Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные
жүктеу/скачать 1,19 Mb. Pdf көрінісі
|
3m
- Бұл бет үшін навигация:
- Сборник задач по алгебре. Часть 2. Иррациональные, триго- нометрические, логарифмические уравнения и неравенства. Про
- II. Формулы приведения.
- V. Формулы тригонометрических функций сумы и разно- сти углов .
- VI. Тригонометрические функции двойного и тройного угла.
- VII. Тригонометрические функции половинного угла.
| Федеральное агентство по образованию Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» Сборник задач по алгебре Часть 2. Иррациональные, тригонометрические, показательные уравнения и неравенства. Прогрессии В помощь учащимся 10–11 классов Москва 2009 УДК 512(076) ББК 22.143я7 С23 Сборник задач по алгебре. Часть 2. Иррациональные, триго- нометрические, логарифмические уравнения и неравенства. Про- грессии. В помощь учащимся 10–11-х классов/ О.В. Нагорнов, А.В. Баскаков, О.Б. Баскакова, С.А. Гришин, Н.В. Мирошин, Р.Р. Резванов. – М.: НИЯУ МИФИ, 2009. – 160 с. Данная книга является второй частью пособия, составленного в соот- ветствии с программой углубленного изучения математики в 10–11-х классах. Сборник включает задачи, относящиеся к тригонометрическим и логарифмическим уравнениям и неравенствам, а также прогрессиям. За- дачи сгруппированы по трем уровням сложности. В некоторых разделах даны краткие теоретические сведения. Задачи второй и третьей группы сложности могут быть использованы при проведении математических олимпиад. Пособие предназначено для слушателей подготовительных курсов, а также поможет подготовиться к олимпиадам, поступлению в физико- математические лицеи и НИЯУ МИФИ. Учителя могут использовать данное пособие для подготовки к занятиям. Рекомендовано редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия Рецензент проф. Н. А. Кудряшов © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2009 ISBN 978-5-7262-1171-8 Редактор Е. Н. Кочубей Макет подготовлен Е. Н. Кочубей Подписано в печать 15.07.2009. Формат 6084 1/16. Изд. № 068-1. П.л. 10,0. Уч.-изд. л. 10,0. Тираж 4500 экз. Заказ № Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31 3 СОДЕРЖАНИЕ I. Тригонометрия ............................................................................. 4 1. Начала тригонометрии ............................................................. 7 2. Тождественные преобразования тригонометрических выражений .............................................................................. 16 3. Обратные тригонометрические функции .............................. 20 4. Тригонометрические уравнения ............................................ 26 5. Тригонометрические системы уравнений ............................. 44 6. Тригонометрические неравенства ......................................... 47 II. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства .............................................................................. 55 1. Тождественные преобразования ............................................ 55 2. Показательные и логарифмические уравнения ..................... 68 3. Показательные и логарифмические неравенства .................. 78 4. Системы показательных и логарифмических уравнений....... 84 5. Уравнения и неравенства с параметрами .............................. 86 6. Построение графиков ............................................................. 93 III. Понятие функции, область определения, область значений, свойства функций ...................................................... 95 1. Область определения функции ............................................... 95 2. Область значения функции .................................................... 98 3. Четность и нечетность функции .......................................... 103 4. Периодичность ..................................................................... 105 IV. Прогрессии ............................................................................ 107 1. Арифметическая прогрессия ............................................... 107 2. Геометрическая прогрессия ................................................. 116 Ответы ......................................................................................... 123 4 I. ТРИГОНОМЕТРИЯ Для решения задач данной темы необходимо вспомнить триго- нометрический круг (рис. 1.1) и , тождественных . I. Знаки тригонометрических функций по квадрантам. 