Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные

 
73 
4) 
;
5
2
9
2
7




x
x
 
5) 
;
3
2
5
9
2
3
24
x
x
x






 
6) 
).
1
5
3
(
2
1
5
102
25
11







x
x
x
 
 
2.25. 1) log
3
(1 + log
3
(2
x
 
– 7)) = 1; 
2) log
2
(24
x–2
 
–1) = 2x – 4; 
3) 
.
2
,
0
log
9
2
3
log
5
28
13
3
2










x
x
 
 
2.26.  1) log
x+1
(x
2
 
+ 8x + 37) = 2; 
 
    2) log
x+2
x
2
 
– x – 13 = 1; 
3) log
x+2
(2x
2
 
– 4x + 11) = 2; 
 
4) 
.
2
14
23
10
log
2
3
4
1





x
x
x
 
 
2.27. 1) log
2
(3x
2
 
– x – 4) = log
2
(1 – 3x); 
2) log
1/3
(x
2
 
+ 4x – 3) = log
1/3
(3x
 – 1
); 
3) log

(2x
2
 
+ x – 7) = log

(2x + 3); 
4) log
9
(x
2
 
+ 2x – 11) = log
3
(2x – 8); 
5) log
25
(4x – x
2
 
+ 5) = log
5
(1 – 2x); 
6) 
1
log
)
1
(
log
5
5



x
x
x
. 
 
2.28. 1) log
2
(x – 3) = log
1/2
(3x – 5); 
2) log
3
(2x – 3) = log
1/3
(3 – x); 
3) log
2
(x + 2) = log
1/4
(3x + 4);  
4) log
3
x – 2log
1/3
x = 6. 
 
2.29. 1) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 3; 
2) log
2
x + log
2
(x + 2) = 3; 
3) log
6
(x + 1) + log
6
(2x + 1) = 1; 
4) log
3
 x + log
3
(x – 2) = log
3
(2x – 3); 
5) lg(x + 4) + lg(2x + 3) = lg(1 – 2x); 
6) log
2
(x –1) + log
2
(x + 1) = 3. 
 
2.30. 1) 
;
3
lg
)
1
2
lg(
2
1
)
1
lg(
2
3





x
x
x
 

 
74
2) 
;
1
3
7
3
log
1
1
2
log
2
2






x
x
x
x
 
3) 
;
1
1
1
log
1
7
log
2
2
2






x
x
x
x
 
4) 
;
4
log
1
1
3
log
2
)
2
5
(
log
3
3
3





x
x
 
5) 
;
50
lg
)
2
lg(
2
1
2
)
2
3
lg(





x
x
 
6) 
;
1
)
11
(
log
5
log
2
182
log
2
2
2





x
x
 
7) 
.
7
lg
)
4
4
lg(
5
,
0
)
8
lg(
2
3





x
x
x
 
 
2.31. 1) log
2
(x + 2)
2
 + log
2
(x + 10)
2
 = 4log
2
3; 
2) 
);
1
(
log
5
)
1
(
log
5
,
0
2
2
2




