Дәрістердің қысқаша мазмұны 1-дәріс. Матрицалар және оларға қолданылатын амалдар

2. жиыны ақырсыз, жоғарыдан шенелген жиын. Оның жоғарғы шекарасы сандары.

Сонымен, α саныЕ жиынының супремумы болуы үшін келесі екі шарт орындалуы керек:

1. 
   α саны Е жиынының жоғарғы шекарасы, яғни әрбір үшін болады.
   
2. 
   α саны Е жиынының жоғарғы шекараларының ең кішісі, яғни α санынан кіші болатын әрбір α^/ саны Е жиынының жоғарғы шекарасы бола алмайды. Басқа сөзбен айтқанда, теңсіздігін қанағандыратын кез келген α^/ саны үшін теңсіздігі орындалатын саны табылады.
   

α санынан кіші болатын кез келген α^/ саны α^/=α-ε, ε>0 түрінде бейнеленеді, сондықтан, шарты былай да жазылады:

Әрине, Е жиынының ең үлкен элементі бар болса, онда ол Е-нің супремумы да болады.

Егер Е жиыны төменнен шенелген болса, онда 17-аксиома бойынша оның төменгі шекараларынан құрылған жиынның ең үлкен элементі бар болады.

Е жиынының ең үлкен төменгі шекарасы инфимум деп аталады да, infEнемесе символдарымен белгіленеді.

Сонымен, β саныЕ жиынының инфимумы болуы үшін келесі екі шарт орындалуы керек:

1. 
   β саны Е жиынының төменгі шекарасы, яғни әрбір үшін болады.
   
2. 
   β саны Е жиынының төменгі шекараларының ең үлкені, яғни β санынан үлкен болатын әрбір β^/ саны Е жиынының төменгі шекарасы бола алмайды. Басқа сөзбен айтқанда, теңсіздігін қанағандыратын кез келген β^/ саны үшін теңсіздігі орындалатын саны табылады.
   

β санынан үлкен болатын кез келген β^/ саны β^/=β+ε, ε>0 түрінде бейнеленеді, сондықтан, шарты былай да жазылады:

Әрине, Е жиынының ең кіші элементі бар болса, онда ол Е-нің инфимумы болады.

М ы с а л д а р: 1. болады, өйткені b мен a сандары сегментінің сәйкес ең үлкен және ең кіші элементтері.

2. болады. Расында да, интервалдың анықтамасы бойынша әрбір үшін a, демек, b мен a сандары (a,b) интервалының сәйкес жоғарғы және төменгі шекаралары болады. Әрбір 0<εүшін және яғни b мен a сандары (a,b) интервалының сәйкес ең кіші жоғарғы шекарасы және ең үлкен төменгі шекарасы болады.