Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные
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Тема III
1.1. 1) ; 3 2 ; 2) ; 1 ; 1 3) [–0,4; 1]; 4) (–; –1)[2; 3]; 5) (–;–3](–2; 1)(1; 4); 6) [1;+); 7) (–; –1][5; +); 8) (–; 2)(2; +); 9) [–0,5; 3); 10) [–2; 1)(1; 3]. 1.2. 1) x ℝ\ , 3 6 n n ℤ; 2) x ℝ\ , 2 n n ℤ; 3) x ℝ\ , 2 3 n n ℤ; 4) x ℝ\ , 2 n n ℤ; 5) x ℝ\ , 2 3 / k k ℤ; 6) x ℝ\ , 4 n n ℤ; 7) (–; 0) (0; +); 8) (–; 1) (1; +); 9) x (–; 1)(1; 5)(5; +). 1.3. 1) ; 3 1 ; 1 2) ]; 2 ; 2 [ ] 2 ; 2 [ 3) [8; 12]; 4) ); ; 1 [ ] 1 ; ( 5) ; 2 1 ; 2 1 6) ; ; 3 2 ] 4 ; ( 7) ). ; 2 [ ] 0 ; ( 1.4. 1) ); ; 2 ( ) 2 ; ( 2) ); ; 2 ( ) 2 ; ( 3) . ; 4 3 4 3 ; 1.5. 1) ; 2 3 ; 2) ; ; 5 2 3) ); ; 3 ( ) 3 ; ( 4) ; ; 3 1 5) (–2; 2); 6) ); ; 1 ( ) 1 ; ( 7) ); ; 3 ( 8) ); ; 4 ( ) 4 ; 3 ( 9) ); 5 ; 2 ( ) 2 ; 2 ( ) 2 ; 5 ( 10) . ; 3 4 3 4 ; 3 5 1.6. 1) 7; 2) 5; 3) 91; 4) 1; 5) 2. 1.7. 1) a) [1;+); б) ); ; 3 ( ) 3 ; 1 [ в) (–; –2][2; +); г) [1; +); 2) a) (–; –2)(–2;–1][1; +); б) (–; –2)(–2;–1)(1; +); в)(–; –1] [1; +); г) (–; –2)(–2;–0,5]; 3) a) [–1; 0)(0; 8]; б) [–1; 0)(0; 8]; 155 в) ; ; 8 1 ] 1 ; ( г) [–1; 3,5)(3,5; 8]; 4) a) [–2; 0); б) ; 0 ; 2 1 2 1 ; 2 в) ; 2 1 ; 2 г) ; 4 1 ; 5) a) (–; 0)(4; 5)(5; +); б) (–;–1)(–1;0)(4; 5)(5; +); в) (–1; 5)(5; 7); г) (–;–0,1)(–0,1; 0)(4; 4,1) (4,1; +). 1.8. 1) ; ; 4 1 2) (–; –1)(–1; 0)(0,5; +); 3) (–; –1)(–1;–0,25]{0} [0,5; +); 4) (–; –4][–0,4; +); 5) (–1; 0){0,5}. 1.9. 1) (–2; –0,5]; 2) ; ; 3 1 3)[–3; 1]; 4) ; 2 6 7 ; 2 6 k k k ℤ; 5) (–1; 2]. 1.10. 1) 2) 3) 4) 5) 1.11. k a 2 } 2 { 2 1 ; , k 0, kℤ. 1.12. a (3; +). 1.13. ). 0 ; 1 ( a 1.14. Таких значений а нет. 2.1. 1) (–; 25]; 2) [0; 5]; 3) [–2; 3]; 4) (–; 4]; 5) [0; 2]; 6) [3; 5]; 7) (–; 9]; 8) [0; 3]; 9) [–1; 2]. 156 2.2. 1) [–1; 5]; 2) [–7; –3]; 3) [–2; 3]; 4) [–7; 1]; 5) [–5; –3]; 6) [–9; –2]; 7) [4; 5]; 8) [–5; –3]; 9) [1; 4]. 2.3. 1) ; 2 ; 2 2) ; 2 5 ; 2 3) [3; 4]; 4) [–5; –]; 5) [–4; 2]; 6) (0; 2). 2.4. 1) ; 2 1 ; 1 2) ; 1 ; 2 1 3) [–1; 0]; 4) ; 1 ; 2 1 5) [–1; 1); 6) . 1 ; 2 1 2.5. 1) ; 4 1 ; 2 2) ; 3 ; 8 1 3) ; 2 ; 3 10 4) ]; 2 ; 2 [ 5) [–2; 2]; 6) ; 3 2 ; 3 2 7) [–13; 13]; 8) [–5; 5]; 9) (–; –1][1;+); 10) [1;+). 2.6. 1) [–; –2][2;+); 2) (–; –4][4;+); 3) ; ; 3 2 3 2 ; 4) [2;+); 5) ; ; 3 2 6) (–; –2][2;+); 7) (–; 3]; 8) (–; 2]. 2.7. 