x
x
 
3) 
;
2
)
4
2
lg(
)
4
3
lg(
2
2




x
x
 
4) 
;
0
)
4
(
log
)
2
(
log
2
2
3
3




x
x
 
5) 
.
96
)
7
(
log
16
)
7
(
log
25
2
4
4
2
32




x
x
 
 
2.32. 1) lg
2
x – lgx – 2 = 0; 
    2) 
;
2
16
log
log
2
2
2


x
x
 
3) 
;
0
log
2
log
5
2
5


x
x
 
 
4) 
;
2
lg
)
5
,
0
lg(
)
1
2
(
lg
2




x
x
 
5) 
;
2
log
)
2
(log
3
log
2
2
2


x
x
 
6) 
;
8
27
log
9
log
2
3
2
3
/
1


x
x
 
7) 
);
9
(
log
log
3
3
2
3
x
x 
 
8) 
.
12
log
4
4
log
4
2
2


x
x
 
 
2.33. 1) 
;
0
6
7
log
2
log
4



x
x
 
2) 
;
2
5
2
log
log
2


x
x
 
3) 
;
3
9
log
log
3


x
x
 
4) 
).
2
(
log
1
5
log
2
5
2




x
x
 
 
2.34. 1) 
;
3
log
log
9
x
x
x 
 
2) 
;
2
log
2
log
1
5
3



x
x
 
3) 
;
3
log
3
log
7
3
3



x
x
 
4) 
;
1
log
3
log
2
3
3








x
x
x
 

 
75 
5) 
;
0
log
)
9
(
log
2
3
/
4
3
2
2


x
x
x
x
 
6) 
.
0
log
80
log
14
log
4
3
16
2
2
/
1



x
x
x
x
x
 
 
2.35. 1) 
;
log
1
|
1
|
log
||
25
5
x
x



 
2) 
.
|
1
log
|
|
1
log
|
1
3
3




x
x
 
 
2.36. 1) 
;
0
2
3
5
3
2
2
log
9
log





x
x
 
2) 
;
0
1
5
24
25
7
7
log
25
log





x
x
 
3) 
.
0
2
7
97
)
1
(
49
)
1
(
log
49
log
3
3







x
x
 
 
2.37. 1) 
;
2
)
7
3
(
log
)
3
5
(
log
3
5
7
3






x
x
x
x
 
2) 
;
2
)
1
4
4
(
log
)
1
5
6
(
log
2
3
1
2
2
1








x
x
x
x
x
x
 
3) 
;
4
)
21
23
6
(
log
)
4
12
9
(
log
2
3
2
2
7
3








x
x
x
x
x
x
 
4) 
.
)
4
3
(
log
1
2
)
16
9
(
log
2
2
4
4
3
2
x
x
x





 
 
2.38. 1) 
;
64
log
log
2
2
x
x 
 
2) 
;
3
log
4
log
2
1
3
9




x
x
 
3) 
.
1
log
5
,
0
log
5
,
0



x
x
x
 
 
– C – 
 
2.39.1) 
);
1
2
lg(
1
)
9
4
lg(
2
lg
2
2







x
x
 
2) 
);
3
2
28
(
log
)
9
9
(
log
3
/
1
3
x
x
x





 
3) 
.
2
)
2
2
(
log
)
6
4
(
log
2
5
5




x
x
 
 
2.40. 1) 
;
log
2
1
log
2
2
2
x
x
x
x



 
2) 
;
6
log
log
log
log
3
3
2
2
3
2



x
x
x
x
 

 
76
3) 
;
12
log
log
log
log
4
4
3
3
4
3



x
x
x
x
 
4) 
;
log
2
1
3
log
log
3
log
2
3
3
2
3
x
x
x
x



 
5) 
.
2
log
25
log
5
log
log
2
3
3
5
5
3



x
x
x
x
 
 
2.41. 1) 
;
2
lg
cos
lg
sin
lg


x
x
 
2) 
;
2
1
)
cos
(
log
sin
log
3
/
1
3



x
x
 
3) 
;
2
1
cos
log
2
sin
log
2
/
1
2


x
x
 
4) 
);
cos
2
1
(
log
)
1
cos
3
cos
5
(
log
1
3
2
3
x
x
x





 
5) 
).
1
sin
3
(
log
1
)
sin
7
sin
15
(
log
2
2
2




x
x
x
 
 
2.42. 1) 
;
2
2
log
2
1
sin
3
sin
2
cos
log
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x












 
2) 
;
)
2
3
(
log
1
3
sin
cos
3
sin
log
2
2
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x














 
3) 
);
2
cos
(
log
))
sin
(cos
3
1
2
(sin
log
17
8
17
8
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x









