



)

;

(



 – единственное, к ней нужно ещё приписать 

константу. Отсюда и название уравнения. 

 

Как решить диффур в полных дифференциалах?

 

 



Очевидно, что нужно выполнить некоторые обратные действия, чтобы 

восстановить исходную функцию (общий интеграл). Не так давно я что-то там 

дифференцировал. Какое действие является обратным? Правильно, интегрирование.  

 

А теперь, пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. 



Ведь когда нам предложено произвольное дифференциальное уравнение, то мы ещё не 

знаем о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И поэтому сначала имеет 

смысл «покрутить-повертеть» исходное уравнение: 

0

)

1



2

(

)



1

2

(







dy

x

y

dx

y

x

 

 



Вдруг тут можно 

разделить переменные

? Или уравнение является 

однородным

? А 

может здесь «спрятан» какой-то другой тип уравнения? – не так давно я зашифровал в 



такой форме даже 

уравнение Бернулли

!  

 


© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

41 


И только после этих безуспешных попыток проверяем: а не является ли данное 

ДУ уравнением в полных дифференциалах? Чтобы выполнить эту проверку, выпишем 

из уравнения 

0

)

1



2

(

)



1

2

(







dy

x

y

dx

y

x

 множители, находящиеся при 

дифференциалах: 

1

2



,

1

2







x

y

Q

y

x

P

 – строго обозначая их буквами «пэ» и «ку», и 



строго в таком порядке! Это стандарт. 

 

Теперь найдём следующие частные производные: 



1

0

1



0

)

1



2

(

1



0

1

0



)

1

2



(

















x



y

x

y

x

Q

y

x

y

P

 

 



Если 

x

Q

y

P





 (наш случай), то данное ДУ является полным дифференциалом 

dy

F

dx

F

dF

y

x



 некоторой функции 



F

 (а равенство вышенайденных производных – 



есть ни что иное, как равенство смешанных производных 2-го порядка: 

yx

xy

F

F







)

 

Ну а коль скоро уравнение 



0

)

1



2

(

)



1

2

(







dy

x

y

dx

y

x

 имеет вид 

0









dy

y

F

dx

x

F

, то: 


1

2







y

x

x

F

 

1



2





x

y

y

F

 

 



Таким образом, нам известны две частные производные, и задача состоит в том, 

чтобы восстановить общий интеграл 

0

)

;



;

(



С

y

x

F

. Существуют два зеркальных способа 

решения, и мы пойдём более привычным путём, и именно начнём с «иксовой» 

производной 

1

2







y

x

x

F

. Нижнюю производную 

1

2







x

y

y

F

 пока запишем на 

листочек и спрячем в карман. Да-да – 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет