Перспектива и проективная геометрия
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Проективная прямаяПопробуем найти ответ на вопрос, поставленный в конце предыдущей главы: какие свойства фигур остаются неизменными при центральном проецировании? Для этого поступим следующим образом. Рассмотрим центральную проекцию плоскости α на плоскость α'. Если эти две плоскости параллельны, то такое проецирование будет простым преобразованием подобия (гомотетией), поэтому будем в дальнейшем рассматривать случай, когда плоскости α и α' пересекаются. Для того, чтобы понять, какие свойства фигур останутся при этом неизменными, начнем с простейших фигур – точек и прямых. На первый взгляд все обстоит совсем просто: точки переходят в точки, прямые – в прямые, если прямая m проходит через точку А, то ее проекция m' проходит через проекцию точки А, точку А'. Однако даже здесь начинают возникать проблемы. Рассмотрим центральную проекцию прямой m на прямую m'. Прямая ОА пересекает m' в точке А', и, значит, точка А' является проекцией точки А. Но вот прямая ОВ параллельна прямой m'. Значит, точке В не соответствует никакая точка прямой m'. Зато, если взять на прямой m' точку С' такую, что ОС' параллельна m, то получается, что на прямой m не найдется точки, проекцией которой служит точка С'. Будем двигать точку А вдоль прямой m по направлению к точке В. Чем ближе точка А к точке В, тем дальше уходит по прямой m' ее проекция А'. В тот момент, когда точки А и В совпадают точка А' «уходит в бесконечность», а затем появляется с другой стороны на прямой m'. Если двигать точку А все дальше и дальше по прямой m, то ее проекция на прямой m' будет приближаться к точке С'. Но достигнуть этого предельного положения точка А' сможет лишь тогда, когда точка А на прямой m «уйдет в бесконечность». Чтобы придать формальный смысл этим рассуждениям, добавим к каждой прямой еще одну «бесконечно удаленную точку». Теперь можно сказать, что проекцией точки В является бесконечно удаленная точка прямой m', а бесконечно удаленная точка прямой m проецируется в точку С' на прямой m'. Заметим, что проективная прямая, полученная из обычной евклидовой прямой добавлением бесконечно удаленной точки, стала замкнутой. Если двигаться по ней вправо, то пройдя через бесконечно удаленную точку мы вернемся слева. Таким образом, взяв на проективной прямой две точки А и В, мы не можем рассмотреть отрезок АВ. Эти точки просто разобьют прямую на две равноправные части, подобно тому, как две точки разбивают окружность на две дуги. Можно, конечно, сказать, что одна из этих частей в отличие от другой содержит бесконечно удаленную точку, но здесь необходимо осознать, что на проективной прямой бесконечно удаленная точка не занимает никакого особого положения. Нельзя сказать, что «вот эта точка прямой – обыкновенная, а вот эта – особенная, бесконечно удаленная». Действительно, при центральном проецировании «бесконечно удаленная» точка одной прямой переходит в «обычную» точку другой прямой, так что свойство точки «быть бесконечно удаленной» не сохраняется при центральной проекции или, как говорят, не является проективным свойством. Здесь уместна следующая аналогия. Когда мы строим изображение многогранника, некоторые ребра мы считаем «видимыми» и изображаем жирными линиями, а другие – «невидимыми» и проводим пунктиром. Однако нельзя сказать, что многогранник обладает ребрами двух разных типов. Так и каждая точка проективной прямой может стать бесконечно удаленной только по отношению к конкретному чертежу. жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|