 
4) 
);
2
(cos
log
)
cos
sin
2
sin
1
(
log
25
7
25
7
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x






 
5) 
;
1
)
cos
sin
1
(
log
4
2
cos
2


















x
x
x
 
6) 
.
0
1
2
1
sin
log
4
sin
2
2

















x
x
x
 
 
2.43. 1) 
);
2
cos
1
(
3
3
3
2
x
x
x





       
    2) 
;
2
sin
)]
1
(
[
log
2




x
x
x
 

 
77 
3) 
;
3
cos
2
2
2
x
x
x



 
 
4) 
;
)
1
(
4
sin
4
3
1
2
2











x
x
x
 
5) 
|;
2
cos
))
1
(
cos(
|
3
)
1
(
log
3
2
4
2
/
1
x
x
x
x







 
6) 
;
3
cos
3
sin
3
)
10
2
(
log
2
3












x
x
x
x
 
7) 
.
12
cos
12
sin
2
2
11
6
1
2
x
x
x
x






 
 
2.44. Решить уравнения. 
    1) 
;
0
1
2
3
2
2
cos
cos
2





x
x
 
2) 
;
0
3
3
10
3
3
sin
sin
2





x
x
 
3) 
;
0
5
16
12
4
2
cos
cos
2
2




x
x
 
4) 
.
16
7
2
4
2
sin
2
cos
2
3
x
x




 
 
2.45. Найти корни уравнения 
3
4
4
2
cos
2
cos


x
x
, лежащие на от-
резке [6; 3]. 
 
2.46. Решить уравнения. 
1) (ctgx)
2sinx
 = 1; 
2) (1 – sinx)
cosx
 = 1; 
3)
;
)
2
(
2
|
cos
|
cos
|
3
|
x
x
x
x


 
4) 
.
5
1
5
sin
|
1
|
sin
|
3
2
|
x
x
x
x










 
 
2.47. 1) 
x
x
3
52
7


; 
2) 
;
9
3
2
x
x


 
3) 
;
4
3
2
2
5



x
x
 
4) 4
x
 + 9
x
 = 25
x
; 
5) 8
x
 + 18
x
 = 227
x
; 
6)
.
16
12
7
2
5
5
,
0
5
,
0
x
x
x






 
 
 

 
78
3.
 Показательные и логарифмические неравенства 
 
– А – 
 
Решить неравенства. 
3.1. 1) 2
х
  8; 
2) 
;
3
1
3 
x
 
3) 
;
4
2
1







x
 
4) 
;
27
1
3
1







x
 
5) 
;
32
1
4 
x
 
6) 
;
27
9 
x
 
7) 
;
5
1
5 
x
 
8) 
;
3
1
27
1
5
2








x
 
9) 
;
64
)
2
(
5
3

 x
 
10) 
;
2
3
2

x
 
11) 
;
8
27
9
4
1
3








x
 
12) 
;
9
25
5
3
5
2








x
 
13) 
;
4
2
3
2



x
x
 
14) 
;
27
3
1
1
2
3
2









x
x
 
15) 
;
1
3
1
2


x
 
16) 
;
3
3
1








x
 
17) 
;
4
9
2
3
2
5








 x
 
18) 
 
;
25
1
5
1
2



x
 
19) 
27
3
1
4







 х
;  20) 
3
3
3
2
5


x
; 
21) 
5
)
2
,
0
(
2
3
2



x
x
. 
22) 2
x
 > 5; 
23)
64
27
4
3
2
10
6









x
x
;     
24)
1
2
1
)
3
2
(
log
2
3








 x
x
; 
25) 
3
3
)
2
3
(
log
2
2


 x
x
; 
 
26) 
x
x
x















16
2
9
1
3
1
2
; 
27) 
24
)
25
,
6
(
5
2
2








х
х
; 
28) 
125
,
0
16 
x
;   
29) 
3
1
1
2
5
1
5
1
















x
x
. 
 

 
79 

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