1) (0; +); 2) [1;+); 3) (0; 1]; 4) ; ; 9 1 5) ; 3 1 ; 0 6) ; ; 16 1 7) (0; 3]; 8) (0; 4]; 9) ; ; 3 1 10) (0; 4]; 11) ; ; 4 4 1 ; 0 12) ; 9 1 ; 0 13) ; 2 ; 2 1 14) [1; 3]; 15) [4; 64]; 16) ; 1 ; 64 1 17) . ; 4 1 2.8. 1) [2; +); 2) (–; 2]; 3) (–; –1]; 4) ; 2 1 ; 5) (–; 1]; 6) ; 3 1 ; 7) [4;+). 2.9. 1) (–; 1)(1; +); 2) [2; +); 3) 7 5 ; 0 ; 4) [–5; 5]; 5) [2; 8]; 6) [3; 7]; 7) ; 2 1 ; 4 3 8) ; 2 ; 8 9 9) [0; 3]; 10) . 4 5 ; 1 2.10. 1) 1; 2) 4; 3) 7; 4) 10; 5) 2. 2.11. 1) [–2; 3]; 2) [–7; 3]; 3) [0;7]; 4) [0; 9]; 5) [0; 3 ]. 157 2.12. 1) а) [0; 2 ]; б) [0; 1)(1;+); в) [0; 2]; г) ; 4 1 ; 2 1 2) а) [0; 1]; б) (0;+); в) (–; 1); г) (–; 0)(1;+); 3) а) [0; 1]; б) [0; 2 ]; в) [0; 1]; г) {}; 4) а) ]; 5 ; 0 [ б) [0;+); в) [–5; 5]; г) [–21; 4]. 2.13. 1) (–; –2][2;+); 2) ; 2 ; 18 85 3) ; ; 2 5 4) ; ; 2 5 2 5 ; 5) . 4 17 ; 2.14. a = –1; . 2 3 a 2.15. 3 1 ; 1 a . 2.16. a = – 2; . 2 3 a 2.17. 2 1 ; 0 a . 2.18. При a = –1 E y = {0}; при a 1 . 2 1 ; 2 1 y E 3.1. 1) и 3). 3.2. 1) и 4). 3.3. 2) и 3). 3.4. 1) a = 1; 2) k a 2 4 . 3.5. 1) a = 2; 2) a = –2; 3) . 2 k a 3.6. 1) a = 3; 2) a = 0, a = 1; 3) . 2 m a 3.7. 1), 3), 5) нечетные; 2) четная; 4) общего вида. 3.8. 1), 3), 4), 5) нечетные; 2) четная. 3.10. 1) –1; 2) 1; 3) 3 2 2 . 3.11. 1) –2; 2) 1; 3) 0. 3.14. a = 2. 3.15. 1 2 ; 0 0 ; 2 1 a . 4.1. 1) ; 2) ; 3 2 3) ; 3 4 4) 3; 5) . 2 4.2. 1) 2; 2) 14; 3) 12; 4) . 4.3. 1) a) –1; б) E = (–1; 1]; в)x=2n, n ℤ; 2) a) 54; б) E = [–8; –6]; в) ; 3) a) –1; б) E = [0; 1]; в)x=2n, n ℤ; 4) a) 0; б) E = [0; 4]; в) x=7+2n, n ℤ. 4.4. 1) T = 1; 2) T = 1/2. 4.6. 2 2 2 | | 2 2 2 a . 158 Тема IV 1.1. 1) 9; 2) 3; 3) –18; 4) 21; 5) 31; 6) 200. 1.2. 1) 2, 3, 4, 5, 6, 7; 2) 6, 4, 2, 0, –2, –4; 3) –2, – 2 1 1 , –1, – 2 1 ; 0, 2 1 ; 4) 5, 3, 1, –1, –3, –5. 1.3. 1) –54; 2) 12; 3) 24; 4) 16. 1.4. 3. 1.5. 4. 1.6. 6; 36. 1.7. 74; –66. 1.8. 1900 1.9. 4 1.10. 14. 1.11. 8. 1.12. 1) 7125; 2) 4380; 3) 594; 4) . 2 147 1.13. 1) 15 –10n; 2) –2 + 2n; 3) –2 + 3n; 4) 2 + n. 1.14. 1) 19; 2) 4; 3) 1; 4) 4. 1.15. 0. 1.16. 11. 1.17. –4. 1.18. . 21 17 1.19. 21. 1.20. 1) 36; 2) 154; 3) 23; 4) 94. 1.21. 1) 2430; 2) 2475; 3) 1265; 4) 963. 1.22. 1) 247500; 2) 45387; 3) 71079; 4) 38535. 1.23. 1) 55; 2) 1; 3) 7; 4) 3. 1.24. 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –2. 1.25. 20. 1.26. 7. 1.27. 0 или –28. 1.28. 1) 5; 4; 2) 4; 2; 3) –7; 7; 4) 0,5; 1,5. 1.29. 1) 1; 2 и 9, –2; 2) –3; 4 и 5, –4; 3) –2; –2 и –14, 2; 4) 8; –2 и 0, 2. 1.30. 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да. 1.31. 