Матрицалар және анықтауыштар Матрицалар Матрица
Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі. Толық дифференциалдық теңдеу
жүктеу/скачать 1,46 Mb.
|
аегеом конспект лето20 (1)
| Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі. Толық дифференциалдық теңдеу
Анықтама. (8) түріндегі дифференциалдық теңдеу бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу (СДТ) деп аталады. Егер теңдеудің оң бөлігі нөлге тең болса
онда СДТ-і біртекті сызықты теңдеу деп аталады. Интегралдау тәсілдері: 1.Классикалық тәсіл ауыстыруын қолданады, мұндағы және белгісіз функциялар. Бұл тәсілдің тәуір жері мынада, бір белгісізді екі белгісізбен ауыстырып (есепті қиындатқан тәріздіміз), енді екі бос параметрге амалдар қолданамыз . 2.Алдымен біртекті СДТ шешіледі, одан кейін (8) СДТ шешіледі (белгілі ДТ туралы оқулықтарды қара). 3. автор (9) біртекті теңдеудің шешімін (10) түрінде іздеуді ұсынады, мұндағы үзіліссіз белгісіз функция. Туынды аламыз . (10) шешу түрі бұлай алынған себебі туынды алған кезде сақталады, және туындыда белгісіз функциясы бар, яғни дифференциалдық теңдеудің реті төмендейді. (10) мен туындының мәндерін (9) қоямыз: және СДТ ылғи қысқарады. Сонда Сонымен, (9) біртекті теңдеудің жалпы шешімі (11) Енді (8) біртекті емес СДТ жалпы шешімін табу керек. Лагранж тәсілімен табамыз (ерікті тұрақтыны вариациалау). әзірге белгісіз функция болсын делік. - (8) біртекті емес СДТ шешімі болатындай етіп таңдап аламыз. Шешімді (10) түрінен іздейміз: Туынды аламыз: енді (8)-ге қоямыз: немесе , интегралдаймыз ғы тің орнына осы мәнін қоямыз да, СДТ жалпы шешімін аламыз: (12) Бернулли теңдеуі Анықтама. түріндегі дифференциалдық теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады. Бернулли теңдеуін СДТ келтіретін ауыстыру табу керек. Теңдеудің екі бөлігін де ге бөлеміз: деп белгілейік , немесе Туындыны табамыз Теңдеудің барлық мүшесін ге көбейтеміз және алынған туындыны пайдаланамыз: ал бұл бірінші ретті СДТ. Сонымен, ауыстыруы арқылы Бернулли теңдеуі СДТ келтіріледі. Толық дифференциалдық теңдеу Анықтама. (13) түріндегі теңдеу, сол бөлігі кейбір функциясының толық дифференциалын береді, яғни толық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Теорема. (13) теңдеудегі , функциялары бір байланысты облысында бірінші ретті дербес туындыларымен қоса үзіліссіз функциялар болса, онда ол теңдеу толық дифференциалдық теңдеу болыуы үшін (14) шартының орындалуы қажетті және жетткілікті. Мысал. теңдеуін шешелік. Мұнда жеткілікті және қажетті шарт орындалады , яғни бұл толық дифференциалдық теңдеу. Жалпы интералын табу үшін (16) формуланы пайдаланамыз: Теңдеудің жалпы интегралы : Негізгі әдебиет: 1, [136-196], 2, [447-514] Қосымша әдебиет: 17, [119-130]. Бақылау сұрақтары. 1.Біртекті дифференциалдық теңдеулер 2.Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Бернулли әдісі. Лагранж әдісі 3.Бернулли теңдеуі 4.Толық дифференциалдық теңдеулер
жүктеу/скачать 1,46 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|