1- (0–90 ) 2- (90–180 ) 3- (180–270 ) 4- (270–360 ) + + + + + + + + ( "+" "" .) 5 II. Формулы приведения. -α 90 α 180 α 270 α 360 α sin -sinα cosα sinα -cosα sinα cos cosα sinα -cosα sinα cosα tg -tgα ctgα tgα ctgα tgα ctg -ctgα tgα ctgα tgα ctgα III. Тригонометрические функции основных углов. 0 30 45 60 90 180 270 360 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 0 -1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 -1 0 1 tg 0 3 1 1 3 0 0 ctg 3 1 3 1 0 0 IV. Соотношения между тригонометрическими функциями одного угла . sin 2 α + cos 2 α =1; ; cos sin = tg ; sin cos = ctg ; 1 = ctg tg = cos 1 sec ; = sin 1 cosec ; ; cos 1 = sec = tg 1 2 2 2 + . sin 1 = cosec = ctg 1 2 2 2 V. Формулы тригонометрических функций сумы и разно- сти углов . sin (α + ) = sincos + cossin; sin (α – ) = sincos – cossin; cos (α + ) = coscos – sinsin; сos (α – ) = coscos + sinsin; 6 ; tg tg 1 tg tg = ) ( tg . tg tg 1 tg tg = ) ( tg VI. Тригонометрические функции двойного и тройного угла. sin 2α = 2sincos α; cos 2α = cos 2 – sin 2 = 1 – 2sin 2 = 2cos 2 – 1; 2 2 cos 1 cos 2 ; ; 2 2 cos 1 sin 2 ; tg 1 tg 2 = 2 tg 2 sin 3α = 3sin – 4sin 3 ; cos 3α = 4cos 3 – 3cos. VII. Тригонометрические функции половинного угла. ; 2 α cos 1 2 α sin ; 2 α cos 1 2 α cos ; cos 1 cos 1 2 tg ; sin cos 1 = cos 1 sin 2 tg ; sin cos 1 = cos 1 sin = 2 ctg ; 2 tg + 1 2 tg 2 sin 2 = . 2 tg 1 2 tg 1 cos 2 2 = VIII. Формулы преобразования суммы тригонометриче- ских функций в произведение . ; 2 cos 2 sin 2 sin sin = ; 2 sin 2 cos 2 sin sin + = ; 2 cos 2 cos 2 cos cos = ; 2 sin 2 sin 2 cos cos = ; cos cos ) ( sin = tg tg ; cos cos ) ( sin = tg tg 7 ; 2 cos 2 cos 1 2 = . = 2 sin 2 cos 1 2 IX. Формулы преобразования произведений тригонометри- ческих функций в сумму. = ) sin( ) sin( 2 1 cos sin ; ; ) cos( ) cos( 2 1 cos cos . ) cos( ) cos( 2 1 sin sin 1. Начала тригонометрии – А – 1.1. Перевести угол из градусной системы измерения в ради- анную и отметить угол на тригонометрической круге. 1) 30; 2) –45; 3) 90; 4) 150; 5) –240; 6) 300; 7) –120; 8) –540; 9) 135; 10) 1500; 11) –270; 12) –22,5; 13) 105; 14) 200; 15) –315. 1.2. Перевести угол из радианной системы измерений в градус- ную и отметить угол на тригонометрическом круге. 1) 6 ; 2) 3 2 ; 3) ; 4) 4 3 ; 5) 6 5 ; 6) 2 3 ; 7) –3; 8) 4 17 ; 9) 6 17 10) 6 13 ; 11) 4 7 ; 12) 3 10 ; 13) 12 7 ; 14) 18 11 ; 15) 24 121 . 1.3. Найти синусы углов. 1) 30; 2) –45; 3) 90; 4) 150; 5) –240; 6) 300; 7) –120; 8) –540; 9) 135; 10) 1500; 11) –270. 8 1.4. Найти косинусы углов. 1) 6 ; 2) 3 2 ; 3) ; 4) 4 3 ; 5) 6 5 ; 6) 2 3 ; 7) –3; 8) 4 17 ; 9) 6 17 10) 6 13 ; 11) 4 7 ; 12) 3 10 . 1.5. Вычислить значения функции у = f(x) в точке х = х 0 . 1) у = sin2x + cos3x, 4 0 x ; 2) x x y 3 sin 6 tg , 6 7 0 x ; 3) y = sin 2 x + cos 2 2x, 12 0 x ; 4) x x y 4 cos 4 sin , 12 0 x ; 5) y = sin5x cos3x, 8 0 x . 1.6. Вычислить. 1) sin(450) + cos(–690)sin(780); 2) ctg150tg240 + sin(1260); 3) ); 960 sin( 2 1 ) 15 cos( ) 105 sin( 4) cos 2 (570) : sin 2 (–840); 5) sin(–105) + sin(–915). 1.7. На тригонометрическом круге отметьте точки, соответст- вующие сериям. 1) k, k ℤ; 2) п 2 2 , n ℤ; 3) k 2 3 , k ℤ; 4) m 2 4 3 , m ℤ; 9 5) + 2n, n ℤ; 6) п 2 3 2 , n ℤ; 7) k 4 3 , k ℤ; 8) m 2 2 , m ℤ; 9) 2 6 k , k ℤ; 10) 2 3 п , n ℤ; 11) 3 2 m , m ℤ; 12) 3 3 2 k , k ℤ; 13) 3 n , n ℤ; 14) k k 2 ) 1 ( , k ℤ; 15) n n 2 ) 1 ( , n ℤ; 16) k k 3 ) 1 ( 1 , k ℤ; 17) n n 3 2 ) 1 ( 1 , n ℤ. 1.8. Найти знак sinx, если: 1) ; 2 x ; 2) 2 ; 2 3 x ; 3) 2 3 ; x . 1.9. Найти знак tgх, если: 1) 0 ; 2 x ; 2) ; 2 3 ; x 3) ; 2 3 x . Вычислить. 1.10. 1) sin, если 5 4 cos и ; 2 ; 2) cos, если 13 12 sin и 2 ; 2 3 ; 3) sin, если 3 2 cos и 0 ; 2 ; 4) cos, если 3 2 2 sin и 2 3 ; ; 10 5) sin, если 7 5 3 cos и ; 2 . 1.11. 1) sin, если 5 12 tg и 2 ; 2 3 ; 2) sin, если 35 12 tg и ; 2 ; 3) cos, если 3 4 ctg и 2 3 ; ; 4) cos, если 3 10 2 tg и 2 5 ; 2 ; 5) sin, если 5 39 ctg и 2 ; . 1.12. 1) Знак , 2 sin если ) 2 ; ( ; 2) знак , 2 cos если ) 0 ; ( ; 3) знак , 2 tg если 2 ; 2 3 ; 4) знак , 2 ctg если 2 ; 3 . 1.13. 1) , 2 cos если 17 15 2 sin и ; 2 ; 2) , 2 tg если 25 24 sin и 2 3 ; ; 3) , 2 sin если 49 31 cos и 2 ; ; 4) , 2 ctg если 29 21 cos и 3 ; 2 . 11 жүктеу/скачать 1,19 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|