1) 7; 3; 2) 5; 2; 3) –1; –4; 4) –3; 1,5. 1.32. 1) 3; 2) 4; 3) 3; 4) 5. 1.33. 1) 395; 2) 390; 3) –6. 1.34. 155. 1.35. 22. 1.36. 45. 1.37. 34. 1.38. 16. 1.39. 1) 4; 5 и ; 14 37 ; 7 79 2) 1; 2 и –4; 2 1 ; 3) 3; 1 и 91 51 ; 91 437 . 1.40. 1) 58; 2) 24; 3) 16. 1.41. 9 или 16. 1.42. 95 градусов. 1.43. 10 градусов. 1.44. 10. 1.45. 6. 1.46. 14. 1.47. 11. 1.48. 1) 5; 2) 15; 27; 3) 7; 4) 3; 5) –5; 6) 3/2; 7) 1; 8) 6; 9) 2 4 ; 2 2 n k , k, n ℤ; 10) п k 2 2 ; 2 , k, n ℤ; 159 11) 0; 12) 3. 1.49. 1) 9; 2) 9; 3) 144; 4) 1. 1.50. 1) 22; 2) 21; 3) 40. 1.51. 1) 1064; 2) 120; 3) 612; 4) 546. 1.54. 101. 1.55. а 24 1 ; 0 ; 15 2 ; 2 1 ; . 7 3 1.56. а ; 30 1 19 2 ; 8 3 ; 5 7 ; . 2 11 2.1. 1) ; 2 5 1 п 2) ; 3 2 1 п 3) ; 2 3 1 п 4) ; 2 3 п 5) 2 3–2п ; 6) ; 3 3 2 5 п 7) (–1) n или –1; 8) 2(–3) п – 1 . 2.2. 1) sin (2cos) n–1 ; 2) 2 1–n (tg) 3–2n ; 3) (tg) –п ; 4) 2 n–1 . 2.3. 1) – ; 32 5 2) 56; 3) 54; 4) 0,0003. 2.4. . 64 1 2.5. 4. 2.6. 125. 2.7. 47. 2.8. 2187. 2.9. 5 5 . 2.10. 9 11 . 2.11. 3 9 . 2.12. 1) 2047; 2) ; 1024 341 3) ; 3 2 1 3 10 10 4) 2731. 2.13. 1) 35; 2) ; 3 13 3) –30; 4) –14. 2.14. 1) 2; 2) ; 4 9 3) 3; 4) . 5 16 2.15. 1) 2; 3 и 18; ; 3 1 2) 3; 2 и 12; ; 2 1 3) 8; 0,5 и 2; 2; 4) 9; 3 1 и 1; 3. 2.16. ; 4 3 2 1 и – ; 9 2 . 3 1 2.17. 2; . 2 1 2.18. . 8 127 2.19. . 3 16 2.20. . 81 242 2.21. . 32 63 2.22. 1) 120; 2) 170; 3) 75. 223. 1) 26 ; 3 2 2) 40; 3) . 2 15 2.24. 1) 30 ; 8 3 2) 32; 3) 96. 2.25. 1) 2; 2) 1 и 2 3 ; 3) 3 и 5 3 ; 4) –2 и 5 14 . 2.26. 1) ; 2 12 ) 1 ( k k k ℤ; 2) ; 6 ) 1 ( k k k ℤ; 3) ; 2 3 2 k 4) . 2 3 k 160 2.27. 1) 2; ; 2 1 2) 4; 2; 3) n k 4 ; 3 12 , k, n ℤ; 4) {0; 1}. 2.28. 1) ; 5 6 9 ; 1 2) 2; 3) 3; 4) {0; 2}. 2.29. 1) 4, 8, 16 и 16, 8, 4; 2) 2,6, 18 и 18, 6, 2; 3) 1,4, 16 и 16, 4, 1; 4) 3,6, 12 и 12, 6, 3. 2.30. 25,7,–11 и 4, 7, 10. 2.31. 4, 11, 18 и 19, 11,3. 2.32. 1){3, 15,27,...};{3, 9,27,...}; 2) {3,3,3,...}; {3,–3,3,... }. 2.33. 1) {2, 5, 8, 11,...}; {2, 4, 8, 16,...}; 2) {2, 5, 8, 11,...}; {2, –4, 8,–16,...}; 3){2, 2, 2, 2,...}; {2, 2, 2, 2,...}; 4) {2, 2, 2, 2,...}; {2,–2, 2,–2,...}. 2.35. 3;6; 12 и 27, 18, 12. 2.36. 4, 8, 16 и 36, 24, 16. 2.37. 5, 10, 20 и 45, 30, 20. 2.38. 246. 2.39. {а, 7а, 13а, ...}, {а, 4а, 16а,...}; 2) {а, а, а, ...}, {а, –2а, 4а, ...}, где а > 0. 2.41. 2 n+1 (n – 1) + 2 – n(n + 1)/2. жүктеу/скачать 1,19 Mb. 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